Introducción

Ya vimos cómo afectan las traslaciones y las transformaciones ortogonales a los polinomios cuadráticos, en esta entrada, usaremos todo lo que hemos aprendido de las entradas anteriores, para dar la clasificación isométrica de las curvas.

Clasificación

Vamos a demostrar, por medio de los siguientes teoremas, que cualquier polinomio cuadrado es isométricamente equivalente a alguna de las nueve posibles familias canónicas que mencionamos en entradas anteriores, cuando clasificamos las curvas.

Debido a que vimos que el polinomio cuadrático $P(x)=x\ast Ax+2b\ast x+c$ con $A=A^T\ne 0$, lo podemos componer con una isometría de la forma $g(x)=Bx+h$ con $B\in O(2)$ y obtener una ecuación de la forma:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (P\circ g)(x)=x\ast (B^{T}AB)x+2B^T(Ah+b)\ast x+P(h)\end{array}$$

Entonces, observa que el análisis para esta clasificación, puede partirse en dos grandes casos que dependen del determinante de la matriz, es decir, cuando $det(A)\ne 0$ y cuando $det(A)=0$.

Antes de analizar cada uno de estos casos, veamos un Lema que nos va a ayudar.

Lema 4.14: Si A es una matriz simétrica con valores propios $\alpha$ y $\beta$, entonces $det(A)=\alpha \beta$

Demostración

Sea $B$ una rotación que diagonaliza a $A$, entonces:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \alpha \beta =det\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)=det(B^{T}AB)\end{array}$$

Y recuerda que el determinante es una función lineal, lo que nos permite realizar la siguiente igualdad:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \alpha \beta =det(B^{T}AB)=det(B^T)det(A)det(B)=1\ast det(A)\ast 1=det(A)\end{array}$$

Date cuenta que, con las igualdades anteriores, ya podemos dar por concluida la demostración.

Ahora sí podemos analizar cada uno de los casos que mencionamos al inicio.

Caso 1: $det(A)\ne 0$

De aquí, vamos a separar en varios casos, pero empecemos realizando un análisis general. Nombremos como el centro a $h=-A^{-1}b$ y a $B$ como una rotación que diagonalice a $A$. Entonces, observa que $P$ es isométricamente equivalente a un polinomio de la siguiente forma:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& P_1(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2+\gamma \end{array}$$

A continuación, vamos a encontrar estas equivalencias usando el Lema 4.14.

Caso 1.1 $det(A)>0$

Hay $3$ posibilidades:

• $\gamma =0$, entonces la única solución es $(x,y)=(0,0)$
• $\gamma$ del mismo signo que $\alpha$ y $\beta$, entonces la curva es vacía porque no hay soluciones reales.
• $\gamma$ de signo opuesto que $\alpha$ y $\beta$, entonces, los ceros de $P_1$ coinciden con las soluciones canónicas de la elipse con $a=\sqrt{\frac{-\gamma }{\alpha }},b=\sqrt{\frac{-\gamma }{\beta }}$ dada por:

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$$

Caso 1.2 $det(A)<0$

Hay $2$ posibilidades:

• $\gamma =0$, entonces $P_1$ es una diferencia de cuadrados que, como $\alpha >0$, entonces $a=sqrt\alpha ,b=\sqrt{-\beta }$ y puede factorizarse como se muestra a continuación. Además, esto implica que se trata de dos rectas cuya intersección es el centro.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& (ax+by)(ax-by)\end{array}$$

• $\gamma \ne 0$, entonces, podemos elegir el primer vector propio correspondiente a $x$, de manera que su valor propio $\alpha$ tenga signo contrario a $\gamma$, lo que implica que los ceros de $P_1$ corresponden a las soluciones de la ecuación canónica de la hipérbola que tiene a $a=\sqrt{-\frac{\gamma }{\alpha }}$ y $b=\sqrt{\frac{\gamma }{\beta }}$, cuya ecuación se puede expresar como:

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$$

Caso 2: $det(A)=0$

Observa que, en este caso, no tenemos la seguridad de eliminar la parte lineal y que nos conviene simplificar la parte cuadrática. Por el Lema 4.14, uno de los valores propios es cero y el otro es distinto de cero.

Entonces, $P$ es isométricamente equivalente a un polinomio de la forma:

$$\begin{array}{}\text{(8)}& (x+\alpha {)}^2+\beta y+(\gamma –{\alpha }^2)\end{array}$$

Comprueba que, si hacemos el cambio de variable dado por $x^{\prime }=x+\alpha$, podemos simplificar el polinomio anterior como:

$$\begin{array}{}\text{(9)}& P_2(x,y)=x^2+ay+b\end{array}$$

Y de nuevo tenemos dos subcasos.

Caso 2.1 $a=0$

• $b<0$, entonces, $P_2$ define dos rectas paralelas.
• $b=0$, entonces $P_2$ es una recta doble.
• $b>0$, entonces $P_2$ consiste en dos rectas imaginarias.

Caso 2.2 $a\ne 0$

SI hacemos el cambio de variable $y^{\prime }=y+\frac{b}{a}$, tenemos que $P$ es isométricamente equivalente al polinomio:

$$\begin{array}{}\text{(10)}& x^2+ay\end{array}$$

Que define una parábola.

Tarea moral

1. Encuentra un polinomio que defina las siguientes curvas cuadráticas:
   • La hipérbola con semieje principal $4$ en la dirección $(2,1)$, semieje secundario $1$ y centro en $(2,3)$.
   • La elipse con semieje mayor $3$ en la dirección $(3,4)$, semieje menor $2$ y centro en $(-1,2)$.
2. Describe geométricamente las siguientes curvas cuadráticas que están definidas por los siguientes polinomios, además, da su centro la dirección de los ejes y los parámetros o la ecuación canónica correspondiente:
   • $9x^2-4xy+6y^2-58x+24y+59$
   • $66x^2-24xy+59y^2-108x-94y+1$
   • $-7x^2+48xy+7y^2+158x-6y-88$
   • $32x^2+48xy+18y^2+31x-8y-88$

Más adelante…

En la última sección de esta unidad, veremos otra forma de clasificar las curvas, que es mediante la semejanza de curvas cuadráticas.