Introducción
En las entradas anteriores hemos estudiado y encontrado soluciones en forma de series a algunas ecuaciones especiales de segundo orden. Hasta el momento hemos revisado las ecuaciones de Hermite, Laguerre, Bessel y Legendre, y para finalizar esta serie de entradas, echaremos un vistazo a la ecuación de Chebyshev que debe su nombre al matemático Pafnuty Chebyshev, y a la ecuación hipergeométrica.
Primero encontraremos la solución general a la ecuación de Chebyshev, la cual tiene la forma $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-t\frac{dy}{dt}+\lambda^{2}y=0$$ con $\lambda$ constante y $|t|<1$, alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$. Como hicimos para las ecuaciones de Hermite y Legendre, haremos mención de la relación que guarda la solución general con los polinomios de Chebyshev.
Posteriormente revisaremos la ecuación hipergeométrica que es de la forma $$t(1-t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(\gamma-(1+\alpha+\beta)t)\frac{dy}{dt}-\alpha \beta y=0$$ con $\alpha$, $\beta$ constantes. Veremos que $t_{0}=0$ es un punto singular regular, encontraremos la ecuación indicial de manera general, es decir, para cualesquiera $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, y para finalizar resolveremos la ecuación para valores fijos de las constantes antes mencionadas.
Con este par de ecuaciones diferenciales finalizaremos la revisión de estas ecuaciones especiales, y entraremos a la recta final de la segunda unidad.
Ecuación de Chebyshev
En el video encontramos la solución general a la ecuación de Chebyshev alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, y mencionamos la relación que tiene la solución general encontrada con los polinomios que llevan el mismo nombre.
Ecuación hipergeométrica
En el último video de esta entrada probamos que $t_{0}=0$ es un punto singular regular para la ecuación hipergeométrica, posteriormente encontramos la ecuación indicial asociada, y posteriormente encontramos una solución a la ecuación diferencial cuando $\gamma=\frac{1}{2}$.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Investiga los cuatro primeros polinomios de Chebyshev. Prueba que son solución particular a la ecuación de Chebyshev para $\lambda=0,1,2,3$, respectívamente.
- Encuentra la solución general a la ecuación de Chebyshev para $\lambda=-1$.
- En el segundo video mencionamos que para $\gamma=\frac{1}{2}$ la ecuación indicial asociada a la ecuación hipergeométrica tiene raíces $r_{1}=\frac{1}{2}$, $r_{2}=0$, y encontramos una primera solución usando $r_{1}$. Encuentra una segunda solución usando $r_{2}$ (encuentra al menos los primeros tres coeficientes de la serie solución).
- Encuentra una solución a la ecuación hipergeométrica cuando $\alpha=1$, $\beta=1$, $\gamma=0$.
Más adelante
Con esta entrada finalizamos la revisión de algunas ecuaciones diferenciales especiales de segundo orden que se resuelven por los métodos de series estudiados anteriormente.
Casi concluimos la segunda unidad del curso, pero antes estudiaremos un poco el concepto de la transformada de Laplace, veremos algunas de sus principales propiedades y utilizaremos esta transformada para resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes.
¡Hasta la próxima!
Entradas relacionadas
- Ir a Ecuaciones Diferenciales I
- Entrada anterior del curso: Ecuaciones de Bessel y Legendre
- Siguiente entrada del curso: Método de la transformada de Laplace
- Notas escritas relacionadas con el tema: Ecuaciones de Bessel, Chebyshev e Hipergeométrica
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»