Introducción

Mucho hemos hablado, a lo largo de las entradas anteriores, sobre las soluciones de las ecuaciones resultantes de la forma $det(A-I\lambda )=0$ con $A$ matriz y $x$ vector; sin embargo, aún no nos hemos dedicado a resolver este tipo de ecuaciones. En esta entrada, hablaremos de las soluciones de estas ecuaciones que se llaman valores propios y que tienen un vector propio asociado.

¿Qué son?

Si tienes una matriz cuadrada $A$, vamos a decir que un vector $v$ es vector propio de $A$ con valor propio $\lambda \in \mathbb{R}$, si $v\ne 0$ y $Av=\lambda v$. A la pareja $\lambda ,v$, la vamos a llamar pareja propia de A y el principal problema de estudio de esta entrada será encontrar a estas parejas.

Implicaciones importantes

Lema 4.7: Si $u$ y $v$ son vectores propios de $A$ con el mismo valor $\lambda \in \mathbb{R}$, entonces cualquier combinación lineal no trivial de ellos también es vector propio de $A$.

Demostración

Si tenemos dos parejas de $A$, $u$, $v$ que cumplen $Au=\lambda u$ y $Av=\lambda v$, entonces, para cualquier par de coeficientes $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ se tiene que, la combinación lineal de $u$ y $v$ con estos vectores, se cumple:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A(\alpha u+\beta v)=\alpha (Au)+\beta (Av)=\alpha (\lambda u)+\beta (\lambda v)=\lambda (\alpha u+\beta v)\end{array}$$

Lo que significa que, si $\alpha u+\beta v\ne 0$, entonces es vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$.

Con lo que hemos terminado la demostración.

El siguiente lema es muy importante para realizar los cálculos.

Lema 4.8: Para cualquier matriz A cuadrada, se cumple: $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si, $det(A-\lambda I)=0$

Demostración

Sabemos que, como $\lambda$ es valor propio de $A$, entonces tiene a su vector propio $v$ correspondiente que cumple que: $Av=\lambda v$.

$⟺Av-\lambda v=0$

$⟺(A-\lambda I)v=0$

Y, como $v\ne 0$, entonces:

$⟺det(A-\lambda I)=0$

Fin de la demostración.

Observa que, con los conocimientos que tenemos hasta el momento, ya puedes demostrar fácilmente el siguiente Lema y Corolario.

Lema 4.9: Si A es una matriz simétrica de $2\times 2$, entonces $A$ tiene dos valores propios ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ en $\mathbb{R}$.

Corolario 4.10: Sea $A$ una matriz simétrica de $2\times 2$, con valores propios ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$. Entonces, sus valores propios coinciden (${\lambda }_1={\lambda }_2$) si y solo si, $A={\lambda }_{1}I$. En este caso, cualquier vector $v\ne 0$ es vector propio.

Corolario 4.11: Considera una matriz simétrica $A$ de $2\times 2$. Entonces, existe una base $u,v\in {\mathbb{R}}^2$, donde $u$ y $v$ son vectores propios de $A$.

Demostración

Por el Lema 4.9, sabemos que $A$ tiene dos valores propios ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$.

Caso 1, ${\lambda }_1={\lambda }_2$

Por el Corolario 4.10, cualquier base $u,v\in {\mathbb{R}}^2$ funciona.

Caso 2, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$

Por la definición de valor propio, existen $u,v$, vectores distintos de $0$ que corresponden a los valores propios ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ respectivamente.

Estos vectores no pueden ser paralelos porque por el Lema 4.8, esto implicaría que ${\lambda }_1={\lambda }_2$.

Entonces, $u$ y $v$ forman una base de ${\mathbb{R}}^2$.

Terminamos la demostración.

Ejemplo

Calculemos los valores y vectores propios de la siguiente matriz simétrica:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\end{array}$$

Valores propios

Recordemos que, para encontrar los valores propios, debemos resolver su polinomio característico que está dado por $det(A-\lambda I)$:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& det(A-\lambda I)=det(\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right))\end{array}$$

Si continuamos con el desarrollo de la expresión anterior, comprueba que llegamos al siguiente polinomio característico:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& det(A-\lambda I)={\lambda }^2-\lambda -6\end{array}$$

Para resolver el polinomio anterior, debemos igualarlo a $0$, de donde vamos a obtener que, las raíces del polinomio son: ${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{1+24}}{2}=3$ y ${\lambda }_2=\frac{1-5}{2}=-2$

Vectores propios

Para encontrar los vectores propios correspondientes a ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$, debemos encontrar una solución no trivial para los sistemas $(A-{\lambda }_{i}I)x=0$ con $i=1,2$

Para ${\lambda }_1=3$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& (A-3I)x=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2y\\ 2x-4y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

De donde obtenemos el siguiente sistema:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{c}-x+2y=0\\ 2x-4y=0\end{array}\end{array}$$

Donde, una de sus soluciones no triviales es $u^T=(2,1)$

Para ${\lambda }_2=-2$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& (A-(-2)I)x=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4x+2y\\ 2x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

De donde obtenemos el siguiente sistema:

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{c}4x+2y=0\\ 2x+y=0\end{array}\end{array}$$

Donde, una de sus soluciones no triviales es $v^T=(-1,2)$

Observa que estos vectores $u$ y $v$ son ortogonales, ¿será coincidencia? Lo veremos más adelante.

Tarea moral

1. Comprueba que, para los vectores propios obtenidos en los sistemas de ecuaciones $(6)$ y $(7)$, se cumple que $Au=3u$ y que $Av=-2v$.
2. Demuestra, con un argumento algebraico y uno geométrico, que la matriz $$\begin{array}{}\text{(9)}& \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\end{array}$$ no tiene vectores propios.
3. Demuestra que la matriz $$\begin{array}{}\text{(10)}& \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\end{array}$$ no tiene vectores propios para $b\ne 0$.
4. Usa el Lema 4.9 para demostrar el Corolario 4.10.
5. Demuestra el Lema 4.9. Hint: usa que, al ser $A$ matriz simétrica, entonces $A=A^T$, después, expresa a $A$ de la siguiente forma y desarrolla:

$$\begin{array}{}\text{(11)}& A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\end{array}$$

Más adelante…

En la siguiente entrada, concluiremos nuestro estudio de los valores y vectores propios, analizando la diagonalización ortogonal de matrices simétricas.