Nota 18b. Demostraciones por inducción de las propiedades de las operaciones de los números naturales

Por Julio César Soria Ramírez

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota se realizarán demostraciones de las propiedades de las operaciones que cumplen los números naturales. El objetivo de esta nota es hacer uso del quinto axioma de Peano, que estudiamos en este trabajo a partir de la construcción de los números naturales, para mostrar que estas operaciones cumplen con los principios que hemos estado utilizando desde nuestra educación inicial: existe un elemento neutro, las operaciones son asociativas, conmutativas, distributivas, entre otras.

Dado que el argumento fundamental en el que se basan las siguientes demostraciones se refiere al quinto axioma de Peano o principio de inducción, ver la nota 16, recordemos a qué se refiere. Este axioma nos dice que si un subconjunto A de números naturales cumple que 0A y que cada vez que nA, también n+A, entonces podemos afirmar que A=N.

Dado que queremos demostrar que todos los naturales cumplen con alguna propiedad P, vamos a considerar el subconjunto AN dado por A={nNn cumple la propiedad P}. Usaremos el quinto axioma de Peano o principio de inducción para demostrar que A es el conjunto de números naturales, probando así que todos los naturales cumplen la propiedad P.

Estas pruebas entonces tienen dos momentos:

  1. Base de inducción: En este paso verificaremos que 0A, es decir, que 0 cumple la propiedad P que caracteriza a los elementos de A.
  2. Paso inductivo: En este paso supondremos que nA, es decir, que n cumple la propiedad P que caracteriza a los elementos de A (a esta hipótesis se le llama la hipótesis de inducción (HI)). A partir de ello demostraremos que el sucesor de n, que es n+ o n+1, también satisface la propiedad P que caracteriza a los elementos de A, es decir, que n+1A.

Habiendo realizado estos dos pasos podemos afirmar, gracias al quinto axioma de Peano, que A=N y, por lo tanto, todos los números naturales satisfacen la propiedad P.

Recordemos la definición de las dos operaciones básicas de los números naturales: la suma y la multiplicación, ver la nota 16.

Empecemos recordando la definición de la suma. Dado nN definimos:

n+0=n y n+m+=(n+m)+ mN.

Definición. Suma en N

Dado nN definimos:

n+0=n

n+m+=(n+m)+ mN

Propiedades de la suma

Sean n,m,lN.

  1. 0+n=n. Neutro aditivo.
  2. (n+m)+l=n+(m+l). Asociatividad.
  3. Si n+l=m+l, entonces n=m. Cancelación.
  4. n+m=m+n. Conmutatividad.
  5. Si n0 o m0, entonces n+m0

Demostración.

Demostración de la propiedad 1. El neutro aditivo.

Veamos que para cualquier natural n se cumple que 0+n=0.

Sea A={nN0+n=n} y veamos que A=N.

Base de inducción.

Observa que 0A pues por definición de la suma 0+0=0.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que mA, es decir que 0+m=m.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que m+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que 0+m+=m+.

0+m+=(0+m)+(Por definición de la suma)=m+(Por hipótesis de inducción)

Entonces m+A.

Así, por el quinto axioma de Peano, A=N y, por lo tanto, nN,0+n=n.

Observación 1. Notemos que, por la definición de la suma, n+0=n, y nosotros acabamos de mostrar que 0+n=n; por lo tanto, n+0=0+n=n, siendo así el cero el neutro de la suma en los naturales.

Demostración de la propiedad 2. Ley Asociativa de la suma.

Veamos que para cualesquiera n,m,lN, se cumple que (n+m)+l=n+(m+l).

Sean n y m cualesquiera naturales, considera el siguiente conjunto:

A={lN(n+m)+l=n+(m+l)}.

Veamos que A=N.

Base de inducción.

Observa que 0A pues por definición de la suma (n+m)+0=n+m=n+(m+0).

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que lA, es decir que (n+m)+l=n+(m+l).

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que l+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que (n+m)+l+=n+(m+l+).

(n+m)+l+=((n+m)+l)+(Por definición de suma)=(n+(m+l))+(Por hipótesis de inducción)=n+(m+l)+(Por definición de la suma)=n+(m+l+)(Por definición de la suma)

De esta manera, l+A.

Por el quinto axioma de Peano, A=N, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley asociativa.

Demostración de la propiedad 3. Ley de cancelación de la suma.

Veamos que para cualesquiera n,m,lN, si n+l=m+l, entonces n=m.

Sea A={lNn+l=m+ln=m} y veamos que A=N.

Base de inducción.

Observa que 0A, pues si n+0=m+0, por definición de la suma, n+0=n y m+0=m teniendo entonces que n=m.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que lA, es decir, que si n+l=m+l, entonces n=m.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que l+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que n+l+=m+l+ implica que n=m.

n+l+=m+l+(Partimos de esta hipótesis)(n+l)+=(m+l)+(Por definición de la suma)n+l=m+l(Por el axioma 4 de Peano)n=m(Por hipótesis de inducción)

De esta manera, l+A.

Por el quinto axioma de Peano, A=N, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de cancelación de la suma.

Observación: La demostración de la propiedad 4 requerirá de un lema que se muestra a continuación, cuya demostración se realiza a su vez por inducción.

Lema: Para cualesquiera m,nN se tiene que m++n=(m+n)+.

Demostración:

Sea mN. Consideremos

S={nNm++n=(m+n)+} y veamos que S=N.

Veamos que S=N.

Base de inducción.

Observa que 0S, pues:

m++0=m+=(m+0)+.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que nS, es decir, que m++n=(m+n)+.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que n+S usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que m++n+=(m+n+)+.

m++n+=(m++n)+(Por definición de la suma)=((m+n)+)+(Por hipótesis de inducción)=(m+n+)+(Por definición de la suma).

De esta manera, n+S.

Por el quinto axioma de Peano, S=N.

En consecuencia, m++n=(m+n)+ para cualesquiera m,nN.

Observa que, por definición, (m+n)+=m+n+, y de acuerdo a lo que acabamos de probar m++n=(m+n)+=m+n+.

Demostración de la propiedad 4. Ley de conmutatividad de la suma.

Veamos que para cualesquiera naturales n y m, m+n=n+m

Sea mN. Consideremos

A={nNm+n=n+m} y veamos que A=N.

Base de inducción.

Observa que 0A se da gracias a la propiedad 1, pues m+0=m=0+m.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que nA, es decir que m+n=n+m.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que n+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que m+n+=n++m.

m+n+=(m+n)+(Por definición de la suma)=(n+m)+(Por hipótesis de inducción)=n++m(Por el lema)

De esta manera, n+A

Por el quinto axioma de Peano, A=N, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de la conmutatividad de la suma.

Las pruebas para las propiedades de la multiplicación también se harán por inducción.

Empecemos recordando la definición de la multiplicación en N.

Definición. Producto en N

Dado nN definimos:

n0=0

nm+=nm+n mN.

Recordemos también que podemos escribir nm en lugar de nm.

Propiedades del producto

Sean n,m,lN.

  1. 1n=n. Neutro multiplicativo.
  2. (n+m)l=nl+ml. Distributividad.
  3. nm=mn. Conmutatividad.
  4. (nm)l=n(ml). Asociatividad.
  5. Si n0 y m0, entonces nm0
  6. Si l0 y nl=ml entonces n=m. Cancelación.

Demostración de la propiedad 1. Neutro multiplicativo.

Veamos que para cualquier natural n se cumple que 1n=n.

Sea A={nN1n=n} y veamos que A=N.

Base de inducción.

0A, pues por definición del producto 10=0.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que mA, es decir que 1m=m.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que m+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que 1m+=m+.

1m+=1m+1(Por definición del producto)=m+1(Por hipótesis de inducción)=m+(Dado que m+1=m+)

Entonces m+A.

Por el quinto axioma de Peano, A=N, lo que implica el 1 es el neutro multiplicativo.

Observación 2. Notemos que dado nN tenemos que n1=n0+=n0+n=0+n=n, y junto con lo anterior podemos afirmar que 1n=n=n1 para toda nN. Así, 1 es el neutro multiplicativo en los naturales.

Demostración de la propiedad 2. Ley distributiva del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales l,n,m se cumple que (n+m)l=nl+ml. Sean n,mN y consideremos el conjunto

A={lN(n+m)l=nl+ml}.

Veamos que A=N.

Base de inducción.

0A pues:

(n+m)0=0(Por definición del producto)=n0(Por definición del producto)=n0+0(Por definición de la suma)=n0+m0(Por definición del producto)

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que lA, es decir que (n+m)l=nl+ml

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que l+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que (n+m)l+=nl++ml+

(n+m)l+=(n+m)l+(n+m)(Por definición del producto)=nl+ml+n+m(Por hipótesis de inducción)=(nl+n)+(ml+m)(Por conmutatividad y asociatividad de la suma)=nl++ml+(Por definición del producto)

Entonces l+A.

Por el quinto axioma de Peano, A=N, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de distributividad del producto.

Demostración de la propiedad 3. Conmutatividad del producto.

Se deja de Tarea Moral.

Demostración de la propiedad 4. Asociatividad del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales l,n,m se cumple que (nm)l=n(ml). Para ello sean n,mN y consideremos el conjunto

A={lN(nm)l=n(ml)}.

Veamos que A=N.

Base de inducción.

0A pues:

(nm)0=0(Por definición del producto)=n0(Por definición del producto)=n(m0)(Por definición del producto)

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que lA, es decir que (nm)l=n(ml).

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que l+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que (nm)l+=n(ml+)

(nm)l+=(nm)l+(nm)(Por definición del producto)=n(ml)+nm(Por hipótesis de inducción)=(ml)n+mn(Por conmutatividad del producto)=(ml+m)n(Por distributividad producto)=(ml+)n(Por definición del producto)=n(ml+)(Por conmutatividad del producto)

entonces l+A.

Por el quinto axioma de Peano, A=N, lo que implica que todos los números naturales cumplen la ley de asociativa del producto.

Demostración de la propiedad 5.

Se deja de Tarea Moral.

Demostración de la propiedad 6. Cancelación del producto.

Veamos que para cualesquiera naturales l,n,m se cumple que si l0, entonces, nl=ml implica que n=m. Dado que trabajaremos con l0 sabemos por un ejercicio en la nota 18 que l es el sucesor de algún natural, por lo que l=k+ para alguna k natural. Así, el enunciado a probar se puede reescribir como: para cualesquiera naturales k,n,m se cumple que nk+=mk+ implica que n=m. Sean n,mN y consideremos el conjunto

A={kNnk+=mk+n=m}.

Veamos que A=N.

Base de inducción.

0A ya que si n0+=m0+, tenemos que n1=m1 y por la observación 2 sabemos n1=n y m1=m, entonces n=n1=m1=m, concluyendo así que n=m.

Paso Inductivo. (PI).

Supongamos que kA, es decir que nk+=mk+n=m.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que k+A usando la HI.

Lo que queremos demostrar es que n(k+)+=m(k+)+n=m

n(k+)+=m(k+)+(Empezamos con esta hipótesis)nk++k+=mk++k+(Por definición del producto)nk+=mk+(Por cancelación de la suma)n=m(Por hipótesis de inducción)

entonces k+A.

Por el quinto axioma de Peano, A=N, y así se vale la cancelación de factores no nulos en los naturales.

Tarea Moral

  1. Demostrar la propiedad 5 de la suma.
  2. Demostrar que para n+m=nm+m mN.
  3. Demostrar la propiedad 3 del producto.
  4. Demostrar la propiedad 5 del producto.
  5. Revisar la demostración de la propiedad de tricotomía del orden de los números naturales en el libro de Avella y Campero que se indica en la bibliografía del curso.

Más adelante

En la siguiente nota formalizaremos la noción intuitiva que tenemos acerca del tamaño de un conjunto usando para ello funciones. Veremos que la noción intuitiva de que dos conjuntos sean del mismo tamaño se formalizará pidiendo que exista una función biyectiva entre ambos.

Enlaces relacionados.

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