Introducción
En esta nota usaremos el concepto de combinaciones visto en la nota anterior para construir el famoso triángulo de Pascal, y probar cómo elevar un binomio a la $n$-ésima potencia, mediante la conocida fórmula del binomio de Newton. Empecemos la nota con un resultado que será la clave para ambos resultados.
Teorema
Sean $n,m\in \mathbb N,m+1\leq n$. Tenemos que:
$\binom{n}{m}+ \binom{n}{m+1}= \binom{n+1}{m+1} .$
Esta fórmula se conoce como la formula del triángulo de Pascal.
Demostración
Sean $n,m\in \mathbb N,m+1\leq n$ y $A=\set{a_1,\dotsc,a_{n+1}}$, un conjunto con $n+1$ elementos. Sabemos que:
$\binom{n+1}{m+1}=\#\set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}.$
Pero si $C$ es un subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos hay dos opciones, que $a_{n+1}\in C$ o que $a_{n+1}\notin C$, así:
$ \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}= $
$= \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }\cup \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }.$
Y como la unión es disjunta :
$\# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}=$
$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }+ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$.
Pero todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\in C$, es de la forma $B\cup \set{a_{n+1}}$, donde $B$ es un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m$ elementos, por lo tanto:
$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }=\binom{n}{m}.$
Por otro lado, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\notin C$ será un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m+1$ elementos, así:
$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }=\binom{n}{m+1}.$
Concluimos que:
$\binom{n+1}{m+1}=\#\set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}$
$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C } + \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C } $
$= \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} .$
Y por lo tanto:
$ \binom{n+1}{m+1} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} $
que es lo que queríamos probar.
$\square$
El triángulo de Pascal
El triángulo de Tartaglia-Pascal fue estudiado por Niccolò Fontana, conocido como Tartaglia (1501-1557), y popularizado por Blaise Pascal (1623-1662), aunque ya se conocía desde siglos atrás en China y Persia. En este triángulo cada fila empieza y termina en 1 y los elementos intermedios son la suma de los que están arriba a la izquierda y arriba a la derecha. Si n es el número de la fila, empezando por 0 para el 1 del vértice, y m es la posición dentro de la fila, éste coincide con $\binom{n}{m}$.
Observa en los siguientes videos cómo se usa el teorema que acabamos de mostrar $ \binom{n+1}{m+1} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} $, para construir el triángulo de Pascal.
Revisa el siguiente enlace donde hay una construcción en geogebra del triángulo de Pascal.
https://www.geogebra.org/m/usruvfhg
Ve el siguiente video para conocer más sobre está maravillosa sucesión milenaria.
El binomio de Newton
Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$, entonces se cumple que:
$(a+b)^n=\binom{n}{0}\, a^n\; b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} $ .
Demostración
La demostración se hará por inducción sobre $n$. Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$.
Base de inducción
Si $n=0$ se cumple la fórmula:
$(a+b)^0=1=\binom{0}{0} a^0 b^0.$
Hipótesis de inducción
Supongamos que se vale para $n$.
$(a+b)^n=\binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} $ .
Vamos a demostrar que se vale para $n+1$
Tenemos que:
$(a+b)^{n+1}=(a+b) (a+b)^{n}$, y por la hipótesis de inducción tenemos que
$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\bigg[ \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0}b^{n}\bigg].$
Desarrollando tenemos que:
$(a+b)^{n+1}=a\bigg[\binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} \bigg ]$ $+$
$b \bigg[\binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} \bigg ]$
Multiplicando todos los términos tenemos que:
| $(a+b)^{n+1}=$ | $\binom{n}{0} a^{n+1}b^0+$ | $\binom{n}{1} a^{n} b^{1}+$ | $\dotsc+$ | $\binom{n}{n} a^{1}b^{n}+$ | |
| $+$ | $\binom{n}{0}a^{n} b^{1}+$ | $\dotsc+$ | $\binom{n}{n-1} a^{1} b^{n}+$ | $\binom{n}{n}a^0b^{n+1}$ |
Asociando los términos semejantes, tenemos que sus coeficientes son de la forma $\binom{n}{k+1}$ y $\binom{n}{k}$, y en virtud del teorema probado al inicio de esta nota tenemos que $\binom{n}{k+1}+ \binom{n}{k}= \binom{n+1}{k+1} $, y por lo tanto:
$(a+b)^{n+1}=\binom{n}{0} a^{n+1} + \binom{n+1}{1} a^{n} b^{1}+\dotsc+ \binom{n+1}{n} a^{1} b^{n}+\binom{n}{n} b^{n+1} $ .
Pero, dado que $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$ y que $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1} $ podemos reescribir lo anterior como
$(a+b)^{n+1}=\binom{n+1}{0} a^{n+1} + \binom{n+1}{1} a^{n} b^{1}+\dotsc+ \binom{n+1}{n} a^{1} b^{n}+\binom{n+1}{n+1} b^{n+1} $
y por lo tanto la fórmula también se cumple para $n+1$. Concluimos por el quinto axioma de Peano que se cumple para todo $n\in \mathbb N$.
Tarea Moral
Más adelante
Con esta nota hemos terminado la unidad 2. En la siguiente unidad veremos el importante concepto de espacio vectorial.
Enlaces relacionados
Nota anterior. Nota 23. Combinaciones.
Nota siguiente. Nota 25. Espacios vectoriales.