(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota usaremos el concepto de combinaciones visto en la nota anterior para construir el famoso triángulo de Pascal y entender cómo elevar un binomio a la $n$-ésima potencia, mediante la conocida fórmula del binomio de Newton. Empecemos la nota con un resultado que será la clave para ambos resultados.
Teorema
Sean $n,m\in \mathbb N,m+1\leq n$. Tenemos que:
$\binom{n}{m}+ \binom{n}{m+1}= \binom{n+1}{m+1} .$
Esta fórmula se conoce como la formula del triángulo de Pascal.
Demostración
Sean $n,m\in \mathbb N,m+1\leq n$ y $A=\set{a_1,\dotsc,a_{n+1}}$, un conjunto con $n+1$ elementos. Sabemos que:
$\binom{n+1}{m+1}=\#\set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}.$
Notemos que si $C$ es un subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos hay dos opciones, que $a_{n+1}\in C$ o que $a_{n+1}\notin C$, así:
$ \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}= $
$= \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }\cup \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$
y como la unión es disjunta :
$\# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}=$
$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }+ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$.
Además, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\in C$, es de la forma $B\cup \set{a_{n+1}}$, donde $B$ es un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m$ elementos, por lo tanto:
$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }=\binom{n}{m}.$
Por otro lado, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\notin C$ será un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m+1$ elementos, así:
$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }=\binom{n}{m+1}.$
Concluimos que:
$\binom{n+1}{m+1}=\#\set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}$
$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C } + \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C } $
$= \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} .$
Por lo tanto:
$ \binom{n+1}{m+1} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} $.
$\square$
El triángulo de Pascal
De acuerdo al autor Ignacio Larrosa Cañestro en el recurso de Geogebra https://www.geogebra.org/m/usruvfhg «El triángulo de Tartaglia-Pascal fue estudiado por Niccolò Fontana, conocido como Tartaglia (1499-1557) y popularizado por Blaise Pascal (1623-1662), aunque ya se conocía desde siglos atrás en China y Persia. En este triángulo cada fila empieza y termina en 1 y los elementos intermedios son la suma de los que están arriba a la izquierda y arriba a la derecha». En la posición $m$ de la fila $n$ del triángulo se coloca el número $\binom{n}{m}$.
Observa en los siguientes videos cómo se usa la fórmula del triángulo de Pascal que acabamos de demostrar, para construir el triángulo de Pascal.
Ve el siguiente video para conocer más sobre está maravillosa sucesión milenaria.
El binomio de Newton
Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$, entonces se cumple que:
$(a+b)^n=\binom{n}{0}\, a^n\; b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} .$
Demostración
La demostración se hará por inducción sobre $n$. Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$.
Base de inducción
Si $n=0$:
$(a+b)^0=1=\binom{0}{0} a^0 b^0$.
Paso inductivo
Supongamos que se vale para $n$.
$(a+b)^n=\binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} $.
Ésta es nuestra hipótesis de inducción.
Demostración de que se vale para $n+1$ usando la HI
Tenemos que:
$(a+b)^{n+1}=(a+b) (a+b)^{n}$, y por la hipótesis de inducción tenemos que
$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\bigg[ \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0}b^{n}\bigg].$
Desarrollando tenemos que:
$(a+b)^{n+1}=a\bigg[\binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} \bigg ]$ $+$
$b \bigg[\binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} \bigg ]$
Multiplicando todos los términos tenemos que:
| $(a+b)^{n+1}=$ | $\binom{n}{0} a^{n+1}b^0+$ | $\binom{n}{1} a^{n} b^{1}+$ | $\dotsc+$ | $\binom{n}{n} a^{1}b^{n}+$ | |
| $+$ | $\binom{n}{0}a^{n} b^{1}+$ | $\dotsc+$ | $\binom{n}{n-1} a^{1} b^{n}+$ | $\binom{n}{n}a^0b^{n+1}$ |
Asociando los términos semejantes, tenemos que los coeficientes resultantes son de la forma $\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ y en virtud del teorema probado al inicio de esta nota tenemos que $\binom{n}{k+1}+ \binom{n}{k}= \binom{n+1}{k+1} $. Por lo tanto:
$(a+b)^{n+1}=\binom{n}{0} a^{n+1} + \binom{n+1}{1} a^{n} b^{1}+\dotsc+ \binom{n+1}{n} a^{1} b^{n}+\binom{n}{n} b^{n+1} $ .
Pero, dado que $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$ y que $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1} $ podemos reescribir lo anterior como
$(a+b)^{n+1}=\binom{n+1}{0} a^{n+1} + \binom{n+1}{1} a^{n} b^{1}+\dotsc+ \binom{n+1}{n} a^{1} b^{n}+\binom{n+1}{n+1} b^{n+1} $
y por lo tanto la fórmula también se cumple para $n+1$.
Concluimos por el quinto axioma de Peano que se cumple para todo $n\in \mathbb N$.
$\square$
Gracias al Teorema del Binomio de Newton, los números $\binom{n}{m}$ son llamados coeficientes binomiales.
Tarea Moral
- Escribe otra demostración de la fórmula de Pascal, usando la descripción que se estudió de los coeficientes binomiales en términos de factoriales.
- Encuentra el renglón once del triángulo de Pascal.
- Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$. Desarrolla la expresión $(a+b)^{8}$ usando el binomio de Newton.
- Sea $n\in \mathbb N$. Encuentra a qué es igual la expresión $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}$ e interpreta tu respuesta en términos de subconjuntos.
- Sea $n\in \mathbb N$ con $n\geq 1$. Prueba que $\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}=0.$
Más adelante
Con esta nota hemos terminado la unidad 2. En la siguiente unidad veremos el importante concepto de espacio vectorial.
Enlaces relacionados
Nota anterior. Nota 23. Combinaciones.
Nota siguiente. Nota 25. Espacios vectoriales.