MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada generalizamos el concepto de medida para espacios abstractos. Ahora veremos como extender el concepto de integración sobre un espacio de medida abstracta y analizaremos un par de ejemplos clásicas.

Un comentario importante

La mayoría de definiciones y resultados que hemos establecido hasta ahora para la medida e integral de Lebesgue son válidos también para espacios de medida en general (salvo los teoremas de cambios de variable y Fubini). La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en ${\mathbb{R}}^n$ son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto $(X,\mathcal{M},\mu )$. Por ésta razón omitiremos la mayoría de pruebas pues, esencialmente, ya las hemos hecho. En prácticamente todos los casos, basta reemplazar dentro de los argumentos las menciones de $({\mathbb{R}}^n,{\mathcal{L}}_n,\lambda )$ por $(X,\mathcal{M},\mu )$ respectivamente.

La única excepción son los teoremas de caracterización de conjuntos medibles utilizados en la demostración de los teoremas de cambio de variable y Fubini. Estos resultados destacan la relación que existe entre la medida de Lebesgue y topología de ${\mathbb{R}}^n$.

Integración en espacios de medida

Para definir la integral en espacios de medida general, podemos seguir el mismo órden que usamos para definir la integral en ${\mathbb{R}}^n$. En lo que sigue $(X,\mathcal{M},\mu )$ denotará un espacio de medida (salvo que se especifique lo contrario). Por simplicidad, nos referiremos a las funciones $\mathcal{M}$-medibles simplemente como medibles.

Recordemos primero la definición de funciones simples:

Definición. Decimos que $s:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función simple si toma solamente una cantidad finita de valores.

Definición. Dado $X$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$, denotamos por $S_{\mathcal{M}}$ (o simplemente $S$) al conjunto de funciones simples y $\mathcal{M}$-medibles $s$, tales que $0\le s<\mathrm{\infty }$.

Observemos que toda función $s\in S_{\mathcal{M}}$. Se puede escribir como $$s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{E_k},$$
donde $0\le {\alpha }_k<\mathrm{\infty }$ y los conjuntos $E_k$ son $\mathcal{M}$-medibles y ajenos.

Una de las propiedades más importantes de las funciones medibles era la siguiente:

Teorema. Supongamos que $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es $\mathcal{M}$ medible. Entonces existe una sucesión $s_1,s_2,\dots$ de funciones simples $\mathcal{M}$ medibles tales que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_k=f.$$
Si $f\ge 0$, podemos tomar la sucesión de modo que $0\le s_1\le s_2\le \dots$ . O más generalmente, podemos tomar la sucesión de modo que $|s_1|\le |s_2|\le \dots$ . Si $f$ es acotada, podemos hacer que la convergencia sea uniforme.

Cuando sea claro del contexto, denotaremos a $S_{\mathcal{M}}$ como $S$.

Definición. Dado un espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu )$ y una función simple $s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{E_k}\in S_{\mathcal{M}}$, definimos su integral como:
$${\int }_{X}s\mathrm{d}\mu =\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\mu (E_k).$$

Definición. Dada una función $\mathcal{M}$-medible no negativa $f:X\to [0,\mathrm{\infty }]$, definimos su integral como:

$$\int f_X\mathrm{d}\mu =sup\{{\int }_{X}s\mathrm{d}\mu |s\le f,s\in S\}.$$

Otras formas comunes para referirse a la integral son:

$$\int f\mathrm{d}\mu ,\int f(x)\mathrm{d}\mu (x),{\int }_X\mathrm{d}\mu f,{\int }_X\mathrm{d}\mu (x)f(x).$$

Por simplicidad, usaremos la primera forma siempre que el espacio de medida sobre el cual estemos trabajando sea claro.

Proposición (Propiedades de la integral de una función no negativa). Sean $f,g:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ funciones medibles. Entonces:

1. La integral de cualquier función medible no negativa $f$ está bien definida.
2. $0\le \int f\mathrm{d}\mu \le \mathrm{\infty }$.
3. Si $0\le c<\mathrm{\infty }$ es una constante, $\int cf\mathrm{d}\mu =c\int f\mathrm{d}\mu$.
4. Si $f\le g$, entonces $\int f\mathrm{d}\mu \le \int g\mathrm{d}\mu$.
5. Si $\int f\mathrm{d}\mu =0$ $⟹$ $\mu (x|f(x)>0)=0$.
6. $\int (f+g)\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu +\int g\mathrm{d}\mu$.

También podemos dar versiones generales de los teoremas de convergencia para integrales. Nuevamente las demostraciones son idénticas al caso en ${\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ así que las omitimos.

Teorema (de convergencia monótona de Lebesgue). Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión creciente de funciones medibles no negativas sobre $X$: $$0\le f_1\le f_2\le f_3\le \dots$$ Entonces $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\mu =\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\mu .$$

Teorema (Lema de Fatou). Sean $f_1,f_2,f_3,\dots$ funciones medibles y no negativas. Entonces: $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\right)\mathrm{d}\mu \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\mu .$$

Definición. Sea $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función medible, con parte positiva y negativa $f_{+}$ y $f_{-}$ respectivamente. Diremos que $f$ es integrable si $\int f_{+}\mathrm{d}\mu -\int f_{-}\mathrm{d}\mu$ está bien definido y definimos su integral como:
$$\int f\mathrm{d}\mu =\int f_{+}\mathrm{d}\mu -\int f_{-}\mathrm{d}\mu .$$
Denotaremos la clase de funciones integrables como $L^1(X,\mathcal{M},\mu ),L^1(X)$ o simplemente como $L^1$ si el espacio de medida es claro del contexto.

Proposición (propiedades de la integral de funciones $L^1$). Sean $f,g:X\to \mathrm{\infty }$ funciones en $L^1$.

1. (Desigualdad del triángulo). $|\int f\mathrm{d}\mu |\le \int |f|\mathrm{d}\mu .$ y además $f\in L^1$ $⟺$ $|f|\in L^1$.
2. (Linealidad). Dados $a,b\in \mathbb{R}$ constantes, entonces $\int (af+bg)\mathrm{d}\mu =a\int f\mathrm{d}\mu +b\int g\mathrm{d}\mu$.
3. Si $f\le g$ $⟹$ $\int f\mathrm{d}\mu \le \int g\mathrm{d}\mu$.

Teorema (de convergencia dominada). Sean $f_1,f_2,f_2,\dots$ una sucesión de funciones medibles sobre $X$ tales que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$ Existe para (c.t.p.) $x\in X$, y además existe una función $g\in L^1(X)$ tal que $$f_k(x)\le g(x)$$ Para (c.t.p.) $x\in {\mathbb{R}}^n$ y $k\in \mathbb{N}$. Entonces $f\in L^1(X)$ y $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\mu =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\mu .$$

En el teorema pasado hacemos uso del concepto de «en casi todo punto». Éste es identico al caso en ${\mathbb{R}}^n$: Una propiedad se cumple en «casi donde sea» o «en casi todo punto» (abreviado por c.t.p.) si el conjunto de puntos donde NO se cumple tal propiedad es de medida ($\mu$) cero. Naturalmente también hay versiones en casi todo punto de los teoremas de convergencia monótona y el Lema de Fatou pero omitimos su enunciado.

Al igual que antes, los conjuntos de medida cero no afectan el valor de la integral.

Proposición (insensibilidad de la integral). Sean $f,g:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ funciones medibles tales que $\mu (x|f(x)\ne g(x))=0$. Luego, si $f\ge 0$ $⟹$ $\int f\mathrm{d}\mu =\int g\mathrm{d}\mu$. Y si $f\in L^1(X)$ $⟹$ $g\in L^1(X)$ con $\int f\mathrm{d}\mu =\int g\mathrm{d}\mu$.

Si bien la integral sobre un espacio de medida abstracto tiene propiedades análogas a las de la integral de Lebesgue en ${\mathbb{R}}^n$, ésta nos puede decir información muy diferente dependiendo del espacio sobre el que estemos trabajando. Veamos un ejemplo concreto: La integral respecto a la medida de conteo.

Ejemplo. Consideremos $(X,2^X,\mu )$, donde $X$ es un conjunto finito o numerable y $\mu$ es la medida de conteo. Notemos que cualquier función $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es medible pues $f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])\in 2^X$ para cualquier $t$.

Ahora, sea $f\ge 0$ una función no negativa. Como $X$ es numerable podemos escribir: $$f(y)=\sum _{x\in X}f(x){\chi }_x(y)$$
Aplicando el teorema de la convergencia monótona y linealidad:
$$\int f\mathrm{d}\mu =\int \sum _{x\in X}f(x){\chi }_x\mathrm{d}\mu =\sum _{x\in X}(f(x)\int {\chi }_x\mathrm{d}\mu )=\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)$$ $$=\sum _{x\in X}f(x).$$

(La medida de cualquier conjunto unitario bajo la medida de conteo es $1$). Esto nos dice que la integral bajo la medida de conteo es simplemente la suma de los valores de la función.

Más generalmente, dada $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, recordemos $f\in L^1(X)$ $⟺$ $|f|\in L^1(X)$. Como $$\int |f|\mathrm{d}\mu =\int f_{+}\mathrm{d}\mu +\int f_{-}\mathrm{d}\mu =\sum _{x\in X}{f}_{+}(x)+\sum _{x\in X}{f}_{-}(x)$$
Concluimos que $f\in L^1(X)$ si y sólo si la serie $\sum _{x\in X}f(x)$ converge absolutamente. En cuyo caso la integral resulta nuevamente: $$\int f\mathrm{d}\mu =\sum _{x\in X}f(x).$$
En general, la integral respecto a la medida de conteo sobre conjuntos no numerables se comporta de manera muy similar salvo ciertas restricciones sobre el «soporte» de las funciones.

De igual manera, podemos definir integrales sobre conjuntos:

Definición. Dada una función definida (en c.t.p.) de un conjunto medible $E$, diremos que $f$ es medible sobre $E$ si $f{\chi }_E$ es $\mathcal{M}$-medible (convenimos $f{\chi }_E(x)=0$ si $f$ no está definida en $x$). O equivalentemente si $f^{-1}(B)\in \mathcal{M}$ para cualquier conjunto de Borel $B$.

Definimos la integral de $f$ sobre $E$ (cuando tenga sentido) como: $${\int }_{E}f\mathrm{d}\mu =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\mu .$$
Diremos que $f\in L^1(E)$ si $f{\chi }_E\in L^1(X)$.

La integral sobre conjuntos tiene propiedades análogas a las de la integral sobre conjuntos de ${\mathbb{R}}^n$. Omitimos los detalles.

Ejemplo. Dado $(X,\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida y $E\in \mathcal{M}$ un conjunto medible, definimos la $\sigma$-álgebra inducida sobre $E$ como $${\mathcal{M}}_E=\{F\cap E|F\in \mathcal{M}\}.$$ Definimos la medida inducida por $\mu$ sobre $E$ como $${\mu }_E(A)=\mu (A)\mathrm{\forall }A\in {\mathcal{M}}_E.$$
Es fácil ver que $(E,{\mathcal{M}}_E,{\mu }_E)$ forman un espacio de medida. Más aún, siempre que tenga sentido se tiene que: $${\int }_{E}f\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}{\mu }_E.$$ Es decir, la integral sobre un conjunto se puede pensar como la integral respecto a la medida inducida. La verificación de este hecho es de rutina y se queda como tarea moral.

Más adelante…

Tarea moral