Introducción

En esta entrada conoceremos más propiedades de los espacios métricos compactos. Veremos qué ocurre cuando les es aplicada una función continua. Esto nos relacionará dos espacios métricos entre sí a través de los subconjuntos. Podremos concluir información acerca de la imagen de una función cuando ciertas condiciones se cumplen. Comencemos con la siguiente:

Proposición: Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $\varphi :X\to Y$ es una función continua y $A\subset X$ es compacto, entonces la imagen de $A$ bajo $\varphi$, es decir, $\varphi (A),$ es un conjunto compacto en $(Y,d_Y).$

Demostración:
Sea $\mathcal{C}=\{A_i:i\in \mathcal{I}\}$ una cubierta abierta de $\varphi (A)$. Como $\varphi$ es continua entonces la imagen inversa de $A_i,$ es decir, el conjunto ${\varphi }^{-1}(A_i),i\in \mathcal{I}$ es un conjunto abierto en $X$. No es difícil probar que $\{{\varphi }^{-1}(A_i):i\in \mathcal{I}\}$ es una cubierta abierta de $A.$ (Ejercicio).

Como $A$ es compacto, entonces existe una subcubierta finita $\{{\varphi }^{-1}(A_{i_1}),{\varphi }^{-1}(A_{i_2}),\dots ,{\varphi }^{-1}(A_{i_m})\}$ con $m\in \mathbb{N}$ tal que $A\subset \bigcup _{1\le j\le m}{\varphi }^{-1}(A_{i_j}).$ Esto significa que $\{A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_m}\}$ es una subcubierta en $Y$ de $\mathcal{C}$ para $\varphi (A)$. (¿Por qué?) Por lo tanto $\varphi (A)$ es compacto.

Ejemplos

La función valor absoluto en un intervalo cerrado

La función $sen(4x)$

La función $e^x$

Es resultado conocido que si $\varphi :[0,1]\to \mathbb{R}$ es una función continua, entonces $\varphi ([0,1])=[a,b]$ donde $a=min\{f(x)|0\le x\le 1\}$ y $b=max\{f(x)|0\le x\le 1\}.$ (Ver Teorema del máximo-mínimo). En efecto $[a,b]$ es un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ y por tanto es compacto.

Bajo la misma idea podemos considerar a la función $\psi :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ dada por $\psi (t)=(t,\varphi (t))$. Entonces, la curva de esta función es un conjunto compacto en ${\mathbb{R}}^2$

En la entrada anterior vimos que un conjunto compacto es cerrado y acotado. Podemos concluir el siguiente:

Corolario: Sea $A$ compacto. Entonces una función continua $\varphi :A\subset X\to Y$ es acotada, pues la imagen bajo $\varphi$ en el compacto es compacta y, por lo tanto, acotada. También podemos concluir que $\varphi (A)$ es cerrada.

Este resultado nos permite delimitar una función en el espacio euclidiano de $\mathbb{R}$ con dos puntos importantes en el contradominio de la función: el máximo y el mínimo.

Probablemente este resultado te sea familiar de los cursos de cálculo:

Proposición: Sea $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ una función continua con $A$ cerrado y acotado (y por tanto compacto en ${\mathbb{R}}^n$). Entonces $f$ alcanza su mínimo y máximo en $A.$

En otros espacios métricos puede generalizarse como sigue:

Proposición: Sea $f:A\to \mathbb{R}$ una función continua con $A$ espacio métrico compacto y $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Entonces $f$ alcanza su mínimo y máximo en $A$, es decir, existen puntos $x_1$ y $x_2$ en $A$ tales que para toda $x\in A$ se cumple que:
$$f(x_1)\le x\le f(x_2)$$

Demostración:
Si $A$ es compacto, la proposición anterior nos muestra que $f(A)$ es cerrado y acotado. Sea $m_0=inf\{f(x):x\in A\}$. Entonces $m_0\in \overline{f(A)}$ y como $f(A)$ es cerrado, se concluye que $m_0\in f(A)$, de modo que existe $x_1\in A$ tal que $f(x_1)=m_0$ por lo tanto $f$ alcanza su mínimo en $A$.

La demostración de que $f$ alcanza su máximo es análoga y se deja como ejercicio.

Proposición: Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $X$ compacto y $\varphi :X\to Y$ inyectiva y continua. Entonces existe la función inversa ${\varphi }^{-1}$ en $\varphi (X)$ y es continua en $\varphi (X)$.

Demostración:
Para demostrar que ${\varphi }^{-1}:\varphi (X)\to X$ es una función continua, basta probar que la imagen inversa de esta función aplicada en conjuntos cerrados en $X$, es un conjunto cerrado en $Y$. Si $A$ es cerrado en $X$ entonces la imagen inversa respecto a la función ${\varphi }^{-1}$ está dada por $\varphi (A)$. Como $A$ es cerrado en un compacto entonces es compacto, de modo que $\varphi (A)$ también es compacto y, por lo tanto, es cerrado en $Y$. Esto prueba que ${\varphi }^{-1}$ es continua.

Finalizaremos esta entrada presentando un resultado que se deduce del anterior. La solución se propone como ejercicio al lector:

Proposición: Si $\varphi :X\to Y$ es una función biyectiva y continua entre espacios métricos compactos, entonces es un homeomorfismo.

Más adelante…

Continuaremos visualizando aplicaciones de funciones continuas sobre conjuntos compactos, pero esta vez bajo una nueva definición: la continuidad uniforme.

Tarea moral

1. Como parte de la prueba de la primera proposición, muestra que en efecto $\{{\varphi }^{-1}(A_i):i\in \mathcal{I}\}$ es una cubierta abierta de $A$.
2. Argumenta la parte de la demostración de la primera proposición, en la que se afirma que si $A\subset \bigcup _{1\le j\le m}{\varphi }^{-1}(A_{i_j}),$ entonces $\{A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_m}\}$ es una subcubierta en $Y$ de $\mathcal{C}$ para $\varphi (A)$.
3. Prueba que si $f:A\to \mathbb{R}$ es una función continua con $A\subset {\mathbb{R}}^n$ cerrado y acotado, entonces $f$ alcanza su máximo en $A.$
4. Prueba que si $X$ y $Y$ son homeomorfos, entonces $X$ es compacto si y solo si $Y$ es compacto.
5. Demuestra que si $\varphi :X\to Y$ es una función biyectiva y continua entre espacios métricos compactos, entonces es un homeomorfismo.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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