(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota se realizarán demostraciones de las propiedades de las operaciones que cumplen los números naturales. El objetivo de esta nota es hacer uso del quinto axioma de Peano, que estudiamos en este trabajo a partir de la construcción de los números naturales, para mostrar que estas operaciones cumplen con los principios que hemos estado utilizando desde nuestra educación inicial: existe un elemento neutro, las operaciones son asociativas, conmutativas, distributivas, entre otras.
Dado que el argumento fundamental en el que se basan las siguientes demostraciones se refiere al quinto axioma de Peano o principio de inducción, ver la nota 16, recordemos a qué se refiere. Este axioma nos dice que si un subconjunto
Dado que queremos demostrar que todos los naturales cumplen con alguna propiedad
Estas pruebas entonces tienen dos momentos:
- Base de inducción: En este paso verificaremos que
, es decir, que cumple la propiedad que caracteriza a los elementos de . - Paso inductivo: En este paso supondremos que
, es decir, que cumple la propiedad que caracteriza a los elementos de (a esta hipótesis se le llama la hipótesis de inducción (HI)). A partir de ello demostraremos que el sucesor de , que es o , también satisface la propiedad que caracteriza a los elementos de , es decir, que .
Habiendo realizado estos dos pasos podemos afirmar, gracias al quinto axioma de Peano, que
Recordemos la definición de las dos operaciones básicas de los números naturales: la suma y la multiplicación, ver la nota 16.
Empecemos recordando la definición de la suma. Dado
Definición. Suma en
Dado
Propiedades de la suma
Sean
. Neutro aditivo. . Asociatividad.- Si
, entonces . Cancelación. . Conmutatividad.- Si
o , entonces
Demostración.
Demostración de la propiedad 1. El neutro aditivo.
Veamos que para cualquier natural
Sea
Base de inducción.
Observa que
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
Entonces
Así, por el quinto axioma de Peano,
Observación 1. Notemos que, por la definición de la suma,
Demostración de la propiedad 2. Ley Asociativa de la suma.
Veamos que para cualesquiera
Sean
Veamos que
Base de inducción.
Observa que
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
De esta manera,
Por el quinto axioma de Peano,
Demostración de la propiedad 3. Ley de cancelación de la suma.
Veamos que para cualesquiera
Sea
Base de inducción.
Observa que
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
De esta manera,
Por el quinto axioma de Peano,
Observación: La demostración de la propiedad 4 requerirá de un lema que se muestra a continuación, cuya demostración se realiza a su vez por inducción.
Lema: Para cualesquiera
Demostración:
Sea
Veamos que
Base de inducción.
Observa que
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
De esta manera,
Por el quinto axioma de Peano,
En consecuencia,
Observa que, por definición,
Demostración de la propiedad 4. Ley de conmutatividad de la suma.
Veamos que para cualesquiera naturales
Sea
Base de inducción.
Observa que
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
De esta manera,
Por el quinto axioma de Peano,
Las pruebas para las propiedades de la multiplicación también se harán por inducción.
Empecemos recordando la definición de la multiplicación en
Definición. Producto en
Dado
Recordemos también que podemos escribir
Propiedades del producto
Sean
. Neutro multiplicativo. . Distributividad. . Conmutatividad. . Asociatividad.- Si
y , entonces - Si
y entonces . Cancelación.
Demostración de la propiedad 1. Neutro multiplicativo.
Veamos que para cualquier natural
Sea
Base de inducción.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
Entonces
Por el quinto axioma de Peano,
Observación 2. Notemos que dado
Demostración de la propiedad 2. Ley distributiva del producto.
Veamos que para cualesquiera naturales
Veamos que
Base de inducción.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
Entonces
Por el quinto axioma de Peano,
Demostración de la propiedad 3. Conmutatividad del producto.
Se deja de Tarea Moral.
Demostración de la propiedad 4. Asociatividad del producto.
Veamos que para cualesquiera naturales
Veamos que
Base de inducción.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
entonces
Por el quinto axioma de Peano,
Demostración de la propiedad 5.
Se deja de Tarea Moral.
Demostración de la propiedad 6. Cancelación del producto.
Veamos que para cualesquiera naturales
Veamos que
Base de inducción.
Paso Inductivo. (PI).
Supongamos que
Ésta es la hipótesis de inducción.
Demostración de que
Lo que queremos demostrar es que
entonces
Por el quinto axioma de Peano,
Tarea Moral
- Demostrar la propiedad 5 de la suma.
- Demostrar que para
- Demostrar la propiedad 3 del producto.
- Demostrar la propiedad 5 del producto.
- Revisar la demostración de la propiedad de tricotomía del orden de los números naturales en el libro de Avella y Campero que se indica en la bibliografía del curso.
Más adelante
En la siguiente nota formalizaremos la noción intuitiva que tenemos acerca del tamaño de un conjunto usando para ello funciones. Veremos que la noción intuitiva de que dos conjuntos sean del mismo tamaño se formalizará pidiendo que exista una función biyectiva entre ambos.
Enlaces relacionados.
Nota anterior. Nota 18. El principio de inducción matemática.
Nota siguiente. Nota 19. Conjuntos equivalentes y cardinalidad.