MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Anteriormente, enunciamos el Teorema de Fubini y vimos un par de consecuencias de este. En esta entrada nos centraremos en el problema de integrar sobre productos cartesianos de conjuntos $$A\times B\subseteq {\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m;A\subseteq {\mathbb{R}}^l,B\subseteq {\mathbb{R}}^m.$$ Un caso bastante común en la práctica.

Productos de conjuntos medibles

Antes de empezar, veamos un resultado bastante intuitivo pero no trivial que es esencial para justificar nuestros desarrollos más adelante.

Proposición. Sean $A\subseteq {\mathbb{R}}^l$ y $B\subseteq {\mathbb{R}}^m$ y consideremos $A\times B\subseteq {\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m={\mathbb{R}}^n$. Si $A\in {\mathcal{L}}^n$ y $B\in {\mathcal{L}}^m$, entonces $$A\times B\in {\mathcal{L}}^n.$$ Y además $$\lambda (A\times B)=\lambda (A)\lambda (B.)$$

Demostración. El teorema es inmediato cuando $A$ y $B$ son ambos abiertos (o ambos cerrados), pues en este caso $A\times B$ es abierto (o cerrado) y en automático medible. Y por Fubini:

$$\begin{array}{rl}\lambda (A\times B)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{A\times B}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_A(x)\cdot {\chi }_B(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}{\chi }_A(x)\cdot {\chi }_B(y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\chi }_B(y)({\int }_{{\mathbb{R}}^l}{\chi }_A(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\ & =({\int }_{{\mathbb{R}}^l}{\chi }_A(x)\mathrm{d}x)({\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\chi }_B(y)\mathrm{d}x)\\ & =\lambda (A)\lambda (B).\end{array}$$

De hecho, este último argumento es válido siempre que $A\times B\in {\mathcal{L}}^n$, así que sólo necesitamos probar que $A\times B$ es medible.

Más aún, basta probar el caso en el que $A$ y $B$ son medibles y de medida finita, pues cualesquiera $A^{\prime }\in {\mathcal{L}}^l$ y $B^{\prime }\in {\mathcal{L}}^m$ se pueden escribir como
$$A^{\prime }=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k;B^{\prime }=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k;$$ Donde los $A_k$ y $B_k$ son conjuntos de medida finita (en ${\mathbb{R}}^l$ y ${\mathbb{R}}^l$ respectivamente). Y $$A^{\prime }\times B^{\prime }=\bigcup _{j,k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\times B_k.$$

Supongamos entonces que $A$ y $B$ son de medida finita. Por el teorema de caracterización de conjuntos medibles [ENLACE], podemos encontrar subconjuntos $F_1\subseteq {\mathbb{R}}^l$, $F_2\subseteq {\mathbb{R}}^m$ cerrados y $G_1\subseteq {\mathbb{R}}^l$, $G_2\subseteq {\mathbb{R}}^m$ abiertos tales que:
$$F_1\subseteq A\subseteq G_1,$$ $$F_2\subseteq B\subseteq G_2,$$
Y: $$\lambda (G_1\setminus F_1)<\epsilon ,$$ $$\lambda (G_2\setminus F_2)<\epsilon .$$

De manera que $F_1\times F_2$ es cerrado (en ${\mathbb{R}}^n$) y $G_1\times G_2$ es abierto (en ${\mathbb{R}}^n$), con $$F_1\times F_2\subseteq A\times B\subseteq G_1\times G_2.$$

Ahora, notemos que

$$\begin{array}{rl}(G_1\times G_2)\setminus (F_1\times F_2)& =[(G_1\setminus F_1)\times G_2]\cup [F_1\times (G_2\setminus F_2)]\\ & \subseteq [(G_1\setminus F_1)\times G_2]\cup [G_1\times (G_2\setminus F_2)].\end{array}$$

Notemos que éste último conjunto es unión de productos de abiertos. Así que podemoes estimar:

$$\begin{array}{rl}\lambda ((G_1\times G_2)\setminus (F_1\times F_2))& \le \lambda ([(G_1\setminus F_1)\times G_2]\cup [G_1\times (G_2\setminus F_2)])\\ & \le \lambda ([(G_1\setminus F_1)\times G_2])+\lambda ([G_1\times (G_2\setminus F_2)])\\ & \le \epsilon \lambda (G_2)+\lambda (G_1)\epsilon \\ & \le \epsilon (\lambda (B)+\epsilon )+\epsilon (\lambda (A)+ϵ)\\ & =\epsilon (\lambda (A)+\lambda (B))+2{\epsilon }^2.\end{array}$$

En resúmen, podemos encontrar $F^{\prime }=F_1\times F_2$ cerrado y $G^{\prime }=G_1\times G_2$ abierto tales que $$F^{\prime }\subseteq A\times B\subseteq G^{\prime }$$ y $$\lambda (G^{\prime }\setminus F^{\prime })$$ sea tan pequeño como queramos, lo que implica que $A\times B$ es medible (teorema de caracterización).

Con el resultado anterior en mente, es fácil establecer una versión del teorema de Fubini para productos de conjuntos.

Teorema (Fubini para productos de conjuntos). Sean $A\in {\mathcal{L}}^l$ y $B\in {\mathcal{L}}^m$ con juntos medibles en ${\mathbb{R}}^l$ y ${\mathbb{R}}^m$ respectivamente. Sea $f:{\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función medible que satisface cualquiera de las hipótesis del teorema de Fubini ($f\ge 0$ o $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$). Entonces: $${\int }_{A\times B}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_B({\int }_{A}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y={\int }_A({\int }_{B}f(x,y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}x.$$

Demostración. Por simplicidad, probaremos solamente la primera igualdad. La segunda es completamente análoga.

Por la proposición anterior, $A\times B\in {\mathcal{L}}^n$ es un conjunto medible, por lo que $f{\chi }_{A\times B}$ es una función medible. Como $f{\chi }_{A\times B}\ge 0$ si $f\ge 0$ o bien $|f{\chi }_{A\times B}|\in L^1$ si $|f|\in L^1$, concluimos que $f{\chi }_{A\times B}$ satisface las hipótesis del teorema de Fubini. Luego:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{A\times B}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y){\chi }_{A\times B}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}f(x,y){\chi }_A(x){\chi }_B(y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\chi }_B(y)({\int }_{{\mathbb{R}}^l}f(x,y){\chi }_A(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_B({\int }_{A}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y.\end{array}$$

Veamos un ejemplo sencillo para fijar ideas.

Ejercicio. Calcular $${\int }_{[0,1]\times [1,2]}x-2y\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Solución. Antes de aplicar el teorema de Fubini, hay que asegurarnos que la función $(x,y)\to x-2y$ es $L^1([0,1]\times [1,2])$. En este caso es sencillo (aunque no siempre lo es):

$$|x-2y|\le |x|+2|y|\le (1)+2(2)\le 5\mathrm{\forall }(x,y)\in [0,1]\times [1,2].$$

$$⟹{\int }_{[0,1]\times [1,2]}|x-2y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le 5{\int }_{[0,1]\times [1,2]}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y=5\lambda ([0,1]\times [1,2])=5<\mathrm{\infty }.$$

Por lo que $f\in L^1([0,1]\times [1,2])$. Entonces, aplicando el teorema de Fubini (para productos de conjuntos):

$$\begin{array}{rl}{\int }_{[0,1]\times [1,2]}x-2y\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_1^2({\int }_0^{1}x-2y\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_1^2({\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{x=0}^{x=1}-2y(1-0))\mathrm{d}y\\ & ={\int }_1^2(\frac{1}{2}-2y)\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2}(2-1)-2{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_{y=1}^{y=2}\\ & =1-2(\frac{3}{2})\\ & =-2\end{array}$$

Más adelante…

Hemos enunciado el Teorema de Fubini junto con algunas de sus consecuencias.

En la siguiente entrada veremos un par de ejercicios resueltos para ver algunas aplicaciones del teorema de Fubini.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

El Teorema de Fubini es una herramienta fundamental en la teoría de integración, ya que permite descomponer integrales múltiples en integrales iteradas más simples. Este resultado no solo facilita los cálculos, sino que también tiene implicaciones teóricas de gran relevancia. En esta sección, estudiaremos su enunciado y algunas consecuencias, proporcionando una base sólida para resolver problemas más avanzados.

Notación

Antes de comenzar, conviene establecer algo de notación para simplificar los desarrollos más adelante.

En ésta y en las próximas entradas, $l,m,n\in \mathbb{N}$ denotarán enteros con $n=l+m$. Podemos expresar el producto cartesiano $${\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m.$$

Denotaremos a los puntos en ${\mathbb{R}}^n$ como $$z=(x,y)\in {\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m={\mathbb{R}}^n,$$ donde $x\in {\mathbb{R}}^l$ y $y\in {\mathbb{R}}^m$.

Si $f$ es una función sobre ${\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m$ y $y\in {\mathbb{R}}^m$, definimos la $y$-sección de $f$ sobre ${\mathbb{R}}^l$, $f_y:{\mathbb{R}}^l\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ como: $$f_y(x)=f(x,y)\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^l.$$

Dado $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$, y $y\in {\mathbb{R}}^m$, definimos la $y$-sección de $A$ como $$A_y=\{x\in {\mathbb{R}}^l|(x,y)\in A\}\subseteq {\mathbb{R}}^l.$$

Para el caso de una función característica ${\chi }_A$, con $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$, notemos que

$$({\chi }_A{)}_y(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }(x,y)\in A\\ 0& \text{si }(x,y)\in A^c\end{array}$$

O equivalentemente, $$({\chi }_A{)}_y={\chi }_{A_y}.$$

Dado $x\in {\mathbb{R}}^l$, definimos análogamente las $x$ secciones $f_x$ y $A_x$.

Motivación

Consideremos una función integrable $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$. Como $f$ es medible, es natural pensar que $f_y:{\mathbb{R}}^l\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ «herede cierta regularidad». Supongamos momentáneamente que $f_y$ es integrable para cada $y$ y definamos $$F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x.$$
Por la misma razón, es esperable pensar que $F$ sea una función integrable.

Intuitivamente, $F(y)$ representa la «masa acumulada» de $f$ en la sección ${\mathbb{R}}^l\times y$, de modo que la «masa total» de $f$ (i.e. ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(z)\mathrm{d}z$) debería ser «la suma continua» (la integral) de las contribuciones sobre cada sección:

$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{{\mathbb{R}}^m}F(y)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Esto es precisamente lo que establece el teorema de Fubini.

Por desgracia, es fácil construir ejemplos de funciones medibles $f$, en los que $f_y$ no sea medible para todo $y$.

Ejemplo. Sea $E\subseteq {\mathbb{R}}^l$ cualquier conjunto no medible y $y_0\in {\mathbb{R}}^m$ un punto arbitrario. Consideremos $A=E\times y_0\subseteq {\mathbb{R}}^{l+m}$ y su respectiva función característica ${\chi }_A$.

Al estar contenido en algún hiperplano, $A$ es un conjunto de medida cero y en automático es medible, en particular ${\chi }_A$ es una función medible. A pesar de esto, $$f_{y_0}={\chi }_{A_{y_0}}={\chi }_E.$$ NO es medible sobre ${\mathbb{R}}^l$.

El ejemplo anterior muestra que hay que tener cuidado con la regularidad de las secciones. Afortunadamente, el concepto de casi donde sea nos da una alternativa para resolver este problema como veremos a continuación.

El Teorema de Fubini

Notación. Para enfatizar el hecho de que las integrales debajo son «iteradas», a la integral de una función $f:{\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}^l\times {\mathbb{R}}^m\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, la denotaremos también por $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y:={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(z)\mathrm{d}z.$$
Es decir, solamente reemplazamos $z$ por $(x,y)$ y $\mathrm{d}z$ por $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Teorema (Fubini-Tonelli para funciones no negativas). Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ una función medible no negativa. Entonces para c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^n$, la función $$f_y:{\mathbb{R}}^l\to [0,\mathrm{\infty }]$$ Es medible sobre ${\mathbb{R}}^l$. Más aún, la función definida en c.t.p. $$F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x$$ Es medible en sobre ${\mathbb{R}}^m$ y $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}F(y)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y.$$

La demostración requiere varios pasos, así que la posponemos para futuras entradas [ENLACE]. De momento, daremos por hecho el resultado.

Veamos primero un ejemplo sencillo para ver como el teorema de Fubini simplifica en gran medida el cálculo de integrales.

Ejercicio. Calcular la integral $${\int }_{(0,\mathrm{\infty })\times (0,\mathrm{\infty })}{e}^{-(x+y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Solución. Por definición, queremos calcular, $${\int }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x+y)}\cdot {\chi }_{(0,\mathrm{\infty }{)}^2}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
Notemos que podemos escribir $e^{-(x+y)}\cdot {\chi }_{(0,\mathrm{\infty }{)}^2}(x,y)=e^{-x}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(x)\cdot e^{-y}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(y)$. Ésta es una función medible y no negativa, así que podemos aplicar el teorema de Fubini:

$${\int }_{(0,\mathrm{\infty }{)}^2}{e}^{-(x+y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(x)\cdot e^{-y}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$$

Ahora, en la integral de en medio el factor $$e^{-y}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(y)$$ NO depende del integrando $x$, así que lo podemos tomar como una constante y «sacarlo de la integral» por linealidad:

$$={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-y}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(y)({\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$$

$$={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-y}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(y)\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$$
Ahora el factor $\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\right)$ NO depende de $y$, por lo que podemos «sacarlo» de la integral por linealidad:

$$=\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\right)({\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-y}{\chi }_{(0,\mathrm{\infty })}(y)\mathrm{d}y)$$
$$=\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\right)\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}\mathrm{d}y\right)$$ $$={\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x\right)}^2$$

Abreviando el argumento que ya hemos hecho con el teorema fundamental del cálculo y el teorema de la convergencia mpnótona : ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(-e^{-x}{)}^{\prime }\mathrm{d}x=[-e^{-x}{]}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}=1$, por lo que: $${\int }_{(0,\mathrm{\infty }{)}^2}{e}^{-(x+y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1^2=1.$$

El teorema de Fubini se puede generalizar fácilmente para funciones en $L^1$.

Teorema (Fubini para funciones $L^1({\mathbb{R}}^n)$). Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, Entonces

1. $f_y\in L^1({\mathbb{R}}^m)$ para c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^l$. En particular $$F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x$$ Existe para casi todo $y\in {\mathbb{R}}^m$.
2. $F\in L^1({\mathbb{R}}^m)$ y $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}F(y)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Demostración. Escribamos $f=f_{+}-f_{-}$.

Por Fubini-Tonelli se sigue que $f_{\pm ,y}$ son funciones medibles en ${\mathbb{R}}^l$ para casi todo $y\in {\mathbb{R}}^m$.

$$⟹H(y):={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_{+,y}(x)\mathrm{d}x;G(y):={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_{-,y}(x)\mathrm{d}x$$
Existen en c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$. Además de que $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}H(y)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{f}_{+}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\mathrm{\infty }$$
Y $${\int }_{{\mathbb{R}}^l}G(y)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{f}_{-}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\mathrm{\infty }.$$

Como las integrales son finitas, se sigue que $H$ y $G$ son finitas para casi todo $y\in {\mathbb{R}}^m$. Es decir

$${\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_{+,y}(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty };$$ $${\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_{-,y}(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }$$ En c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$. O equivalentemente que $f_y=f_{+,y}-f_{-,y}\in L^1({\mathbb{R}}^l)$ en c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$. Ahora, para tales $y$ tenemos:

$$\begin{array}{rl}F(y)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_{+,y}(x)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_{-,y}(x)\mathrm{d}x\\ & =H(y)-G(x)\end{array}$$

$$\therefore F\in L^1({\mathbb{R}}^m)$$
Al ser igual en c.t.p. a la función $H-G\in L^1({\mathbb{R}}^m)$. Además

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}F(y)\mathrm{d}y& ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}H(y)\mathrm{d}y-{\int }_{{\mathbb{R}}^m}G(y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{f}_{+}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{f}_{-}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$

Que es precisamente lo que queríamos probar.

Corolario. Supongamos que $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ satisface las hipótesis del Teorema de Fubini (ya sea $f\ge 0$ ó $f\in L^1$). Entonces $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^l}({\int }_{{\mathbb{R}}^m}f(x,y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}x$$

Demostración. La primera igualdad es por supuesto el teorema de Fubini. La segunda igualdad no es más que el resultado de combinar el teorema de Fubini con el cambio de coordenadas
$$(x_1,x_2,\dots ,x_l,x_{l+1},\dots ,x_n)\to (x_{l+1},\dots ,x_n,x_1,x_2,\dots ,x_l).$$

Integrales iteradas

Mediante varias iteraciones del teorema de Fubini, una integral puede ser descompuesta en integrales iteradas de muchas formas. Por ejemplo, podemos descomponer

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(z)\mathrm{d}z& ={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}({\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\mathrm{d}{x}_1)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-2}}\left({\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{\mathbb{R}}f(x_1,x_2,y^{\prime })\mathrm{d}{x}_1)\mathrm{d}{x}_2\right)\mathrm{d}{y}^{\prime }\\ & =\dots \\ & ={\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{\mathbb{R}}(\dots {\int }_{\mathbb{R}}f(x_1,\dots ,x_{n-1},x_n)\mathrm{d}{x}_1)\dots \mathrm{d}{x}_{n-1})\mathrm{d}{x}_n\end{array}$$

De igual manera

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(z)\mathrm{d}z& ={\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}f(x_1,y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}{x}_1\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}(\dots ({\int }_{\mathbb{R}}f(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{d}{x}_{\sigma (1)})\dots )\mathrm{d}{x}_{\sigma (n)}\end{array}$$

Son todas descomposiciones válidas. (En este caso $\sigma$ representa una permutación cualquiera de coordenadas).

En general tenemos mucha libertad para descomponer una integral. A la hora de resolver algún problema, es conveniente buscar la descomposición que «nos brinde mayor información» o «mejor se adapte al contexto del problema».

Hasta ahora hemos estado haciendo un gran uso de los paréntesis dentro de las integrales, principalmente para enfatizar el hecho de que las integrales son iteradas. Esto no es del todo necesario y a partir de ahora trataremos de omitirlos para aligerar la notación.

Fubini ayuda a checar integrabilidad

Algo que ocurre con frecuencia es que nos interesa calcular la integral de alguna función $f$ que sólo sabemos que es medible pero no integrable, es decir, que \textit{a priori} no podemos aplicar el teorema de Fubini.

La manera usual de proceder en estos casos es aplicar el toerema de Fubini a la función $|f|$. Con suerte seremos capaces de calcular o estimar: $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(z)|\mathrm{d}z={\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}|f(x,y)|\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
Para así asegurarnos de que $f\in L^1$ y poder usar Fubini sobre $f$.

Más adelante…

Veremos como el teorema de Fubini se especializa a productos de conjuntos, junto con algunas consecuencias.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada enunciaremos y probaremos el teorema de cambio de variable lineal para integrales de Lebesgue. Éste es un análogo al cambio de variable para integrales de Riemann que nos permite transformar integrales a versiones más simples o manejables.

Teorema (cambio de variable lineal). Sea $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible de $n\times n$ . Para cada función $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$. Consideremos $$f\circ T(x)=f(Tx).$$ Entonces:

1. Si $f$ es medible $⟹$ $f\circ T$ es medible.
2. Si $f\ge 0$ y $f$ es medible, entonces: $$\int f\mathrm{d}\lambda =|detT|\int f\circ T\mathrm{d}\lambda .$$
3. Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, entonces $f\circ T\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int f\mathrm{d}\lambda =|detT|\int f\circ T\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Sea $A$ un conjunto medible. Notemos que ${\chi }_A\circ T={\chi }_{T^{-1}A}$, pues ${\chi }_A\circ T(x)=1$ $⟺$ $T(x)\in A$ $⟺$ $x\in T^{-1}A$. Esto también nos garantiza que ${\chi }_A\circ T$ es medible. Por el teorma de invarianza de la medida de Lebesgue bajo transformaciones lineales tenemos entonces:

$$\begin{array}{rl}\int {\chi }_A\circ T\mathrm{d}\lambda & =\int {\chi }_{T^{-1}A}\mathrm{d}\lambda \\ & =\lambda (T^{-1}A)\\ & =|det{T}^{-1}|\lambda (A)\\ & =\frac{1}{|detT|}\int {\chi }_A\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Es decir, $$\int {\chi }_A\mathrm{d}\lambda =|detT|\int {\chi }_A\circ T\mathrm{d}\lambda .$$

Ahora, por linealidad, podemos concluir que para cualquier función simple no negativa $s\in S$, $s\circ T$ es medible con $$\int s\mathrm{d}\lambda =|detT|\int s\circ T\mathrm{d}\lambda .$$ Pues $$\int \sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{A_k}\mathrm{d}\lambda =|detT|\int \sum _{k=1}^m{\alpha }_k({\chi }_{A_k}\circ T)\mathrm{d}\lambda .$$

Para el caso general, consideremos $f\ge 0$ una función medible no negativa y ${s_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq S$ una sucesión de funciones simples tales que $s_k\uparrow f$. Es inmediato verificar que $s\circ T\uparrow f\circ T$, por lo que $f\circ T$ es medible. Además, por el teorema de la convergencia monótona tenemos:

$$\begin{array}{rl}\int f\mathrm{d}\lambda & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int s_k\mathrm{d}\lambda \\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}|detT|\int s_k\circ T\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|\int f\circ T\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Finalmente veamos el caso $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$. Podemos escribir $f=f_{+}-f_{-}$ con $\int f_{\pm }\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$. Similarmente $f\circ T=f_{+}\circ T-f_{-}\circ T$. Por el caso anterior, tenemos: $$\int f_{\pm }\mathrm{d}\lambda =|detT|\int f_{\pm }\circ T\mathrm{d}\lambda .$$

De donde $\int f_{\pm }\circ T\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$, es decir, $f\circ T\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y además:

$$\begin{array}{rl}\int f\mathrm{d}\lambda & =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|\int f_{+}\circ T\mathrm{d}\lambda -|detT|\int f_{-}\circ T\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|(\int f_{+}\circ T\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\circ T\mathrm{d}\lambda )\\ & =|detT|\int f\circ T\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Tenemos un resultado similar para las transformaciones afínes. La demostración es idéntica a la del teorema anterior (solo hay que usar adicionalmente la invarianza de la medida de Lebesgue bajo traslaciones). Dejamos los detalles como tarea moral.

Teorema (cambio de variable afín). Sea $G(x)=Tx+c$ una transformación afín, donde $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible de $n\times n$ y $c\in {\mathbb{R}}^n$ es un vector. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$. Consideremos $$f\circ G(x)=f(Tx+c)$$ Entonces:

1. Si $f$ es medible $⟹$ $f\circ G$ es medible.
2. Si $f\ge 0$ y $f$ es medible, entonces: $$\int f\mathrm{d}\lambda =|detT|\int f\circ G\mathrm{d}\lambda .$$
3. Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, entonces $f\circ G\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int f\mathrm{d}\lambda =|detT|\int f\circ G\mathrm{d}\lambda .$$

Más aún, podemos especializarlo a integrales sobre conjuntos:

Corolario (cambio de variable afín). Sea $G(x)=Tx+c$ una transformación afín, donde $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible de $n\times n$ y $c\in {\mathbb{R}}^n$ es un vector. Sea $f:E\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función sobre un conjunto medible $E$. Consideremos $$f\circ G(x)=f(Tx+c).$$ La cual está definida en $G^{-1}(E)$. Entonces:

1. Si $f$ es medible sobre $E$ $⟹$ $f\circ G$ es medible sobre $G^{-1}(E)$.
2. Si $f\ge 0$ y $f$ es medible, entonces: $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =|detT|{\int }_{G^{-1}(E)}f\circ G\mathrm{d}\lambda .$$
3. Si $f\in L^1(E)$, entonces $f\circ G\in L^1(G^{-1}(E))$ y $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =|detT|{\int }_{G^{-1}(E)}f\circ G\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Por el corolario anterior, notemos que $f$ medible sobre $E$ $⟹$ $f{\chi }_E$ es medible $⟹$ $(f{\chi }_E)\circ G=f\circ G\cdot {\chi }_E\circ G=f\circ G\cdot {\chi }_{G^{-1}(E)}$ es medible, o equivalentemente, $f\circ G$ es medible sobre $G^{-1}(E)$.

Si $f\ge 0$ sobre $E$, claramente $f\circ G\ge 0$ sobre $G^{-1}(E)$. Si $f\in L^1(E)$ $⟹$ $f\cdot {\chi }_E\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ $⟹$ $(f\cdot {\chi }_E)\circ G=f\circ G\cdot {\chi }_{G^{-1}(E)}\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ $⟹$ $f\circ G\in L^1(G^{-1}(E))$. En ambos casos:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & =\int f\cdot {\chi }_E\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|\int (f\cdot {\chi }_E)\circ G\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|\int (f\circ G)\cdot ({\chi }_E\circ G)\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|\int (f\circ G)\cdot {\chi }_{G^{-1}(E)}\mathrm{d}\lambda \\ & =|detT|{\int }_{G^{-1}(E)}f\circ G\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Comentario. Los resultados anteriores son generalizaciones de los cambios de variable para integrales de Riemann (mientras el cambio de variable sea afín). Las reglas mnemotécnicas para efectuar los cambios de variable en integrales de Riemann generalmente también aplican para integrales de Lebesgue y a menudo son útiles para simplificar los cálculos. Por ejemplo, de ser conveniente, podríamos hacer un cambio de variable en la integral

$${\int }_{E}f(G(x))\mathrm{d}x.$$ Escribamos (simbolicamente):

$$\begin{array}{rl}u& =G(x)=Tx+c\\ ⟹\mathrm{d}u& =|detT|\mathrm{d}x\\ ⟹\frac{1}{detT}\mathrm{d}u& =\mathrm{d}x.\end{array}$$

Y para el cambio de dominio de integración, podemos pensar que «integrar sobre $x\in E$ equivale a integrar sobre $u=G(x)\in G(E)$». Sustituyendo simbólicamente $G(x)$ y $\mathrm{d}x$ en la integral y cambiando el dominio: $${\int }_{E}f(G(x))\mathrm{d}x={\int }_{G(E)}f(u)\frac{\mathrm{d}u}{|detT|}=\frac{1}{|detT|}{\int }_{G(E)}f(u)\mathrm{d}u.$$
Que es precisamente el corolario anterior. Veamos un ejemplo concreto.

Ejercicio. Calcular la integral: $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4x^2+6x+9}\mathrm{d}x.$$

Solución. Hagamos el cambio de variable $u=2x+3=G(x)$. Notemos que $G[0,\mathrm{\infty })=[3,\mathrm{\infty })$ y el determinante de la transformación lineal asociada a $G$ ($x\to 2x$) es 2. Simbólicamente: $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$. Luego la integral se reduce a:

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4x^2+6x+9}\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(G(x){)}^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_3^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u^2}\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{2}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_3^N{(-\frac{1}{u})}^{\prime }\mathrm{d}u\\ & =\frac{1}{2}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-\frac{1}{u}]}_{u=3}^{u=N}\\ & =\frac{1}{2}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{3}-\frac{1}{N}]\\ & =\frac{2}{6}.\end{array}$$

Ejemplo. A veces podemos encontrarnos con familias de integrales con dominio variable. Para simplificar cálculos, a menudo conviene reescribirlas en «dominios fijos». Por ejemplo, en el caso de integrales de alguna función $f\in L^1$ sobre bolas de radio variable:

$$B(r)={\int }_{B_r(x_0)}f(y)\mathrm{d}y.$$

Para cada $r$ fijo, podemos hacer el cambio de variable $$y=rz+x_0$$ para cambiar el dominio de integración a la bola unitaria. Observa que el determinate de la tranformación $z\to rz$ es $r^n$.
$$B(r)={\int }_{B_r(x_0)}f(y)\mathrm{d}y=r^n{\int }_{B_1(0)}f(rz+x_0)\mathrm{d}z.$$

Más adelante…

Introduciremos el Teorema de Fubini: Un teorema fundamental en la teoría de integración que nos permite descomponer integrales sobre ${\mathbb{R}}^n$ en integrales iteradas más sencillas.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las entradas pasadas desarrollamos una gran cantidad de resultados asociados a la integral de Lebesgue, que demuestran que ésta tiene propiedades analíticas muy interesantes. Sin embargo, quedan dos preguntas importantes por responder: ¿Cuál es la relación que existe entre la noción «clásica» de integración (i.e. la integral de Riemann) y la integral de Lebesgue? ¿Cómo podemos evaluar integrales de funciones «sencillas»? (por ejemplo polinomios, funciones trigonométricas y exponenciales).

En esta entrada responderemos esa pregunta. Veremos que una función Riemann integrable es automáticamente $L^1$ y que las dos nociones de integral coinciden. Esto tiene una consecuencia importante: Si la función es Riemann integrable, podemos reducir el cálculo de la integral de Lebesgue a una integral de Riemann y usar todas las herramientas que ya conocemos de estas para calcular integrales (por ejemplo el teorema fundamental del cálculo, cambios de variable, etc.).

Breve repaso de la integral de Riemann

Una partición $P$ de un intervalo cerrado $[a,b]$ es una secuencia de puntos $a=t_0<t_1<\cdots <t_k=b$. Una partición de un rectángulo cerrado $A=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ es una colección $P=(P_1,\dots ,P_n)$ donde cada $P_i$ es una partición del intervalo $[a_i,b_i]$. Si $P_i$ divide a $[a_i,b_i]$ en $l_i$ intervalos consecutivos, entonces $P=(P_1,\dots ,P_n)$ divide a $A$ en $l_1\cdot l_2\cdot \cdots \cdot l_n$ subrectángulos (formados por productos de subintervalos inducidos por la partición). Denotaremos a la colección de dichos rectángulos como $R_P$.

Definimos el diámetro de una partición $P=(P_1,\dots ,P_n)$ como el supremo de los diámetros de los rectángulos inducidos: $$diam(P)=\underset{S\in R_P}{sup}\{diam(S)\}.$$

Sea $f:A\to \mathbb{R}$ una función acotada sobre un rectángulo $A$ y $P$ una partición de $A$. Para cada subrectángulo $S\in {\mathcal{R}}_P$ definimos

$$\begin{array}{rl}{m}_S& =inf\{f(x)|x\in S\}\\ M_S& =sup\{f(s)|x\in S\}.\end{array}$$

Definimos las sumas inferiores y superiores de $f$ asociadas a la partición $P$ como:
$$L(f,P)=\sum _{S\in R_P}{m}_s|S|;U(f,P)=\sum _{S\in R_P}{M}_s|S|.$$
Donde $|S|=\lambda (S)$ es el volúmen/medida del rectángulo $S$ (el producto de los intervalos componentes).

Decimos que una partición $P^{\prime }=(P_1\prime ,\dots ,P_n^{\prime })$ refina a $P=(P_1,\dots ,P_n)$ si $P_k\subseteq P_k^{\prime }$ para cada $k=1,2,\dots ,n$. (Esto es, cada subrectángulo de $P^{\prime }$ está contenido en un subrectángulo de $P$).

El siguiente Lema es estándar. Omitimos la demostración, ésta puede ser consultada en la mayoría de textos.

Lema. Si $P^{\prime }$ refina a $P$, entonces $$L(f,P)\le L(f,P^{\prime })\le U(f,P^{\prime })\le U(f,P).$$

Decimos que una función acotada $f:A\to \mathbb{R}$ es Riemann integrable si $$\underset{P}{sup}\{L(f,P)\}=\underset{P}{inf}\{U(f,P)\}.$$

El valor común $\underset{P}{sup}\{L(f,P)\}=\underset{P}{inf}\{U(f,P)\}$ es llamado la integral de Riemann de $f$ sobre $A$ y lo denotaremos provisionalmente como $${\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x.$$

Una clase importante de funciones Riemann integrables son las funciones continuas:

Proposición. Si $f$ es una función continua sobre un rectángulo $A$ entonces $f$ es Riemann integrable.

Omitimos la demostración.

Las integrales de Riemann y Lebesgue

Teorema. Sea $f$ una función acotada sobre un rectángulo $A$.

1. Si $f$ es Riemann integrable, entonces $f$ es Lebesgue medible (y por tanto integrable en $A$ al ser acotado), además $${\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda .$$
2. $f$ es Riemann integrable sobre $A$ si y sólo si $D=x|f\text{es discontinua en }x$ tiene medida de Lebesgue cero.

Demostración. Supongamos que $f$ es Riemann integrable. Para cada partición $P$ definamos:

$$g_P=\sum _{S\in R_P}{m}_S{\chi }_S;G_P=\sum _{S\in R_P}{M}_S{\chi }_S.$$

Si bien los rectángulos $S\in R_P$ no son ajenos, sólo se intersectan en conjuntos de medida cero (sus fronteras). Usando que $\lambda (S)=|S|$, concluimos facilmente:

$$\int g_P\mathrm{d}\lambda =L(f,P);\int G_P\mathrm{d}\lambda =U(f,P).$$

Como $\underset{P}{sup}\{L(f,P)\}=\underset{P}{inf}\{U(f,P)\}={\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x$, podemos encontrar una sucesión de particiones $P_1,P_2,\dots$ tales que $L(f,P_k),U(f,P_k)⟶{\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x$ cuando $k⟶\mathrm{\infty }$. Por el Lema podemos suponer sin pérdida de generalidad que para cada $k=1,2,\dots$, $P_{k+1}$ refina a $P_k$ y el diámetro de $P_k$ es menor a $\frac{1}{k}$.

Consideremos $$N_k=\bigcup _{S\in R_{P_k}}\partial S,$$ (Donde $\partial A$ denota la frontera del conjunto $A$ ), Y $$N=\bigcup _{k\in \mathbb{N}}{N}_k.$$
Es decir, $N$ es el conjunto de puntos que está en la frontera de alguno de los rectángulos inducidos por $P_k$ para algún $k$. Cada $N_k$ es un conjunto nulo (pues está contenido en una cantidad finita de hiperplanos) $⟹$ $N$ es un conjunto nulo.

Observemos que cualquier punto $x\notin N$ está estrictamente en el interior de cada rectángulo $S\in R_{P_k}$ al que pertenece. Esto nos garantiza que $g_{P_1}(x)\le g_{P_2}(x)\le \dots$ y $G_{P_1}(x)\ge G_{P_2}(x)\ge \dots$ pues si $x\in T\subseteq S$ con $S\in R_{P_k};T\in R_{P_{k+1}}$, entonces $g_{P_k}(x)=m_S\le m_T=g_{P_{k+1}}(x)$ y $G_{P_k}(x)=M_S\ge M_T=G_{P_{k+1}}(x)$. Además $|g_{P_k}(x)|,|G_{P_k}(x)|\le \underset{A}{sup}|f|$.

Por lo anterior, deducimos que $g_{P_k}$ es una sucesión crecieciente y acotada en c.t.p. mientras que $G_{P_k}$ es una sucesión decreciente y acotada en c.t.p. Esto garantiza que $g_{P_k}$ y $G_{P_k}$ convergen a ciertas funciones $g$ y $G$ con $g\le f\le G$ en c.t.p. ,además, ambas sucesiones están acotadas en norma por $\underset{A}{sup}|f|$. Se sigue del teorema de la convergencia dominada que:

$${\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}L(f,P_k)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int g_{P_k}\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda$$
$${\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}U(f,P_k)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int G_{P_k}\mathrm{d}\lambda =\int G\mathrm{d}\lambda$$

Como $G-g\ge 0$ (en c.t.p.) y $\int (G-g)\mathrm{d}\lambda =0$, se sigue que $G=g$ en c.t.p. $⟹$ $G=f=g$ en c.t.p., por lo que $f$ es medible. Más aún, es $L^1(A)$ pues es una función medible y acotada (en c.t.p.) sobre $A$. Por monotonía la única posibilidad es:

$$\int f\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda =\int G\mathrm{d}\lambda ={\int }_{\mathcal{R},A}f(x)\mathrm{d}x.$$

Se sigue 1.

Veamos la dirección ($⟹$) en 2. Supongamos que $f$ es Riemann integrable. Consideremos las funciones: $$h(x)=\underset{\delta \to 0}{lim}\underset{|y-x|\le \delta }{inf}f(y);H(x)=\underset{\delta \to 0}{lim}\underset{|y-x|\le \delta }{sup}f(y).$$

$h$ y $H$ están bien definidas pues $f$ es acotada. Desentrañando las definiciones es fácil ver que $H(x)=h(x)$ si y sólo si $f$ es continua en $x$. Usaremos la notación del inciso anterior.

Definamos $N^{\prime }=N\cup \{x|g(x)\ne G(x)\}$. En el inciso anterior probamos que los dos conjuntos en la unión son nulos, de modo que $N^{\prime }$ es nulo. Probaremos que si $x\notin N^{\prime }$ $⟹$ $H(x)=h(x)$ (en particular $f$ es continua en c.t.p.). Sea entonces $x\in A\setminus N^{\prime }$.

Sea $\epsilon >0$. Como $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k(x)=g(x)=G(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{G}_k(x)$, podemos encontrar una $M\in \mathbb{N}$ suficientemente grande tal que $$G_M(x)-g_M(x)<\frac{\epsilon }{2}.$$

Sea $S$ el rectángulo inducido por $P_M$ tal que $x\in S$. Como observamos anteriormente, $x$ está en el interior de $S$, de modo que podemos encontrar $\delta >0$ suficientemente pequeño tal que $$B_{\delta }(x)\subseteq S$$ Luego, $\mathrm{\forall }y\in B_{\delta }(x)$:
$$G_M(x)=\underset{y\in S}{sup}f(y)\ge \underset{|y-x|\le \delta }{sup}f(y)\ge \underset{|y-x|\le \delta }{inf}f(y)\ge \underset{y\in S}{inf}f(y)=g_M(x)$$
$$⟹\underset{|y-x|\le \delta }{sup}f(y)-\underset{|y-x|\le \delta }{inf}f(y)\le G_M(x)-g_M(x)<\epsilon .$$ Como esto se satisface para cualquier $\epsilon >0$, necesariamente $$h(x)=\underset{\delta \to 0}{lim}\underset{|y-x|\le \delta }{inf}f(y)=\underset{\delta \to 0}{lim}\underset{|y-x|\le \delta }{sup}f(y)=H(x).$$
Esto prueba la implicación ($⟹$) de 2.

La implicación ($⟸$) es esencialmente revertir los pasos anteriores: Tomemos cualquier sucesión de particiones cuyo diámetro se haga arbitrariamente pequeño y definamos $g_k,G_k,g,G,N$ como antes. Es fácil ver que si $H(x)=h(x)$ con $x\notin N$ $⟹$ $h(x)=g(x)=G(x)=H(x)$. En particular $g=G$ en c.t.p. Aplicando el teorema de la convergencia dominada se llega a una desigualdad análoga a (2) lo que implica que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}L(f,P_k)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}U(f,P_k)$, es decir, que $f$ es Riemann integrable.

Cálculo de integrales

Por el teorema anterior, podemos reducir el cálculo de una integral de Lebesgue al cálculo de una integral de Riemann mientras la función sea Riemann integrable. Esto nos permite usar todas las herramientas conocidas para el cálculo de integrales de Riemann, como el teorema fundamental del cálculo o los cambios de variable.

Esto se aprecia mejor con un ejemplo.

Ejercicio. Calcular la integral de Lebesgue $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x.$$

Solución. La sucesión $g_N(x)=e^{-x}{\chi }_{[0,N]}$ es una sucesión creciente de funciones medibles positivas. Claramente $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_N(x)=e^{-x}{\chi }_{[0,\mathrm{\infty })}$. Luego, por el teorema de la convergencia monótona:

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{\mathbb{R}}{g}_N(x)\mathrm{d}x=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^N{e}^{-x}\mathrm{d}x$$

Al ser continuas, las funciones del lado derecho son Riemann integrables sobre $[0,N]$. Por el teorema anterior, el cálculo de estas integrales (de Lebesgue) se reduce al cálculo de las integrales de Riemann, por lo que podemos usar el teorema fundamental del cálculo:

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^N{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-e^{-x}]}_{x=0}^{x=N}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}[-e^{-N}+e^0]\\ & =1-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-N}\\ & =1.\end{array}$$

El criterio del resultado anterior nos da otro argumento para ver que la función de Dirichlet no es Riemann integrable.

Ejemplo. La función de Dirichlet ${\chi }_{\mathbb{Q}}$ no es Riemann integrable en $[0,1]$, pues no es continua en ningún punto de este intervalo.

Ejercicio. Probar que la función $f(x)=\frac{x}{(x^2+x+1)\ln (1+x{)}^2}\in L^1([1,\mathrm{\infty }))$.

Solución. Observemos primero que $f\ge 0$ en $[1,\mathrm{\infty })$. En vez de calcular directamente ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$, es suficiente encontrar alguna función $g\in L^1([1,\mathrm{\infty }))$ tal que $0\le f\le g$. Consideremos entonces $$g(x)=\frac{1}{(x+1)(\ln (x+1){)}^2}.$$ Como $x+1\le \frac{x^2+x+1}{x}$ para $x\in [0,\mathrm{\infty })$ $⟹$ $f\le g$ en $[0,\mathrm{\infty })$. Por el teorema de la convergencia monótona:

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x+1)(\ln (x+1){)}^2}\mathrm{d}x\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^N\frac{1}{(x+1)(\ln (x+1){)}^2}\mathrm{d}x\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^N{(-\frac{1}{\ln (x+1)})}^{\prime }\mathrm{d}x\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-\frac{1}{\ln (x+1)}]}_{x=1}^{x=N}\\ & =\frac{1}{\ln (2)}-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\ln (N+1)}\\ & =\frac{1}{\ln (2)}-0\\ & =\frac{1}{\ln (2)}<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Más adelante…

Veremos el teorema de cambio de variable para integrales de Lebesgue. Análoga al de las integrales de Riemann, nos permite «cambiar coordenadas» en las integrales para reescribirlas de manera conveniente.

Tarea moral