Introducción

El criterio de Cauchy es una herramienta bastante útil para demostrar convergencia en conjuntos compactos porque en estos conjuntos toda sucesión de Cauchy converge necesariamente.

Definición. Sea $\overline{x_k}$ una sucesión de puntos de ${\mathbb{R}}^n$. Se dice que $\overline{x_k}$ es una sucesión de Cauchy si dado $ϵ>0$ $\mathrm{\exists }{N}_0\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_k}-\overline{x_l}|<ϵ$ $\mathrm{\forall }k,l\ge N_0$

Teorema 1. Una sucesión $\overline{x_k}\in {\mathbb{R}}^n$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy

Demostración. $\Rightarrow$ Suponemos que $\overline{x_k}\to \bar{x}$ $\therefore$ $|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$ $\mathrm{\forall }k>N_0$. Se tiene entonces que $$|\overline{x_k}-\overline{x_l}|=|\overline{x_k}-\bar{x}+\bar{x}-\overline{x_l}|\le |\overline{x_k}-\bar{x}|+|\bar{x}-\overline{x_l}|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$ $\mathrm{\forall }k,l>N_0$ $\therefore$ $\overline{x_k}$

$\Leftarrow$ Supongamos que $\overline{x_k}$ cumple la condición de Cauchy por tanto se tiene que: $$|\overline{x_k}-\overline{x_l}|<ϵ\Rightarrow |x_{i,k}-x_{i,l}|<ϵ\mathrm{\forall }i\Rightarrow x_{i,k}cumpleCauchy$$ $\therefore$ $x_{i,k}$ es convergente $\mathrm{\forall }i$ $\therefore$ $\overline{x_k}$ es convergente. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema 2. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesión $\overline{x_k}$ en ${\mathbb{R}}^n$ acotada tiene un punto limite. Dicho de otro modo, toda sucesión en ${\mathbb{R}}^n$ tiene una subsucesión convergente

Demostración. Sea $\overline{x_k}$ en ${\mathbb{R}}^n$ suponiendo $\overline{x_k}$ es acotada, entonces cada $x_{i,k}$ es acotada $\therefore$ según el teorema de Bolzano-Wierstrass para sucesiones en $\mathbb{R}$, $x_{i,k}$ tiene una subsucesión convergente ${\alpha }_{i,k}$ la cual es una sucesión convergente, $\therefore$ podemos formar la sucesiòn $\overline{x_{\alpha ,k}}=x_{\alpha ,1,k},x_{\alpha ,2,k},\dots ,x_{\alpha ,n,k}$ la cual es una sucesión convergente, pero $\overline{x_{\alpha ,k}}$ es subsucesión de $\overline{x_k}$ $\therefore$ $\overline{x_k}$ tiene una subsucesión convergente. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Criterio de Convergencia de Cauchy

Una colección $g$ de conjuntos abiertos cuya unión contiene a $K$ con frecuencia se llama cubierta de $K$. De modo que el requisito para que $K$ sea compacto es que toda cubierta $g$ de $K$ se pueda sustituir por una cubierta finita $g$ de $K$.

Ejemplo. Sea $k=x_1,x_2,\dots ,x_m$ un subconjunto finito de ${\mathbb{R}}^n$ si $G=G_{\alpha }$ es una colección de abiertos tal que $k\subset G_{\alpha }$ y si todo punto de k pertenece a algún subconjunto de $G_{\alpha }$ entonces cuando más m subconjuntos de $G_{\alpha }\supset k$ $\therefore$ k es un subconjunto compacto de ${\mathbb{R}}^n$.

Ejemplo. Considere al subconjunto $H=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 0\}$. Sea $G_n=(-1,n)$ $n\in \mathbb{N}$ de tal manera que $G_n|n\in \mathbb{N}$ sea una colección de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ cuya union contenga a $H$. Si $G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$ es una subcolección finita de $G_n|n\in \mathbb{N}$. Sea $M=sup\{n_1,n_2,\dots ,n_k\}$ de tal manera que $G_{n_j}\subset G_{n_k}$ de aquí deducimos que $G_M$ es la unión de
$G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$. Sin embargo el número real $M$ no pertenece a $G_M$ y por lo tanto no pertenece a $\bigcup _{j=1}^k{G}_{n_j}$. En consecuencia, ninguna unión finita de $G_n|n\in \mathbb{N}$ puede contener a $H$.$\therefore$ $H$ no es compacto.

Ejemplo. Demuestrese que todo intervalo cerrado $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ es compacto.
Demostración. Supongamos un recubrimiento abierto $[a,b]$ tal que no admite subrecubrimiento finito. Entonces tampoco existe un subrecubrimiento finito para

$[a,c]$ $[c;b]$ con $c$ punto medio. Sea $[a_1,b_1]=[a,c]$ el intervalo para el cual no existe el subrecubrimiento finito.

Sea $[a_1,b_1]=[a,c]$ el intervalo para el cual no existe el subrecubrimiento finito.

Sea $p$ el punto de intersección y sea $U$ el recubrimiento que contiene a $p$ y sea $[p-\epsilon ,p+\epsilon ]\subset U$. Entonces existe $r\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n>r$,$\frac{b-a}{2^n}<\epsilon$ y $\mathrm{\forall }n\ge r$ $[a_n,b_n]\subset U\underset{\circ }{▽}$ ya que ningun $[a_k,b_k]$ admitía un subrecubrimiento finito.

Ejemplo. Sea $H=(0,1)$ en $\mathbb{R}$. Si $G_n=\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}$ para $n>0$ entonces la colección$G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$ es una subcolección finita de $G_n|n>2$. Sea $M=sup{n}_1,\dots ,n_k$ de tal manera que $G_{n_j}\subset G_M$ se ifiere que $G_M$ es la unión de $G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$ sin embargo el número real $\frac{1}{m}$ pertenece a $H$ pero no pertenece a $G_M$ $\therefore$ ninguna subcolecciónfinita de $\{G_n|n>2\}$ puede formar una subcolección finita para $H$ $\therefore$ $H$ no es compacto.

Compactos por Sucesiones

Teorema 3. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$ tal que para todo recubrimiento abierto ${\left\{A_i\right\}}_{i\in I}$ admite un subrecubrimiento finito es decir ${\displaystyle A\subset \bigcup _i^n{A}_i}$ entonces toda sucesión de puntos de $A$ tiene una subsucesión convergente hacia un punto que pertenece a $A$

Demostración. Supongamos que exite una sucesión $\bar{x}n\in A$ que no tuviera una subsucesión convergente (en este caso ${\bar{x}}_n$ tiene infinitos elementos). Sea $\bar{x}\in A$ como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\bar{x}n\ne \bar{x}$, existe $\delta x>0$ tal que en la bola abierta $B(\bar{x},{\delta }_x)$ solo hay a lo más un número finito de elementos de ${\bar{x}}_n$. Entonces la familia de abiertos $B(\bar{x},\delta x)$ es un recubrimiento abierto de A; por hipótesis este recubrimiento admite un subrecubrimiento finito $A_{x_1},A_{x_2},\dots ,A_{x_n}$ de estos abiertos. Por lo tanto los infinitos elementos de ${\bar{x}}_n$ que estan en $A$ pueden ser cubiertos por un número finito de conjuntos abiertos $\underset{\circ }{▽}$ pues cada $A{x}_i$ cubre a lo mas un número finito de elementos de $A$.

Teorema 4. Si toda sucesión de puntos de $A$ tiene una subsucesión convergente hacia un punto que pertenece a $A$ entonces $A$ es cerrado y acotado.

Demostración. A es cerrado. Sea $\bar{a}\in {\mathbb{R}}^n$ tal que $\bar{a}\in \partial A$ vamos a ver que $\bar{a}\in A$. Como $\bar{a}\in \partial A$ entonces $\mathrm{\forall }r>0$ $B(\bar{a},r)\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$ consideremos ahora $r=\frac{1}{n}$ y en cada bola abierta ${\displaystyle (\bar{a},\frac{1}{n}}$ hay algún punto de $A$ al que podemos llamar $\bar{x}n$ de esta manera construimos una sucesión de puntos de $A$ que convergen a $\bar{a}$ por lo tanto por hipótesis $\bar{a}\in A$ por tanto $A$ es cerrado.

A es acotado. Si $A$ no fuera acotado, existiria una sucesión ${\bar{x}}_n$ de puntos de $A$ tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\bar{x}}_n=\mathrm{\infty }$ y este límite no estaría en $A$ $\underset{\circ }{▽}$ por tanto $A$ es acotado.

Teorema. Heine-Borel. Todo subconjunto cerrado y acotado es compacto.

$1.-$ $K$ compacto implica que $K$ es cerrado.

Demostración. Sea $\overline{x}\in K^c$ y sea $G_m=\{y\in {\mathbb{R}}^n||y-x|>\frac{1}{m},m\in \mathbb{N}\}$ entonces $y\in ExtB(\overline{x},\frac{1}{m})$ cada $G_m$ es abierta, la unión de todas las $G_m$ consta de todos los puntos de ${\mathbb{R}}^n$ excepto $x$. Dado que $x\in K$ cada punto de $K$ pertenece a algún $G_m$. Debido a la compacidad de $K$, se infiere que existe $M\in \mathbb{N}$ tal que $K\subset \bigcup _1^m{G}_i$. Dado que los conjuntos $G_m$ incrementan con $m$, $K\subset G_m$ de donde la vecindad $z\in {\mathbb{R}}^n||z-x|<\frac{1}{m}$ no intercepta a $K$ demostrando que $K^c$ es abierto $\therefore$ $K$ es cerrado.

$2.-$ $K$ compacto implica que $K$ es acotado.

Demostración. Sea $H_m=\{x\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x\Vert <m\}$ todo el espacio ${\mathbb{R}}^n$ y por tanto $K$ está contenido en la unión de los conjuntos crecientes, $H_m$ $m\in \mathbb{N}$. Dado que $K$ es compacto existe $M\in \mathbb{N}$ tal que $K\subset H_m$ por lo que $K$ esta acotado.

Para completar la demostración de este teorema se necesita probar que si $K$ es un subconjunto cerrado y acotado contenido en la unión de una colección $g{G}_{\alpha }$
de conjuntos abiertos en ${\mathbb{R}}^n$, entonces está contenido en la unión de
algún número finito de conjuntos de $g$.

Dado que $K$ esta acotado, encontramos un punto de acumulación de $K$, como $K$ es cerrado $y\in K$ y esta en alguna celda abierta, por lo tanto existe $\epsilon >0$ tal que para cada $w$ con $|y-w|<\epsilon$ en la celda abierta y si suponemos que $g=G_{\alpha }$ no admite un subrecubrimiento finito llegamos a una contradicción.

Teorema 6. Si $S$ es un conjunto cerrado y acotado en ${\mathbb{R}}^n$ entonces $S$ es compacto por sucesiones

Demostración. Suponga que $S$ es cerrado y acotado, sea $x_k$ una sucesión de puntos de $S$, se tiene entonces que $S$ es acotada y por el teorema de Bolzano- Weierstrass $x_k$ tiene una subsucesión convergente $x_{k_{\alpha }}$ tal que $x_{k_{\alpha }}\to x$ y como $S$ es cerrado $x\in S$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante

En la siguiente sección estudiaremos el cálculo diferencial en las funciones reales (${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$). Notaremos como los conceptos definidos en esta sección son necesarios para la noción de derivada, entre otros temas

Tarea Moral

1.-Sea $\{{\hat{x}}_k=(x_k^{(1)},\dots ,x{{}^{(}n)}_k)\}$ una sucesión en ${\mathbb{R}}^n$. Pruebe que $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ está acotada si y sólo si $\left\{x_k^{(i)}\right\}$ está acotada para cada $i\in 1,\dots ,n$.

2.- Pruebe que si $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ es una sucesión de Cauchy en ${\mathbb{R}}^n$, entonces cualquier subsucesión también lo es.

3.- Sea $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ una sucesión de Cauchy en ${\mathbb{R}}^n$, prueba directamente de la definición la sucesión $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ está acotada.

4.- Sea $k\subset {\mathbb{R}}^n$. Prueba que el conjunto $K$ es compacto si y sólo si toda sucesión $\left\{{\hat{x}}_k\right\}\subset K$ tiene una subsucesión que converge a un punto ${\hat{x}}_0\in K$ .

5.- Prueba que ${\mathbb{R}}^n$ no es compacto.

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