Introducción
En esta nota se han preparado las demostraciones de las propiedades de las operaciones que cumplen los números naturales. Las definiciones de estas operaciones se satisfacen para todos los números naturales. El objetivo de esta nota es hacer uso del quinto axioma de Peano, que derivamos en este trabajo a partir de la construcción de los números naturales dada por John Von Neumann, para mostrar que estas operaciones cumplen con los principios que hemos estado utilizando desde nuestra educación inicial: existe un elemento neutro, las operaciones son asociativas, conmutativas, distributivas, entre otras.
El resultado fundamental en el que se basan las siguientes demostraciones se refiere al quinto axioma de Peano, que derivamos en la nota 16. Este axioma nos dice que si un subconjunto $A$ de números naturales cumple que $0 \in A$ y que para cada $n \in A$, también $n^+ \in A$, entonces podemos afirmar que $A = \mathbb{N}$.
Siempre vamos a considerar un subconjunto $A \subseteq \mathbb{N}$, ese conjunto es $A = \set{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ cumple la propiedad } P}$.
Estas pruebas entonces tienen tres momentos:
- Paso Base (PB): En este paso verificaremos que $0 \in A$, es decir, que $0$ cumple la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$.
- Paso Inductivo (PI): En este paso supondremos que $n \in A$, es decir, que $n$ cumple la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$.
- Demostración de que $n^+ \in A$: En este paso demostraremos que el sucesor de $n$, que es $n^+$, también satisface la propiedad $P$ que caracteriza a los elementos de $A$ y, por lo tanto, también $n^+ \in A$.
Satisfechos estos tres momentos, podemos afirmar, gracias al quinto axioma de Peano, que $A = \mathbb{N}$ y, por lo tanto, todos los números naturales satisfacen la propiedad $P$.
Vamos a considerar la definición de las dos operaciones básicas con los números naturales: la suma y la multiplicación. Empecemos dando la definición de la suma y sus propiedades, las cuales probaremos por inducción.
Definición. Suma en $\mathbb N$
Dado $n\in \mathbb N$ definimos:
$n+0=n$
$n+m^+=(n+m)^+$ $\forall m\in \mathbb N$
Propiedades de la suma
Sean $a,b,n\in \mathbb N.$
- $0+n=n$. Neutro aditivo.
- $(a+b)+n=a+(b+n)$. Asociatividad.
- Si $a+n=b+n$, entonces $a=b$. Cancelación.
- $n+m=m+n$. Conmutatividad.
- Si $n\neq 0$ o $m\neq 0$, entonces $n+m\neq 0$
Demostración.
Demostración de la propiedad 1. El neutro aditivo.
Para cualquier natural $n$ se cumple que $0+n=0$.
Sea $A = \set{n \in \mathbb{N} \mid 0+n=n}$.
Paso Base. (PB).
Observa que $0\in A$ pues por definición de la suma $0+0=0.$
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que $m\in A$, es decir que $0+m=m.$
Demostración de que $m^+\in A$.
Lo que queremos demostrar es que $0+m^+=m^+.$
\[
\begin{aligned}
0 + m^+ &= (0 + m)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= m^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)}
\end{aligned}
\]
Demostramos que $m^+ \in A$ y, así, por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$ y, por lo tanto, $\forall n \in \mathbb{N}, \, 0 + n = n$. Observa que, por la definición de la suma, $n + 0 = n$, y nosotros acabamos de mostrar que $0 + n = n$; por lo tanto, $n + 0 = 0 + n$.
Demostración de la propiedad 2. Ley Asociativa de la suma.
Para cualesquiera $a,b,n\in \mathbb N$, se cumple que $(a+b)+n=a+(b+n)$.
Sean $a$ y $b$ cualesquiera naturales, considera el siguiente conjunto:
$A = \set{n \in \mathbb{N} \mid (a+b)+n=a+(b+n)}.$
Paso Base. (PB).
Observa que $0\in A$ pues por definición de la suma $(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que $m\in A$, es decir que $(a+b)+m=a+(b+m)$.
Demostración de que $m^+\in A$.
Lo que queremos demostrar es que $(a+b)+m^+=a+(b+m^+)$.
\[
\begin{aligned}
(a + b) + m^+ &= ((a + b) + m)^+ & \text{(Por definición de suma)} \\
&= (a + (b + m))^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= a + (b + m)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= a + (b + m^+) & \text{(Por definición de la suma)}
\end{aligned}
\]
De esta manera, $m^+ \in A$ y, por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley asociativa.
Demostración de la propiedad 3. Ley de cancelación de la suma.
Para cualesquiera $a,b,n \in \mathbb{N}$, si $a+n=b+n$, entonces $a=b$.
Sea $A =\set { n \in \mathbb{N} \mid a+n=b+n \Longrightarrow a=b }$.
Paso Base. (PB).
Observa que $0 \in A$, pues si $a+0 = b+0$, por definición de la suma, $a+0 = a$ y $b+0 = b$. Entonces, tenemos que $a = b$.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que $m \in A$, es decir, que si $a+m = b+m$ entonces $a = b$.
Demostración de que $m^+ \in A$.
Lo que queremos demostrar es que $a + m^+ = b + m^+$ implica que $a = b$.
\[
\begin{aligned}
a + m^+ &= b + m^+ & \text{(Partimos de esta hipótesis)} \\
(a + m)^+ &= (b + m)^+ & \text{(Por definición de la suma)}\\
a + m &= b + m & \text{(Por el axioma 4 de Peano)}\\
a &= b & \text{(Por hipótesis de inducción)}
\end{aligned}
\]
De esta manera, $m^+ \in A$ y, por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de cancelación de la suma.
Observación: La demostración de la propiedad 4 requerirá de un lema, ya que en alguno de los pasos de la demostración se tendrá que volver a usar inducción. Para facilitar la comprensión de la prueba, primero probaremos el lema y después la propiedad 4.
Lema: Para cualesquiera $m,n \in \mathbb{N}$ se tiene que $m^+ + n = (m + n)^+$.
Demostración:
Sea $S = \set{ n \in \mathbb{N} \mid m^+ + n = (m + n)^+ }$.
Paso Base. (PB).
Observa que $0 \in S$, pues:
\[
m^+ + 0 = m^+ = (m + 0)^+.
\]
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que $n \in S$, es decir, que $m^+ + n = (m + n)^+$.
Demostración de que $n^+ \in S$.
Lo que queremos demostrar es que $m^+ + n^+ = (m + n^+)^+$.
\[
\begin{aligned}
m^+ + n^+ &= (m^+ + n)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= ((m + n)^+)^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)} \\
&= (m + n^+)^+ & \text{(Por definición de la suma)}.
\end{aligned}
\]
De esta manera, $n^+ \in S$ y, por el quinto axioma de Peano, $S = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen que $m^+ + n = (m + n)^+$.
Observa que, por definición, $(m + n)^+ = m + n^+$, y por lo tanto, $m^+ + n = (m + n)^+ = m + n^+$.
Demostración de la propiedad 4. Ley de conmutatividad de la suma.
Para cualesquiera naturales $a$ y $n$, $a+n=n+a$
Demostración.
Sea $A = \set{n \in \mathbb{N} \mid a+n=n+a}$.
Paso Base. (PB).
Observa que $0\in A$ se da gracias a la propiedad 1, pues $a+0=a=0+a$.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que $m\in A$, es decir que $a+m=m+a.$
Demostración de que $m^+\in A$.
Lo que queremos demostrar es que $a+m^+=m^+ +a.$
\[
\begin{aligned}
a+m^+ &= (a + m)^+ & \text{(Por definición de la suma)} \\
&= (m+a)^+ & \text{(Por hipótesis de inducción)}\\
&= m^+ +a & \text{(Por el Lema)}
\end{aligned}
\]
De esta manera, $m^+ \in A$ y, por el quinto axioma de Peano, $A = \mathbb{N}$, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de la conmutatividad de la suma