Introducción
En las dos entradas anteriores estudiamos el plano fase para un sistema de dos ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes de la forma
Continuamos en esta entrada revisando el plano fase para sistemas de ecuaciones del mismo tipo, pero ahora consideraremos el caso cuando dicho sistema tiene valores propios repetidos. Sabemos que existen dos casos: cuando la matriz asociada al sistema es diagonalizable y cuando no lo es.
Si la matriz asociada es diagonalizable veremos que el plano fase tiene una forma muy sencilla. En efecto, como la solución general es de la forma
Si la matriz asociada al sistema no es diagonalizable entonces la solución general tiene la forma
Por supuesto, veremos algunos ejemplos para terminar de entender las ideas presentadas.
Plano fase para sistemas con valores propios repetidos
En el primer video estudiamos el plano fase de manera general para sistemas de la forma
En el segundo video dibujamos el plano fase de algunos sistemas de ecuaciones con un único valor propio.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Sea
una matriz de tamaño con entradas reales. Muestra que es diagonalizable y con único valor propio si y sólo si .
- Encuentra la solución general y dibuja el plano fase del sistema
- Resuelve y dibuja el plano fase del sistema
- Resuelve y dibuja el plano fase del sistema
Más adelante
Estamos a punto de finalizar el estudio del plano fase para sistemas de dos ecuaciones con coeficientes constantes. Sin embargo, aún nos falta un caso, que es cuando el sistema tiene un valor propio igual a cero. El plano fase para este tipo de sistemas es peculiar ya que el sistema tiene infinitos puntos de equilibrio. En la siguiente entrada estudiaremos este caso particular.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»