Geometría Moderna I: Semejanza de triángulos

Introducción

En esta entrada estudiamos otro tipo de relación, la de semejanza de triángulos, la cual es una de las herramientas más útiles en geometría euclidiana.

Definición. Decimos que dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ son semejantes si sus ángulos respectivos son iguales y sus lados respectivos son proporcionales, es decir,

  • $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$, $\angle C = \angle C’$ y
  • $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{AC}{A’C’}$.

Si dos triángulos son semejantes lo denotamos así $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$.

Criterio de semejanza ángulo, ángulo, ángulo (AAA o AA)

Teorema 1, criterio de semejanza ángulo, ángulo, ángulo. Si los ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales entonces los triángulos son semejantes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ dos triángulos tales que $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$, $\angle C = \angle C’$. Por demostrar que los lados correspondientes son proporcionales.

Sean $D \in \overline{AB}$ y $E \in \overline{AC}$ tales que $\overline{AD} = \overline{A’B’}$ y $\overline{AE} = \overline{A’C’}$, como $\angle A = \angle A’$, por el criterio de congruencia LAL tenemos que los triángulos $\triangle ADE \cong \triangle A’B’C’$.

Figura 1

Por lo tanto, $\angle EDA = \angle C’B’A’$, $\angle AED = \angle A’C’B’$ y $DE = B’C’$.

Dado que $\overline{AB}$ es transversal a $\overline{DE}$ y $\overline{BC}$ y los ángulos correspondientes son iguales, entonces $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$.

Por el teorema de Thales, $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$.
$\Rightarrow \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}$.

Así, $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Observación. Como la suma de los ángulos internos de todo triangulo es igual a $\pi$, entonces si conocemos la magnitud de dos ángulos internos conocemos los tres y por lo tanto podemos referirnos a este criterio como AA.

Criterio de semejanza lado, ángulo, lado (LAL)

Teorema 2, criterio de semejanza lado, ángulo, lado. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo entre ellos es igual, entonces los triángulos son semejantes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ dos triángulos tales que $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}$ y $\angle A = \angle A’$.

Sean $D \in \overline{AB}$ y $E \in \overline{AC}$ tales que $\overline{AD} = \overline{A’B’}$ y $\overline{AE} = \overline{A’C’}$.

Figura 2

Como $\angle A = \angle A’$ por el criterio de congruencia LAL $\triangle ADE \cong \triangle A’B’C’$, así $\angle EDA = \angle C’B’A’$ y $\angle AED = \angle A’C’B’$.

Por hipótesis sabemos que $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.

Esto implica, por el reciproco del teorema de Thales, que $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, se sigue $\angle CBA = \angle EDA$ y $\angle ACB = \angle AED$ por ser ángulos correspondientes.

Por transitividad, $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$ y $\angle C = \angle C’$

Por criterio de semejanza AAA $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Criterio de semejanza lado, lado, lado (LLL)

Teorema 3, criterio de semejanza lado, lado, lado. Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales entonces los triángulos son semejantes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ dos triángulos tales que $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{AC}{A’C’}$, por demostrar que $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$ y $\angle C = \angle C’$.

Sean $D \in \overline{AB}$ y $E \in \overline{AC}$ tales que $\overline{AD} = \overline{A’B’}$ y $\overline{AE} = \overline{A’C’}$ (figura 2).

Como $\angle BAC = \angle DAE$ y $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, por criterio de semejanza LAL $\triangle ABC \sim \triangle ADE$, y en consecuencia $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$.

$AD = A’B’$, por construcción, y $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’}$ por hipótesis,
$\Rightarrow \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$
$\Rightarrow B’C’ = DE$.

Por criterio de congruencia LLL $\triangle A’B’C’ \cong \triangle ADE$.

Por transitividad, $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Triángulos con lados perpendiculares

Proposición 1. Dos triángulos cuyos lados correspondientes son perpendiculares son semejantes.

Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ tales que $\overline{AB} \perp \overline{A’B’}$, $\overline{BC} \perp \overline{B’C’}$ y $\overline{AC} \perp \overline{A’C’}$.

Consideremos $Z$, $P$ y $Q$ las intersecciones de $\overline{BC}$ con $\overline{B’C’}$, $\overline{A’B’}$ y $\overline{A’C’}$ respectivamente, $X = \overline{AB} \cap \overline{A’B’}$ e $Y = \overline{AC} \cap \overline{A’C’}$ (figura 3).

Figura 3

$\angle CBA = \angle PBX$, por ser opuestos por el vértice,
como $\triangle BXP$ es rectángulo entonces $\angle PBX$ y $\angle XPB$ son complementarios,
$\Rightarrow \angle CBA$ y $\angle XPB$ son complementarios,
$\angle XPB = \angle B’PZ$, por ser opuestos por el vértice,
$\Rightarrow \angle CBA$ y $\angle B’PZ$ son complementarios.

Como $\triangle B’ZP$ es rectángulo entonces $\angle B’PZ$ y $\angle ZB’P$ son complementarios,
$\Rightarrow \angle CBA = \angle ZB’P$,
$\Rightarrow \angle B’ = \angle B$.

Por otro lado, $\angle ACB = \angle YCQ$, por ser opuestos por el vértice,
como $\triangle CYQ$ es rectángulo entonces $\angle YCQ$ y $\angle CQY$ son complementarios,
$\Rightarrow \angle ACB$ y $\angle CQY$ son complementarios.

Como $\triangle C’ZQ$ es rectángulo entonces $\angle QC’Z$ y $\angle CQY$ son complementarios,
$\Rightarrow \angle ACB = \angle QC’Z$,
$\Rightarrow \angle C = \angle C’$.

Por criterio de semejanza AA, $\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$.

$\blacksquare$

Proposición 2. Dos triángulos cuyos lados correspondientes son paralelos son semejantes.

Demostración. Podemos construir un triángulo cuyos lados correspondientes sean perpendiculares a los lados de uno de los triángulos, por transitividad sus lados también serán perpendiculares a los lados del segundo triangulo.

Por la proposición anterior los triángulos originales serán semejantes al triangulo construido y por lo tanto serán semejantes entre sí.

$\blacksquare$

Desigualdad entre bisectrices

Proposición 3. En un triángulo entre cualesquiera dos ángulos internos la bisectriz del mayor es menor a la bisectriz del menor de los ángulos.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ y supongamos que $\angle B > \angle C$ y sean $D$ y $E$ las intersecciones de las bisectrices de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$ respectivamente con los lados opuestos. Debemos mostrar que $BD < CE$.

Sean $F \in AD$ tal que $\angle DBF = \angle ACE = \angle ECB$ y $G$ la intersección de $CE$ con $BF$, por criterio de semejanza AA $\triangle FBD \sim \triangle FCG$, por lo tanto,

$\begin{equation} \dfrac{BF}{CF} = \dfrac{BD}{CG} \end{equation}$

Figura 4

Por otro lado, en el triángulo $\triangle BFC$ tenemos que
$\angle CBF = \angle CBD + \angle DBF $
$= \dfrac{\angle B}{2} + \dfrac{\angle C}{2} > \dfrac{\angle C}{2} + \dfrac{\angle C}{2} = \angle C$.

Como al ángulo mayor siempre se opone a el lado mayor, tenemos que $FC > BF$ $\Leftrightarrow$ $1 > \dfrac{BF}{CF} = \dfrac{BD}{CG}$ donde la última igualdad se da por la ecuación $(1)$

Por lo tanto, $CE > CG > BD$.

$\blacksquare$

Semejanza en el triángulo rectángulo

Proposición 4. Sean $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = \dfrac{\pi}{2}$ y $D$ el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ trazada desde $A$, entonces:
$i)$ $AD^2 = BD \times DC$,
$ii)$ $AB^2 = BC \times BD$,
$iii)$ $AC^2 = BC \times DC$,
$iv)$ $AD \times BC = AB \times AC$.

Figura 5

Demostración. Por criterio AA $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ y $\triangle ABC \sim \triangle DAC$,

$i)$  Por la relación de semejanza tenemos
$\dfrac{AD}{AC} =\dfrac{BD}{AB} \Rightarrow AD = \dfrac{BD \times AC}{AB}$
$\dfrac{AD}{AB} =\dfrac{DC}{AC}  \Rightarrow AD = \dfrac{DC \times AB}{AC}$
$\Rightarrow AD^2 = BD \times DC$

$ii)$ Como $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, $\dfrac{AB}{BD} =\dfrac{BC}{AB}$
$\Rightarrow AB^2 = BC \times BD$

$iii)$ Como $\triangle ABC \sim \triangle DAC$, $\dfrac{AC}{DC} =\dfrac{BC}{AC}$
$\Rightarrow AC^2 = BC \times DC$

$iv)$ de $ii)$ y $iii)$ tenemos $BC^2 = \dfrac{AB^2 \times AC^2}{BD \times DC}$
y empleando $i)$ obtenemos $AD^2 \times BC^2 = (BD \times DC) \dfrac{AB^2 \times AC^2}{BD \times DC}$
$\Rightarrow AD \times BC = AB \times AC$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el teorema de Pitágoras usando semejanza de triángulos.
  2. Criterio de semejanza hipotenusa-cateto, muestra que un par de triángulos rectángulos son semejantes si la razón entre sus hipotenusas y la razón entre uno de sus catetos son iguales.
  3. Muestra que si en un triángulo dos bisectrices internas tienen la misma longitud, entonces el triángulo es isósceles.
  4. Sean $\square ABCD$ un paralelogramo,$E \in \overline{CD}$, $G$ y $F$ las intersecciones de $\overline{AE}$ con $\overline{BD}$ y $\overline{BC}$ respectivamente (figura 6), encuentra $EF$ en términos de $AG$ y $GE$.
Figura 6
  1. Sean $\square ABCD$ un paralelogramo, $E$, $F \in \overline{BD}$ tales que $BE = DF$, $G = \overline{AE} \cap \overline{BC}$ y $H = \overline{AF} \cap \overline{CD}$ (figura 7), muestra que $\overline{GH} \parallel \overline{BD}$.
Figura 7

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos los puntos notables del triángulo que resultan de la intersección de las mediatrices, las bisectrices, las medianas y las alturas del triángulo.

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1 comentario en “Geometría Moderna I: Semejanza de triángulos

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