Introducción

Hemos conocido en esta unidad las transformaciones lineales y que a partir de ellas podemos asociarles una matriz única. En la sección anterior comenzamos con las primeras operaciones entre matrices: el producto de matrices y su estrecha relación con la composición de matrices. En esta unidad veremos las matrices más representativas y sus funciones lineales a las cuales están asociadas.

Matriz identidad

No es una familia de matrices, pero es el primer tipo de matriz que debemos mencionar. La matriz identidad está asociada a la función identidad y su tamaño es de $n\times n$, es decir el número de filas es el mismo que el de columnas. Se denota por $I$ pero como se tiene una matriz identidad para cada dimensión, se puede escribir como $I_n$.

La matriz identidad se caracteriza porque todos sus elementos son ceros ($0$) excepto aquellos elementos que se encuentran en la diagonal principal, que son unos ($1$).

Ejemplo. Para la función identidad $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, su matriz identidad asociada es

$$I_2=I_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

y para la función identidad $f:{\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^n$, su matriz identidad asociada es

$$I_n=I_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right).$$

De hecho el producto de cualquier matriz por a matriz identidad no tiene ningún efecto, ya que siempre se cumple que $AI=A$ e $IA=A$.

Homotecias

Las homotecias son funciones de cambios de escala, porque conservan los ángulos pero no las distancias entre cualquier par de puntos. Sin embargo, todas las distancias se incrementan o disminuyen en una misma razón $k\in \mathbb{R}$, con $k\ne 0$, para una función $f:{\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^n$ definida por $f(x)=kx$, la cual es lineal.

La matriz asociada a estas funciones es $kI$, es decir la matriz que sólo tiene elementos $k$ en la diagonal principal y ceros ($0$) fuera de dicha diagonal. Cuando $k>1$ aumentan las distancias (dilataciones), cuando $k<1$ disminuyen (contraen) y en caso de que $k=1$, las distancias se conservan.

Ejemplo. Para el caso de una función lineal $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, la matriz de homotecia de $2\times 2$ asociada es de la forma

$$I_n=I_{n\times n}=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right),$$

Ejemplo. Dada la función lineal definida por

$$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x}{4}\\ \frac{y}{4}\end{array}\right),$$

cuya matriz asociada es

$$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right),$$

ya que

$$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x}{4}\\ \frac{y}{4}\end{array}\right).$$

Vemos que la función corresponde a una homotecia que reduce las distancias entre cualquier par de puntos en una razón de $\frac{1}{4}$.

Rotaciones

Recordemos que en las rotaciones, todo el plano gira un ángulo $\alpha$ alrededor de un punto fijo (el origen del sistema coordenado) pero permanecen invariantes el tamaño y forma de las figuras.

Las columnas de la matriz asociada a las rotaciones en ${\mathbb{R}}^2$ con centro en el origen mediante un ángulo $\alpha$ son:

$$f(e_1)=\left(\begin{array}{c}cos\alpha \\ sen\alpha \end{array}\right),yf(e_2)=\left(\begin{array}{c}-sen\alpha \\ cos\alpha \end{array}\right).$$

En consecuencia las rotaciones mandan al vector canónico $e_1$ en un vector unitario $u$ y al vector canónico $e_2$ en su vector ortogonal $u^{\perp }.$

Por tanto, para una función lineal $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, su matriz de rotación asociada correspondiente es

$$R_{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right).$$

Ejemplo. Si $\alpha =45°$ y queremos calcular la rotación de $45°$del vector $\overrightarrow{x}$ entonces la matriz en este caso será:

$$\begin{array}{rl}{R}_{45°}(\overrightarrow{x})& =\left(\begin{array}{cc}cos45°& -sen45°\\ sen45°& cos45°\end{array}\right)\overrightarrow{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\overrightarrow{x}.\end{array}$$

Un hecho importante es que una vez que hubo una rotación de ángulo $\alpha$ y volvemos a aplicar una rotación pero de ángulo $-\alpha$, regresaremos a la matriz identidad. Es decir que con la ayuda de las igualdades

$$cos(-\alpha )=cos\alpha ysen(-\alpha )=–sen\alpha ,$$

se cumple que $R_{-\alpha }{R}_{\alpha }=I$. Este resultado lo dejaremos como ejercicio en la sección Tarea moral.

Ahora bien, si rotamos un ángulo $\beta$ y posteriormente un ángulo $\alpha$, rotamos entonces en total un ángulo $\alpha +\beta$, entonces se cumple que $R_{\alpha }{R}_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, pues

$$\begin{array}{rl}{R}_{\alpha }{R}_{\beta }& =\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}cos\beta & -sen\beta \\ sen\beta & cos\beta \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta & -cos\alpha sen\beta -sen\alpha cos\beta \\ sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta & -sen\alpha sen\beta +cos\alpha cos\beta \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sen(\alpha +\beta )\\ sen(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right)=R_{\alpha +\beta },\end{array}$$

obteniendo las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de ángulos como consecuencia de la composición de funciones y la multiplicación de matrices.

Reflexiones

Para ver el significado geométrico que una reflexión ejerce sobre un vector, consideremos las funciones lineales:

1. Sea $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, tal que $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right)$ se llama reflexión con respecto al eje $y$.
2. Sea $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, tal que $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)$ se llama reflexión con respecto al eje $x$.
3. Sea $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, tal que $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right)$ se llama reflexión con respecto a la recta $y=x$.

La representación matricial de cada caso es

$$R_y=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),R_x=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),R_{y=x}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

respectivamente. De forma más general, las reflexiones deben parametrizarse por la mitad del ángulo de la imagen de $e_1$, quien es el ángulo de la recta respecto a la cual se hace la reflexión. Con ello, la reflexión en la recta con ángulo $\theta$ manda a $e_1$ en el vector unitario de ángulo $2\theta$, y su matriz asociada es:

$$E_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}cos2\theta & sen2\theta \\ sen2\theta & -cos2\theta \end{array}\right)$$

Dejaremos como ejercicio moral ver que se cumplen $E_{\theta }{E}_{\theta }=I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha }{E}_{\beta }=R_{2(\alpha –\beta ).}$

Matrices ortogonales

Una matriz ortogonal debe cumplir ser cuadrada y su función lineal asociada debe ser ortogonal (es decir, que preserva el producto interior). Entonces, para que se cumplan dichas condiciones, recurrimos a la siguiente definición:

Definición. Una matriz A de $n\times n$ es ortogonal (la matriz de una transformación ortogonal) si y sólo si $A\cdot A^T=I$.

Ejemplo. Para la matriz de reflexión con respecto a la recta $x=y$

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

el producto de A con su transpuesta $A^T$ es

$$A\cdot A^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$$

Ejemplo. Para la matriz de rotación

$$B=\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & sen\alpha \\ -sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right),$$

el producto de B con su transpuesta $B^T$ es

$$B\cdot B^T=\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sen\alpha \\ sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & sen\alpha \\ -sen\alpha & cos\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I.$$

De hecho las matrices ortogonales de $2\times 2$ son: las rotaciones y las reflexiones.

Tarea moral

1. ¿Las siguientes matrices son matrices identidad?

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

2. Demostrar que las homotecias tienen la propiedad de conmutar con cualquier otra matriz, es decir, $A(kI)=(kI)A$, donde $k$ es una constante real, $I$ es la matriz identidad y $A$ una matriz de $n\times n$.

3. Demostrar que la rotación de un ángulo $-\theta$ nos regresa a la unidad, es decir, probar que se cumple $R_{-\theta }{R}_{\theta }=I$

4. En la sección de reflexiones de esta entrada definimos a la matriz $E_{\theta }$. Demostrar que se cumple $E_{\theta }{E}_{\theta }=I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha }{E}_{\beta }=R_{2(\alpha –\beta ).}$

Más adelante

En la siguiente entrada vamos a conocer al grupo de matrices invertibles de $n\times n$, el grupo general lineal de orden $n$; a las cuales pertenecen las matrices ortogonales. Además veremos la forma más fácil de saber si una matriz de $2\times 2$ es invertible, mediante el determinante y su relación con los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Enlaces relacionados

• Página principal del curso:
• Entrada anterior del curso:
• Siguiente entrada del curso: