$\textcolor{blue}{Definición}$

Si C es un arco de curva rectificable, definimos su longitud $L(C)$ como la suma
$$\boxed{L_{C}=\sup{s(P)}=\sup\left\{\Sigma\|f(t_{k})-f(t_{k-1})\|\right\}}$$
Ahora vamos a obtener una fórmula para la longitud de arco.
Sea $\overline{\alpha}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ó $\mathbb{R}^{3}$, continua en $[a,b]$, derivable en (a,b) y $\overline{\alpha^{\prime}}(t)\neq 0$ para todo $t\in [a,b]$ y sea $P={t_{0},t_{1},…,t_{n}}$ una partición de $[a,b]$

entonces según la figura se tiene que
$$\ell(\overline{\alpha})\approx \sum_{i=1}^{n}\|\alpha(t_{i})-\alpha(t_{i-1})\|=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[\alpha_{1}(t_{i})-\alpha_{1}(t_{i-1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}(t_{i})-\alpha_{n}(t_{i-1})\right]^{2}}$$
Aplicando el teorema del valor medio en cada subintervalo $[t_{i-1},t_{i}]$ tenemos que
$$\frac{\alpha_{i}(t_{i})-\alpha_{i}(t_{i-1})}{t_{i}-t_{i-1}}=\alpha^{\prime}(t^*),~~~t^*\in(t_{i-1},t_{i})$$
se tiene que
\begin{align*}&\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[\alpha_{1}(t_{i})-\alpha_{1}(t_{i-1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}(t_{i})-\alpha_{n}(t_{i-1})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t_{1})(t_{i}-t_{i-1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t_{n})(t_{i}-t_{i-1})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t_{1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t_{n})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t_{1})\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t_{n})\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\sqrt{\left[\alpha_{1}^{\prime}(t)\right]^{2}+…+\left[\alpha_{n}^{\prime}(t)\right]^{2}}=\\&\sum_{i=1}^{n}\|\alpha^{\prime}(t^*)\|(t_{i}-t_{i-1})\\&Si~{n\rightarrow \infty}~~entonces~~\sum_{i=1}^{n}\|\alpha^{\prime}(t^*)\|(t_{i}-t_{i-1})\rightarrow \int_{a}^{b}\|\alpha^{\prime}(t)\|~dt\end{align*}
$\textcolor{blue}{Definición}$
Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ó $\mathbb{R}^{3}$ una curva parametrizable. Sean $a,b\in I$ con $a<b$. Para cualquier partición $P={t_{0},…,t_{n}}$ del intervalo $[a,b]$ definimos
$$sup\left\{\sum_{i=1}^{n}\|\alpha^{\prime}(t)\|(t_{i}-t_{i-1})\right\}=\int_{a}^{b}\|\alpha^{\prime}(t)\|~dt$$
curva o la longitud de arco de la curva en caso de que la integral exista.
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Calcular la longitud de arco de $\sigma(t)=(rt-r\sin(t),r-r\cos(t))$. En este caso
tenemos que $\sigma^{\prime}=(r-r\cos(t),r\sin(t))$ para $t\in[0,2\pi]$ $\therefore$ la longitud de arco es:
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi}\sqrt{(r-r\cos(t))^{2}+(r\sin(t))^{2}} &=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2}-2r^{2}\cos(t)+r^{2}\cos^{2}(t)+r^{2}\sin^{2}(t)}dt \\ &=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2r^{2}-2r^{2}\cos(t)}dt \\ &=\sqrt{2}r\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)}dt\\ &=\sqrt{2}r\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\sin\left(\frac{t}{2}\right)dt\\&=2r\int_{0}^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right)dt \\ &=2r\left(2\cdot\left(-\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right|_{0}^{2\pi}\right) \\ &=8r.~~\textcolor{orange}{\blacksquare} \end{align*}

Reparametrización de curvas

Consideremos la curva $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$
dada por $f(t)=(-t,\sqrt{1-t^{2}})$ la cual describe un arco de la
circunferencia $x^{2}+y^{2}=1$ entre -1 y 1.

Sea $\overline{f}:[0,\pi]\rightarrow[0,1]$ la función $\overline{f}(s)=[\cos(s),\sin(s)]$

Si definimos una función $\varphi:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]$ dada por $\varphi(s)=-cos(s)$ tenemos que $\overline{f}=f\circ\varphi$, es decir
$$\overline{f}(s)=f\circ \varphi(s)=f(\varphi(s))=f(-cos(s))=[-(-cos(s)),\sqrt{1-(-\cos(s))^{2}}]=[cos(s),\sin(s)]$$

Decimos que $\overline{f}$ es una reparametrización de $f$.$~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$
$\textcolor{blue}{Definición}$
Sea $f:[a,b]\subset\mathbb{R}^{n}$ una curva con derivada distinta de cero. Sea $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]$ una función con derivada continua sobreyectiva tal que $\varphi’\neq0$ $\forall s\in [a,b]$. Entonces la curva $\overline{f}=f\circ\varphi:[c,d]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ se llama reparametrización de la curva f.
$\textcolor{blue}{Nota}$
La condición $\varphi’\neq0$ nos conduce a $\varphi’>0$ o $\varphi'<0$. Si $\varphi’>0$ entonces $\varphi$ es una función creciente en [c,d] de modo que $\varphi(c)=a$ y $\varphi(d)=b$ y asi los puntos inicial y final de $\overline{f}$ coinciden con los respectivos de f$$\overline{f}(c)=f\circ\varphi(c)=f(\varphi(c))=f(a)~~~y~~~ \overline{f}(d)=f\circ\varphi(d)=f(\varphi(d))=f(b)$$
como $\overline{f}'(s)=\varphi'(s)f'(\varphi(s))$ entonces $f’$ y $\overline{f}’$ tienen la misma dirección y en este caso como $\varphi’~>0$, entonces, el camino en el que $\overline{f}$ recorre la curva descrita por f es en la misma dirección. Por lo tanto diremos que $\overline{f}$ es una reparametrización de f que conserva la orientación.
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Obtenga una reparametrización de la curva $f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $f(t)=(3t+2,t^{3}+3)$.
$\textcolor{orange}{Solución}$
Proponemos la función $t=\varphi(s)=2s$, en la cual se tiene $\varphi'(s)=2>0$,
es decir si su derivada es constante, entonces no se anula para ningun valor. Ahora bien si $t=0\Rightarrow s=0$ y $t=2\Rightarrow s=1$ por lo tanto $\varphi:[0,1]\rightarrow[0,2]$ mientras que
$$\overline{f}(s)=f(\varphi(s))=f(2s)=(3(2s)+2,(2s)^{3}+3)=(6s+2,8s^{3}+3)\quad
s\in[0,1]$$ tenemos entonces que $\overline{f}$ es una reparametrización de f. Vamos a comprobar que representan el mismo lugar geométrico. Para $f(t)$ se tiene $\displaystyle{x=3t+2\rightarrow t=\frac{x-2}{3}}$ y si $y=t^{3}+3$ entonces $\displaystyle{y=\left(\frac{x-2}{3}\right)^{3}+3}$ mientras que para $\overline{f}(s)$, $\displaystyle{x=6s+2\rightarrow s=\frac{x-2}{6}}$ por tanto si $y=8s^{3}+3$ entonces $\displaystyle{y=8\left(\frac{x-2}{6}\right)^{3}+3}$ por lo que igualando coordenadas de cada representación paramétrica, se tiene$$\left(\frac{x-2}{3}\right)^{3}+3=8\left(\frac{x-2}{6}\right)^{3}+3\Rightarrow \frac{1}{3^{3}}=\frac{8}{6^{3}}$$ lo cual es cierto y por lo tanto representan el mismo lugar geometrico.$~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$
$\fbox{$\textcolor{blue}{Proposición}$}$
Supongamos que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es una curva con $f’\neq 0$ y que $\overline{f}:[c,d]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es una reparametrización de f. Entonces
$$\int_{a}^{b}\|f'(t)\|~dt=\int_{c}^{d}\|\overline{f}'(s)\|~ds$$
$\fbox{$\textcolor{blue}{Demostración}$}$

Tenemos que $\overline{f}=f\circ \varphi$, donde $\varphi:[c,d]\rightarrow[a,b]$ es de clase $c^{1}$, biyectiva y $\varphi’\neq 0~~\forall~s\in [c,d]$. Entonces
\begin{align*} L(\overline{f}) &=\int_{c}^{d}|\overline{f}'(s)|~ds \\ &=\int_{c}^{d}\|\varphi'(s)f'(\varphi(s))\|~ds \\ &=\int_{c}^{d}\|\overline{f}'(\varphi(s))\|~|\varphi'(s)|~ds~~~(si~\varphi’>0)\\
&=\int_{c}^{d}\|\overline{f}'(\varphi(s))\|~\varphi'(s)~ds \\
&=\int_{a}^{b}\|f'(t)\|~dt,~~(t=\varphi(s),~~dt=\varphi'(s)~ds) \\
&=L(f).~~\textcolor{orange}{\blacksquare}\end{align*}
$\fbox{$\textcolor{red}{Función~ Longitud~ de~ Arco}$}$
A continuación introducimos la función longitud de arco de una curva. Esta función nos permitirá prporcionar una nueva reparametrización de una curva, lo cual será de gran
utilidad más adelante.
$\textcolor{blue}{Definición}$
Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva de longitud L. Se llama función \textbf{longitud de arco} de la curva $f(t)$ a la función $s:[a,b]\rightarrow[0,L]$ dada por
$$s(t)=\int_{a}^{t}\|f'(u)\|~du$$
$s(t)$ es la longitud del arco entre los puntos $P_{0}$ y $P$, que son los puntos terminales de $f(a)$ y $f(t)$

$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Hallar la función longitud de arco de la hélice $f(t)=(\cos(t),\sin(t),t),~~t\in[0,2\pi]$.
$\textcolor{orange}{Solución}$
En este caso tenemos que
\begin{align*} f'(t) & =(-\sin(t),\cos(t),1) \\ |f'(t)| & =\sqrt{(-\sin(t))^{2}+(\cos(t))^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \end{align*}
Ahora, para $t\in[0,2\pi]$ tenemos
$$s(t)=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|~du=\int_{0}^{t}\sqrt{2}~du=\sqrt{2}t$$
Si $t\in[0,2\pi]$ entonces
\begin{align*} s(0)&=0\\s(2\pi)&=2\pi\sqrt{2}\end{align*}
Luego, la función longitud de arco $s:[0,2\pi]\rightarrow[0,2\pi\sqrt{2}]$ de esta porción de hélice es
$$s(t)=\sqrt{2}t.~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$
$\fbox{$\textcolor{red}{Reparametrización~ por~ Longitud~ de~ Arco}$}$
Entre las muchas reparametrizaciones de una curva contamos con una que está muy relacionada con las características geométricas de la curva y además, posee propiedades importantes. Esta es la \textbf{reparametrización por longitud de arco}, la que se obtiene mediante la función de longitud de arco.
Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva diferenciable. Para reparametrizarla por longitud de arco se siguen los siguientes pasos:
(a) Hallar la función longitud de arco de la curva:
$$s:[a,b]\rightarrow[0,L],~~~\displaystyle{s(t)=\int_{a}^{t}\|f'(u)\|~du}$$
(b) Hallar la función inversa de la función longitud de arco:
$$\varphi=s^{-1}:[0,L]\rightarrow[a,b]$$
La reparametrización por longitud de arco de la curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ es
$$\overline{f}=f\circ \varphi:[0,L]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$$
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Sea $f(t)=(r \cos t , r\sin t)$ con $t\in[0,2\pi]$. Obtengamos su reparametrizacion por longitud de arco.
$\textcolor{orange}{Solución}$
(a) Hallamos la función longitud de arco s(t) que en éste caso es:
$$f'(t)=(-r\sin(t),r\cos(t))~~y~~\|f'(t)\|=\sqrt{(-r\sin(t))^{2}+(r\cos(t))^{2}}=r$$
$s:[0,2\pi]\rightarrow[0,2\pi r]$, $\displaystyle{s(t)=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|~du=\int_{0}^{t}r~du=rt}$ esto es
$$s(t)=rt$$
Si $t\in[0,2\pi]$ entonces
\begin{align*}s(0)&=0\\s(2\pi)&=2\pi r\end{align*}
Por lo que $s\in[0,2\pi r]$
(b) Hallamos la función inversa de la longitud de arco
$$\varphi=s^{-1}:[0,2\pi r]\rightarrow[0,2\pi]$$
Sea $s=s(t)$. Entonces $s=rt$, por lo tanto despejando t tenemos $\displaystyle{t=\frac{s}{r}}$. Luego
$$t=\varphi(s)=s^{-1}=\frac{s}{r}$$
Por lo tanto la reparametrización buscada es
$$\overline{f}(s)=f\circ \varphi(s)=f\left(\varphi(s)\right)=f\left(\frac{s}{r}\right)=\left(r\cos
\left(\frac{s}{r}\right),r\sin\left(\frac{s}{r}\right)\right)~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$
$\fbox{Observación}$
En el ejemplo anterior notamos que:
$$\|\overline{f}^{\prime}(s)\|=
\left\|-r\sin\left(\frac{s}{r}\right)\frac{1}{r},r\cos \left(\frac{s}{r}\right)\frac{1}{r}\right\|=
\left\|-\sin\left(\frac{s}{r}\right),\cos\left(\frac{s}{r}\right)\right\|=1$$
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Sea $f(t)=(\cos t , \sin t,t),~~t\in[0,2\pi]$ . Obtengamos la reparametrizacion por la longitud de arco.
$\textcolor{orange}{Solución}$
(a) Hallamos la función longitud de arco s(t), que en éste caso es:
$$f'(t)=(-\sin(t),\cos(t),1)~~y~~\|f'(t)\|=\sqrt{(\sin(t))^{2}+(\cos(t))^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$
Si $t\in[0,2\pi]$ entonces $s:[0,2\pi]\rightarrow[0,2\pi \sqrt{2}]$, por lo que$\displaystyle{s(t)=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|~du=\int_{0}^{t}\sqrt{2}~du=\sqrt{2}t}$ esto es
$$s(t)=\sqrt{2}t$$
Hallamos la función inversa de la longitud de arco
$$\varphi=s^{-1}:[0,2\pi \sqrt{2}]\rightarrow[0,2\pi]$$
Sea $s=s(t)$. Entonces $s=\sqrt{2}t$, por lo tanto despejando t tenemos $\displaystyle{t=\frac{s}{\sqrt{2}}}$. Luego
$$t=\varphi(s)=s^{-1}=\frac{s}{\sqrt{2}}$$
y la reparametrización buscada es
$$\overline{f}(s)=f\circ h(s)=f\left(h(s)\right)=f\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)=\left(r\cos
\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right),~~s\in[0,2\pi \sqrt{2}]\textcolor{orange}{\blacksquare}$$
$\fbox{La reparametrización por longitud de arco tiene rapidez constante}$
Sabemos que si $\textbf{s}:[a,b]\rightarrow [c,d]$ es una función de clase $c^{1}$ tal que $\textbf{s}’\neq 0~~\forall~t\in[a,b]$, también se tiene $\textbf{s}^{-1}:[c,d]\rightarrow [a,b]$ es tal que $(\textbf{s}^{-1})’$ es de clase $c^{1}$.
Observamos que la función $\varphi=\textbf{s}^{-1}:[c,d]\rightarrow [a,b]$ tiene entonces las características que se necesitan para que $\overline{f}=f\circ \varphi$ sea una reparametrización de f.

Tenemos que para $s\in [c,d]$
$$\overline{f}(s)=(f\circ\varphi)(s)=f(\varphi(s))$$
por lo que
$$\overline{f}'(s)=(f\circ\varphi)'(s)=f'(\varphi(s))\varphi'(s)$$
Pero
$$\varphi'(s)=(\textbf{s}^{-1})'(s)=\frac{1}{\textbf{s}'(\textbf{s}^{-1}(s))}=\frac{1}{\textbf{s}'(\varphi(s))}=\frac{1}{\|f'(\varphi(s))\|}$$
Por lo tanto
$$\|\overline{f}'(s)\|=\|f'(\varphi(s))\varphi'(s)\|=\left\|f'(\varphi(s))\cdot\frac{1}{\|f'(\varphi(s))\|} \right\|=\|f'(\varphi(s))\|\cdot\frac{1}{\|f'(\varphi(s))\|}=1~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$
$\fbox{Propiedad de la reparametrización por longitud de arco}$.
Si $\overline{f}$ es una reparametrización de f tal que $\|\overline{f}(t)\|=1$ para toda $t\in [a,b]$ entonces
$$L(\overline{f})=\int_{a}^{b}\|\overline{f}(t)\|~dt=\int_{a}^{b}~dt=b-a$$
Por lo que $\overline{f}$ es una reparametrización tal que la longitud que describe es igual al tiempo que tarda en recorrerla.$~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$