Introducción
La longitud de una curva como una integral nos permite estudiarla analíticamente. Recordemos que en cálculo el estudio de ciertos objetos matemáticos se hacen a partir de una aproximación. En este caso la noción intuitiva será: la longitud de una curva será el límite de longitudes de polígonos aproximados. Esta longitud estará definida como una integral.
Definición. Una arco de curva esta dado por una función vectorial
Definición. Sea C un arco de curva en
Consideremos el conjunto
Para cada partición
y su correspondiente longitud
Se dice C es rectificable si el conjunto
Ejemplo. Muestre que el arco de parábola C dado por
En este caso sea
esto quiere decir que la suma
Ejemplo. Mostrar que la siguiente función vectorial (curva)
En este caso consideramos particiones de
Los puntos de la poligonal que corresponden a la partición P son
La suma de las distancias de los segmentos de la poligonal es
Entonces,
lo cual implica que la suma
Teorema. [Criterio para determinar si una curva es rectificable]
Todo arco de curva de clase
Demostración.Sea
Sea P una partición del intervalo
Por el teorema del valor medio de Lagrange, existen
En consecuencia,
Si
Es decir, el conjunto
Ejemplo. Muestre que el arco de curva C dado por
En este caso
Más adelante
En esta sección vimos cómo aproximar la longitud de arco de una función vectorial con dominio acotado mediante el cálculo de las longitudes de polígonos. En la siguiente sección definiremos el cálculo de la longitud de arco, el cual, está determinado mediante una integral.
Tarea Moral
1.- Prueba que la curva definida como
2.- Prueba que
3.- Prueba que si una función f es deinida y monótona en el intervalo cerrado
4.- Muestra que la siguiente función
5.- Propón una función vectorial cuyo arco de curva sea rectificable y una donde no lo sea.