Introducción

En la entrada anterior vimos que cuando una sucesión de funciones continuas converge uniformemente, podemos concluir que el límite es también una función continua. ¿Qué ocurrirá con funciones diferenciables?

Considera el espacio de funciones con dominio en $[a,b]$ con $a,b$ e imagen en $\mathbb{R}.$ Tal vez intuimos que si tenemos una sucesión de funciones diferenciables $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que convergen uniformemente a una función $f$ en $[a,b]$ entonces $f$ también es diferenciable y la sucesión de derivadas $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en $f^{\prime }.$ Esto es falso, como muestra el siguiente:

Ejemplo. La sucesión ${\left({\displaystyle \frac{sen(nx)}{\sqrt{n}}}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$ tal que $f_n(x)={\displaystyle \frac{sen(nx)}{\sqrt{n}}}.$ Ocurre que ${\left({\displaystyle \frac{sen(nx)}{\sqrt{n}}}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a la función $f(x)=0.$

Esto es porque, para cualquier $x\in [0,1],|sen(nx)|<1.$ Por otro lado, $\sqrt{n}\to \mathrm{\infty }.$ Por lo tanto $\left|{\displaystyle \frac{sen(nx)}{\sqrt{n}}}\right|={\displaystyle \frac{|sen(nx)|}{\sqrt{n}}}\le {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\to 0.$

Por otro lado, para cada $n\in \mathbb{N}$ se tiene que $f^{\prime }(x)=\sqrt{n}cos(nx).$ Pero $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ no converge a $f^{\prime }$ ni de forma puntual. Por ejemplo $f_n^{\prime }(0)=\sqrt{n}$ tiende a $\mathrm{\infty }$ mientras que $f^{\prime }(0)=0.$

Ejemplo. La sucesión ${\left({\displaystyle \frac{x}{1+n{x}^2}}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $f_n(x)={\displaystyle \frac{x}{1+n{x}^2}}.$

Comencemos identificando la función límite $f$ de la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ y la función límite $g$ de la sucesión de derivadas $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}.$

Ya la imagen anterior nos induce a proponer $f=0.$ También podemos observar que cada función tiene máximo y mínimo global cuya distancia a $0$ coincide. Además, estos se van acercando más al eje horizontal a medida que avanzamos en las funciones de la sucesión.

En efecto, cuando la derivada es $0,$ la función $f_n$ alcanza su máximo o mínimo global:
$${\displaystyle \frac{1-n{x}^2}{(n{x}^2+1{)}^2}}=0⟺1-n{x}^2=0⟺x=\pm \sqrt{\frac{1}{n}}$$

Esto significa que cada $f_n$ está acotada como sigue:
$|f_n(x)|=\left|{\displaystyle \frac{x}{1+n{x}^2}}\right|\le \left|{\displaystyle \frac{\sqrt{\frac{1}{n}}}{1+n{\sqrt{\frac{1}{n}}}^2}}\right|={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}}\to 0.$

Lo cual prueba que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $0.$

Para el límite de la sucesión de derivadas veamos la siguiente imagen.

Esto incentiva proponer $g$ como:

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si x }\ne \text{ 0}\\ 1& \text{si }x=0\end{array}$$

Entonces $f^{\prime }$ no coincide con $g,$ pues asignan valores diferentes al ser evaluadas en $0.$ Dejaremos como ejercicio lo siguiente:

1. Probar que $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}\to g.$ ¿La convergencia es puntual o uniforme?
2. Identifica para qué valores de $x\in \mathbb{R}$ sí se cumple que $f^{\prime }(x)=g(x).$
3. ¿En qué intervalos de $\mathbb{R}$ se da la convergencia uniforme de $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ en $f.$
4. ¿En qué intervalos de $\mathbb{R}$ se da la convergencia uniforme de $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ en $g.$

Ejemplo. La sucesión ${\left({\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-n^2{x}^2}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-n^2{x}^2}.$

Veamos que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en $\mathbb{R}$ a la función $f=0.$

Para cada $n\in \mathbb{N}$ y para cada $x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=-2nx{e}^{-n^2{x}^2}.$ Se puede demostrar que esta función alcanza su máximo global cuando $f^{\prime }(x)=0,$ lo cual ocurre cuando $x=0.$ Entonces el máximo de $f_n$ está dado por $f(0)=\frac{1}{n}\to 0.$ Por lo tanto $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en $\mathbb{R}$ a la función $f=0.$

Ahora observemos la sucesión de derivadas $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}.$

Dejamos como ejercicio al lector probar que $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a la función $g=0.$ No obstante, esta convergencia no es uniforme en ningún intervalo que contenga al origen.

Habiendo visto estas situaciones, conozcamos algunas condiciones de convergencia para $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ y para $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que implican que $f^{\prime }=g.$

Proposición: Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua y diferenciable en $[a,b],$ tal que la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y la sucesión de derivadas $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $g:[a,b]\to \mathbb{R}.$ Entonces $f$ es continua y diferenciable en $[a,b]$ y $f^{\prime }=g.$

Demostración:
Sean $j,k\in \mathbb{N}$ y $x_0\in (a,b).$ La función $f_j-f_k$ es continua y diferenciable en $[a,b],$ particularmente, para cada $x\in (a,b),$ también lo será en el intervalo $(x_0,x)$ (o $(x,x_0)$ dependiendo del orden de los puntos). Según el teorema del valor medio, que se puede consultar en Cálculo Diferencial e Integral I: Teorema de Rolle y teorema del valor medio, existe ${\xi }_x\in (x_0,x)$ tal que:

$$\frac{(f_j-f_k)(x)-(f_j-f_k)(x_0)}{x-x_0}=(f_j^{\prime }-f_k^{\prime })({\xi }_x)$$

Entonces
$$(f_j-f_k)(x)-(f_j-f_k)(x_0)=((f_j^{\prime }-f_k^{\prime })({\xi }_x))(x-x_0)$$
Y si desarrollamos vemos que
$$f_j(x)-f_j(x_0)-f_k(x)+f_k(x_0)=(f_j^{\prime }({\xi }_x)-f_k^{\prime }({\xi }_x))(x-x_0)$$
Así
$$\begin{array}{rl}|f_j(x)-f_j(x_0)-f_k(x)+f_k(x_0)|& =|(f_j^{\prime }({\xi }_x)-f_k^{\prime }({\xi }_x))(x-x_0)|\\ & \le {\Vert f_j^{\prime }-f_k^{\prime }\Vert }_{\mathrm{\infty }}|x-x_0|\end{array}$$

Dado que $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en ${\mathcal{C}}^0[a,b],$ para cada $\epsilon >0$ existe $N_1\in \mathbb{N}$ tal que para cada $x\in (a,b)$ y para cada $j,k\ge N_1:$

$$\begin{array}{rl}|f_j(x)-f_j(x_0)-f_k(x)+f_k(x_0)|& \le {\Vert f_j^{\prime }-f_k^{\prime }\Vert }_{\mathrm{\infty }}|x-x_0|\\ & \le \frac{\epsilon }{3}|x-x_0|.\end{array}$$
Haciendo $j\to \mathrm{\infty }$ se sigue que
$$|f(x)-f(x_0)-f_k(x)+f_k(x_0)|\le \frac{\epsilon }{3}|x-x_0|.$$

Por otro lado, como $(f_n^{\prime }(x_0){)}_{n\in \mathbb{N}}\to g(x_0)$ existe $N_2\in \mathbb{N}$ tal que para cada $k\ge N_1,|f_k^{\prime }(x_0)–g(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}$

Sea $N=máx\{N_1,N_2\}.$ Existe $\delta >0$ tal que si $|x–x_0|<\delta$ entonces
$$|\frac{f_N(x)-f_N(x_0)}{x-x_0}-f_N^{\prime }(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}.$$

Finalmente aplicamos la desigualdad de triángulo para concluir que
$$\begin{array}{rl}|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-g(x_0)|& \le \left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}–\frac{f_N(x)-f_N(x_0)}{x-x_0}\right|+|\frac{f_N(x)-f_N(x_0)}{x-x_0}-f_N^{\prime }(x_0)|+|f_N^{\prime }(x_0)–g(x_0)|\\ & \le \frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}\\ & =\epsilon \end{array}$$

Por lo tanto $f$ es diferenciable en $x_0$ y $f^{\prime }(x_0)=g(x_0).$ Ya que las derivadas $f_n^{\prime }$ son continuas y convergen uniformemente se sigue por lo visto en la entrada anterior que $f$ es continuamente diferenciable.

Hay un resultado más fuerte sobre convergencia uniforme y diferenciación. La prueba de este se omite pero puede consultarse en Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Pag 278. Se enuncia como sigue:

Proposición: Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea $f_n:(a,b)\to \mathbb{R}.$ Supongamos que para un punto $x_0\in (a,b)$ la sucesión $(f_n(x_0){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge. Supongamos además que la sucesión de derivadas $(f_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en $(a,b)$ a una función $g.$ Entonces la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente en $(a,b)$ a una función $f$ derivable en $(a,b)$ y $f^{\prime }=g.$

Más adelante…

Conoceremos la relación entre una sucesión de funciones integrables con su función límite. ¿Bajo qué condiciones será también integrable?

Tarea moral

1. Resuelve las actividades que quedaron pendientes en los ejemplos de esta entrada.

Enlaces:

• Análisis Matemático.
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