MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

A pesar de lo que la intuición podría sugerir, como veremos, en general los límites no conmutan con integrales. A pesar de que en general no podemos intercambiar límites con integrales, sí que podemos dar un estimado bastante útil a la hora de comparar límites de integrales: El Lema de Fatou.

Las hipótesis del Teorema de la Convergencia Monótona no se pueden relajar

En general, no siempre podemos intercambiar límites con integrales. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Definamos $$g_k={\chi }_{[k-1,k]}\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$$
Claramente es una sucesión de funciones simples, medibles y no negativas. Además, para cualquier $x\in \mathbb{R}$ se tiene $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k(x)=0$, de donde: $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k=0.$$
Sin embargo, para cualquier $k$: $$\int g_k\mathrm{d}\lambda =1\cdot \lambda ([k-1,k])=1.$$
De modo que $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k\right)\mathrm{d}\lambda =0\ne 1=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int g_k\mathrm{d}\lambda .$$

Destacamos que la hipótesis de que la sucesión se funciones sea creciente es esencial en el teorema de la convergencia monótona.

El Lema de Fatou

Lema (de Fatou). Sean $f_1,f_2,f_3\dots$ funciones medibles y no negativas. Entonces:

$$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Para cada $k\in \mathbb{N}$, definamos: $$g_k=inf{f}_k,f_{k+1},f_{k+2},\dots .$$

Observa que ${g_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es una sucesión creciente de funciones medibles no negativas (¿Porqué?) y además $g_k\le f_k$ para todo $k$.

Luego, invocando el teorema de la convergencia monótona:

$$\begin{array}{rl}\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda & =\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{m\ge k}{inf}{f}_m\right)\mathrm{d}\lambda \\ & =\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{g}_k\right)\mathrm{d}\lambda \\ & =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int g_k\mathrm{d}\lambda \\ & \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Algunas consideraciones sobre el Lema de Fatou

Observación. En general también es cierto que $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$$ Simplemente porque $lim inf\int f_k\le lim sup\int f_k$, aunque este estimado es más débil.

Ejemplo. La igualdad en el teorema de Fatou suele ser estricta. Consideremos dos sucesiones $$a_k⟶\frac{1}{2}$$ Y $$b_k⟶\frac{1}{2}.$$
Con $0=a_0<a_1<a_2<\dots$ y $1=b_0>b_1<b_2<\dots$.

Definamos $$s_k=\frac{{\chi }_{[a_k,b_k]}}{b_k-a_k}.$$

$$⟹(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k)(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\ne \frac{1}{2}\\ \frac{1}{b_0-a_0}& \text{si }x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

$$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k\mathrm{d}\lambda =1\cdot \lambda (\left\{\frac{1}{2}\right\})=0.$$

Pero $$\int s_k\mathrm{d}\lambda =\frac{1}{b_k-a_k}\lambda ([a_k,b_k])=1$$
Así que en este caso: $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k\mathrm{s}\lambda =0<1=lim inf\int s_k\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. No hay una versión del Lema de Fatou con $lim sup$ en lugar de $lim inf$ (a menos de que pidamos más condiciones).

• En general $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda \ngeqq \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
  Consideremos $s_k$ como en el ejemplo anterior: $$s_k=\frac{{\chi }_{[a_k,b_k]}}{b_k-a_k}.$$
  Ahora tenemos
  $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{s}_k(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x\ne \frac{1}{2}\\ \mathrm{\infty }& \text{si }x=\frac{1}{2}.\end{array}$$
  $$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{s}_k\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }\cdot \lambda (\left\{\frac{1}{2}\right\})=0.$$
  Pero $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int s_k\mathrm{d}\lambda =1.$$
• Tampoco se tiene en general que $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$$
  Primero consideremos una sucesión de subconjuntos medibles $A_k\subseteq \mathbb{R}$ con $\lambda (A_k)=1$ tal que para cada $x\in \mathbb{R}$ el conjunto $$S_x=\{k\in \mathbb{N}|x\in A_k\}$$ Es infinito para todo $x\in \mathbb{R}$.
  Podemos construir una sucesión de tales $A_k$ de la siguiente manera: Tomamos $\{r_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una enumeración de $\mathbb{Q}$. Para cada $k$ definimos $A_k$ como el intervalo de longitud 1 centrado en $r_k$ (no importa si el intervalo es abierto o cerrado).
  Ahora definamos $$s_k={\chi }_{A_k}$$
  Entonces $$\int s_k\mathrm{d}\lambda =\lambda (A_k)=1$$ $$\therefore \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int s_k\mathrm{d}\lambda =1.$$
  Por otro lado, $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{s}_k={\chi }_{\mathbb{R}}=1$$ $$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{s}_k\mathrm{d}\lambda =\lambda (\mathbb{R})=\mathrm{\infty }.$$

A pesar de lo anterior, sí que podemos dar una versión «dual» del Lema de Fatou si asumimos algunas condiciones adicionales. Para la demostración del siguiente resultado, requerimos definir la integral de una función negativa: Si $f\le 0$ es medible, definimos provisionalmente $\int f\mathrm{d}\lambda :=-\int (-f)\mathrm{d}\lambda$. Asumiremos también que «la integral abre restas», es decir, que $\int (f-g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda -\int g\mathrm{d}\lambda$. En la siguiente entrada probaremos estas y muchas otras propiedades de la integral de funciones no necesariamente $\ge 0$.

Lema (dual de Fatou). Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones no negativas y medibles. Supongamos además que

1. $f_k\le f$ para todo $k\in \mathbb{N}$.
2. $\int f_k\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$.

Entonces, $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Consideremos $$g_k:=f-f_k.$$
Luego:

• $g_k\ge 0$ (por 1.)
• $g_k$ es Lebesgue medible (al ser combinación lineal de funciones medibles).

Entonces, el Lema de Fatou implica que:
$$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{g}_k\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int g_k\mathrm{d}\lambda .$$ Es decir $$\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(f-f_k)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(\int f\mathrm{d}\lambda –\int f_k\mathrm{d}\lambda ).$$
$$⟹\int f\mathrm{d}\lambda +\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(-f_k)\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda +\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(–\int f_k\mathrm{d}\lambda ).$$
Restando $\int f\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ de ambos lados y usando que $lim inf-a_k=-lim sup{a}_k$ concluimos:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Definiremos la integral para funciones medibles generales (no necesariamente $\ge 0$) y el concepto de función integrable (ó $L^1$). Veremos varias de sus propiedades, muchas análogas a las que hemos visto hasta ahora, aunque también algunas nuevas.

Tarea moral