(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota veremos el concepto de relación de equivalencia, útil en distintas áreas de la matemática, como el álgebra, la teoría de los números, el análisis, la topología, etc. Sería conveniente que revisaras el concepto de relación que vimos en la Nota 7. Relaciones y funciones .
Recuerda que dado un conjunto $A$, una relación $\mathcal R$ en $A$ es un subconjunto de $A\times A$, se llamará relación de equivalencia cuando cumpla tres condiciones que llamaremos reflexividad, simetría y transitividad.
Definición
Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R\subseteq A\times A$ una relación. Decimos que $\mathcal R$ es una relación de equivalencia si y sólo si:
- $\forall a\in A\,\,\,\,(a,a)\in R$, es decir es reflexiva.
- $\forall a,b\in A$, si $(a,b)\in \mathcal R$, entonces $(b,a)\in \mathcal R$, es decir es simétrica.
- $\forall a,b,c\in A$, si $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$, entonces $(a,c)\in \mathcal R$. es decir es transitiva.
Ejemplos
1. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$ con $\mathcal R=\set {(a,b)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid a=b}$
$\forall a\in \mathbb R$ la pareja $(a,a)\in \mathcal R$ ya que $a=a$, y por lo tanto es reflexiva.
$\forall a,b\in \mathbb R$, si $(a,b)\in \mathcal R$ entonces $a=b$, en consecuencia $b=a$ y por lo tanto $(b,a)\in \mathbb R$, así la relación es simétrica.
$\forall a,b,c\in \mathbb R$, si $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$ entonces $a=b$ y $b=c$, así $a=c$ y entonces $(a,c)\in \mathcal R$, así la relación es transitiva.
2. $\mathcal R\subseteq \mathbb Z\times \mathbb Z$ con $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a<b$.
Veamos que esta relación es transitiva: dados $a,b,c\in \mathbb Z$ si $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$, entonces $a<b$ y $b<c$, de donde concluimos que $a<c$ y así $(a,c)\in \mathcal R$.
No es reflexiva pues $1\nless1$, así $(1,1)\notin \mathcal R$.
No es simétrica ya que $1<2$, pero $2\nless 1$, así $(1,2)\in \mathcal R$ pero $(2,1)\notin \mathcal R$.
por lo tanto la relación $\mathcal R$ no es una relación de equivalencia.
3. Sea $\mathcal R$ una relación en $\mathbb Z$, dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ y $b$ tienen la misma paridad, es decir si y sólo si ambos son pares o ambos son impares.
Notemos que:
$(a,b)\in \mathbb R$ si y sólo si $a-b$ es par.
Tenemos entonces que $(a,a)\in \mathbb R$ pues $a-a=0=2(0)$, así la relación es reflexiva.
Si $(a,b)\in \mathcal R$, entonces $a-b$ es par, por lo cual $a-b=2k$, con $k\in \mathbb Z$. Así, $b-a=2(-k)$ con $-k\in \mathbb Z$, lo que nos permite concluir que $b-a$ también es par y entonces $(b,a)\in \mathcal R$. Así, la relación es simétrica.
Para mostrar que $\mathcal R$ es transitiva, sean $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$, entonces $a-b$ y $b-c$ son pares es decir:
$a-b=2k$ y $b-c=2q$ con $k,q\in \mathbb Z$.
Así, $a-c=(a-b)+(b-c)=2k+2q=2(k+q)$ con $k+q\in \mathbb Z.$
Esto nos muestra que $a-c$ es par y entonces $(a,c)\in \mathcal R$. Así, $\mathcal R$ es transitiva.
Dado que $\mathcal R$ es reflexiva, simétrica y transitiva concluimos que $\mathcal R$ es una relación de equivalencia.
Notación:
Si $\mathcal R$ es una relación de equivalencia:
$(a,b)\in \mathcal R$ se denota por $a\sim b$.
$(a,b)\notin \mathcal R$ se denota por $a\nsim b$.
Definición
Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Para cada $x\in A$ definimos la clase de equivalencia de $x$ como:
$[x]=\overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x},$
a cada $y\in \overline{x}$ se le llama un representante de la clase $\overline{x}$.
Ejemplos:
4. $\mathcal R$ la relación en $\mathbb R^2$ dada por $(p,q)\in \mathcal R$ si y sólo si $\|p\|=\|q\|$. (Recordemos que la norma de un vector en $x\in \mathbb R^2$, denotada por $\|x\|$, es la distancia de ese punto al origen).
$\mathcal R$ es una relación de equivalencia (quedará como ejercicio en la tarea moral).
Dado $p\in \mathbb R^2$
$\overline{p}=\set{q\in \mathbb R^2\mid q\sim p}=\set{q\in \mathbb R^2\mid \|p\|=\|q\|}.$
Por ejemplo:
$\overline{(2,2)}=\set{ q\in \mathbb R^2\mid \|q\|=\|(2,2)\|}=\set{ q\in \mathbb R^2\mid \|q\|=2\sqrt{2}}.$
Claramente $(2,2)$ es un representante de $\overline{(2,2)}$, pero no es el único. Por ejemplo $(2\sqrt{2},0)\in \overline{(2,2)}$, entonces $(2\sqrt{2},0)$ es otro representante de $\overline{(2,2)}$.
5. $\mathcal R$ la relación en $\mathbb Z$ dada por $a,b\in \mathbb Z$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $b-a$ es múltiplo de 3.
$\mathcal R$ es una relación de equivalencia (quedará como ejercicio en la tarea moral).
$\overline{a}=\set{b\in \mathbb Z\mid b\sim a}$
$\phantom{\overline{a}}=\set{b\in \mathbb Z\mid b-a\,\,\,es \,\,\,múltiplo\,\,\,de\,\,\,3}$
$\phantom{\overline{a}}=\set{b\in \mathbb Z\mid b-a=3k\,\, k\in Z}$
$\phantom{\overline{a}}=\set{3k+a\mid k\in \mathbb Z}$
Así:
$\overline{0}= \set{3k+0\mid k\in \mathbb Z}= \set{3k\mid k\in \mathbb Z}=\set{\dotsi,-6,-3,0,3,6,\dotsi}$
$\overline{1}= \set{3k+1\mid k\in \mathbb Z}=\set{\dotsi,-5,-2,1,4,7,\dotsi}$
$\overline{2}= \set{3k+2\mid k\in \mathbb Z}=\set{\dotsi,-4,-1,2,5,8,\dotsi}$
Tarea Moral
1. Determina si las siguientes relaciones en el conjunto $A$ son reflexivas, simétricas y transitivas:
i) $A=\set{2,3,4,\dotsi}$, $\mathcal R$ la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ y $b$ tienen un factor común distinto de $1$ o $-1.$
ii) $A=\set{t\mid t \, \,es \, \, un \, \, triángulo \, \, en \, \, \mathbb R^2}$
$\mathcal R$ la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ es semejante a $b$.
iii) $A=\mathbb R^2$, $\mathcal R$ es la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ y $b$ están sobre la misma recta horizontal.
iv) $A=\set{1,2,3,4}$, $\mathcal R$ la relación en $A$ dada por:
$\mathcal R=\set{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(4,3),(3,4)}$
2. Sean $A$ un conjunto y $\mathcal R$ una relación simétrica y transitiva en $A$. Sea $(x,y)\in \mathcal R$, por ser $\mathcal R$ simétrica $(y,x)\in \mathcal R$ y por transitividad concluimos que $(x,x)\in \mathcal R$. ¿Podemos entonces decir que la simetría y la transitividad implican la reflexividad?
3. Numerando las propiedades:
$1$ reflexividad
$2$ simetría
$3$ transitividad
Da relaciones, si es que existen, tales que:
Cumpla $1$ y $2$ pero no $3$.
Cumpla $1$ y $3$ pero no $2$.
Cumpla $2$ y $3$ pero no $1$.
Cumpla $1$ pero no $2$ y $3$.
Cumpla $2$ pero no $1$ y $3$.
Cumpla $3$ pero no $1$ y $2$.
4. En los incisos del ejercicio 1 en los que se tenga una relación de equivalencia describe las distintas clases de equivalencia.
5. Prueba que las relaciones dadas en los ejemplos 4 y 5 son relaciones de equivalencia.
Más adelante
En la siguiente nota describiremos qué es una partición. Veremos cómo es que dada una relación de equivalencia en un conjunto $A$ ésta nos genera una partición del conjunto, y también al revés, cómo dada una partición en $A$ tendremos asociada una relación de equivalencia a esa partición.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Enlace a la nota siguiente. Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones.