Consideremos la transformación de coordenadas polares $$T : (0, \infty ) \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, 0) \big\}$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$$
En el dominio quitamos $r = 0$ porque ahí la función no es inyectiva. Sin embargo, con este dominio, sigue sin ser inyectiva.
Vamos a ver opciones de dominio.
$A \subseteq \mathbb{R}^2$ tales que $T \big|_A$ sea inyectiva.
¿Qué hace la función inversa?
$A = (0, \infty) \times (0, 2\pi)$
La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (x, 0) \big| x \geq 0 \big\}$
¿Cuál es la regla de correspondencia de $T^{-1}: B \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow A \subset \mathbb{R}^2 \; $?
$$ (x, y) \longrightarrow (r, \theta)$$ $$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 }$$
$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x < 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (\pi, 2\pi) \end{array} \right.$
$\theta = f (x, y)$
El conjunto $B$ es abierto. Veamos que pasa si tomamos un punto en la frontera de $B$. Por ejemplo el punto $(1, 0)$. Podemos calcular límites.
$$\big\{ (x_n, y_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1, 0)$$
$x_n = 1; y_n = \frac{1}{n}$
¿Existe el límite de $\big\{ \theta (x_n, y_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ ?
El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( x_n, y_n) = 0.$
$\big\{ T^{-1} (x_n, y_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1,0)$
$u_n = 1; v_n = \frac{-1}{n}$
¿Existe el límite de $\big\{ \theta (u_n, v_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ ?
El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( u_n, v_n) = 2\pi.$
Luego no existe el $\lim_{(x,y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$
Otra opción: $A = (0, \infty) \times (-\pi, \pi)$
https://www.geogebra.org/classic/knrkr3yb
La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (x, 0) \big| x \leq 0 \big\} $ entonces $\theta$ queda de la siguiente manera:
$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x > 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (-\pi, 0) \end{array} \right.$
ahora existe $\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$, nótese que además ahora el punto $(1, 0)$ está en $B$, más aún $T^{-1}(1,0) = (1,0)$. Sin embargo, ahora el punto $(-1, 0)$ no está en $B$. Al elegir perdemos algunos puntos.
Otra opción es definir $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, y) \big| y \geq 0 \big\}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{-3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
También puede ser $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, y) | y \leq 0 \big\}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{- \pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$
https://www.geogebra.org/classic/h2wjamfs
Otra opción diferente es:
Dada $f : (0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ consideramos la gráfica de $\theta = f(r)$
$A = \big\{ (r, \theta) \big| r > 0, f(r) – \pi < \theta < f(r) + \pi \big\}$
$f(r) = r ; \; \; r = \theta $ es una espiral.
$T|_A$ es inyectiva.
$$T (r_1, \theta_1) = T (r_2, \theta_2)$$
$$r_1 = r_2$$
y $\theta$ queda bien definida.
https://www.geogebra.org/classic/havzdrbv
Ejemplo
$A = \big\{ (r, \theta) \big| r>0, \, r \, – \, \pi < \theta < r + \pi \big\}$
En la circunferencia de radio $\pi.$
$$x^2+y^2=\pi^2$$
En la circunferencia de radio $2\pi.$
$$x^2+y^2=(2\pi)^2$$