Introducción

Así como ya hicimos comparaciones de continuidad o diferenciabilidad del límite de una sucesión de funciones a partir de sus términos, en esta ocasión lo haremos con funciones integrables.

Partimos de una sucesión de funciones donde para cada $n\in \mathbb{N},f_n:[a,b]\to \mathbb{R},a,b\in \mathbb{R}.$ Supón además que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a una función $f$ en $[a,b].$

Si cada una de las funciones $f_n$ son integrables, ¿será $f$ también integrable?

¿La sucesión de integrales converge? ¿Su límite coincide con la integral del límite? Veamos el siguiente:

Ejemplo.

Considera el conjunto $\mathbb{Q}\cap [0,1].$ Como es numerable, podemos identificarlo como $\mathbb{Q}\cap [0,1]=\{x_n:n\in \mathbb{N}\}.$ Para cada $n\in \mathbb{N}$ definimos ${\mathcal{X}}_{\{x_n\}}$ como la función característica dada por:

Ahora, para cada $n\in \mathbb{N}$ definimos $f_n={\mathcal{X}}_{\{x_1\}}+\dots +{\mathcal{X}}_{\{x_n\}}.$

Entonces la función $f_n$ es integrable en $[a,b]$ y la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a la función:

$${\mathcal{X}}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]\\ 0& \text{si }x\notin \mathbb{Q}\cap [0,1]\end{array}$$

Pero ${\mathcal{X}}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ no es integrable en $[0,1].$ Por lo tanto la convergencia puntual podría no bastar para que el límite sea integrable. ¿Y si la convergencia es uniforme?

Proposición: Sea $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones integrables en $[a,b]$ que converge uniformemente a una función $f$ en $[a,b].$ Entonces $f$ es integrable y
$${\int }_a^{b}f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n.$$

Demostración:
Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea ${\epsilon }_n:=\underset{a\le x\le b}{sup}|f_n(x)–f(x)|.$
Entonces $f_n–{\epsilon }_n\le f\le f_n+{\epsilon }_n,$ de modo que las integrales superior e inferior de $f$ satisfacen:
${\int }_a^b(f_n–{\epsilon }_n)dx\le \underset{―}{\int }fdx\le \bar{\int }fdx\le {\int }_a^b(f_n+{\epsilon }_n)dx$

Entonces $0\le \bar{\int }fdx–\underset{―}{\int }fdx\le {\int }_a^b(f_n+{\epsilon }_n)dx–{\int }_a^b(f_n–{\epsilon }_n)dx=2{\epsilon }_n[b-a].$
Dado que ${\epsilon }_n\to 0$ porque $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\to f$ de manera uniforme, se sigue que $\bar{\int }f=\underset{―}{\int }f.$ Por lo tanto $f$ es integrable.

Podemos ver también que
$\left|{\int }_a^{b}fdx–{\int }_a^b{f}_{n}dx\right|\le {\epsilon }_n[b-a]\to 0$ lo que demuestra que
$${\int }_a^{b}f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n.$$

Es importante mencionar que la convergencia uniforme no es una condición necesaria para que se de esta igualdad. Veamos el siguiente:

Ejemplo.

Para cada $n\in \mathbb{N}$ sea $f_n(x)=x^n$ con $x\in [0,1].$ En la entrada Convergencia uniforme y continuidad mostramos que la sucesión $(x^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a la función:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ si }0\le x<1\\ 1& \text{ si }x=1\end{array}$$

Si calculamos las integrales tenemos que para cada $n\in \mathbb{N}:$

${\int }_0^1{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\to 0={\int }_0^{1}f(x)dx.$

Por lo tanto
$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)dx.$$

Las condiciones de este ejemplo pueden generalizarse. Antes conozcamos algunas definiciones:

Definición. Sucesión uniformemente acotada: Sea $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones con $f_n:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R},n\in \mathbb{N}$. Diremos que es uniformemente acotada en $A$ si existe $M>0\in \mathbb{R}$ tal que $|f_n(x)|\le M$ para cualquier $x\in A$ y cualquier $n\in \mathbb{N}.$

Definición. Sucesión acotadamente convergente: Una sucesión de funciones $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ con $f_n:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R},n\in \mathbb{N}$ es acotadamente convergente en $A$ si converge puntualmente y es uniformemente acotada en $A.$

Proposición: Sea $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión acotadamente convergente en $[a,b]$ donde cada función es integrable en $[a,b],$ y que la función límite $f$ es integrable en $[a,b].$ Supongamos también que existe una partición $P$ de $[a,b],$ a saber, $P=\{x_0,x_1,\dots ,x_m\},$ tal que la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es uniformemente convergente hacia $f$ en cada subintervalo $[c,d]\subset [a,b]$ que no contenga ninguno de los puntos $x_k\in P.$ Entonces:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Demostración:
Dado que $f$ es acotada y $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es uniformemente acotada, existe $M>0$ tal que $|f(x)|\le M$ para cada $x\in [a,b]$ y para cualquier $n\in \mathbb{N}.$
Sea $\epsilon >0$ tal que $2\epsilon <\Vert P\Vert ,$
sea $h=\frac{\epsilon }{2m},$ donde $m$ es el múmero de subintervalos de $P,$
considera una nueva partición $P^{\prime }$ de $[a,b]$ dada por:
$P^{\prime }=\{x_0,x_0+h,x_1-h,x_1+h,\dots ,x_{m-1}-h,x_{m-1}+h,x_m-h,x_m\}$

Nota que la función $|f-f_n|$ es integrable en $[a,b]$ y es acotada por $2M.$ Consideremos la integral de esta función en cada uno de los intervalos de la nueva partición $P^{\prime }.$

Por un lado, consideremos la suma de las integrales de $|f-f_n|$ tomadas sobre los intervalos que sí tienen algún punto de $P,$ es decir los intervalos
$[x_0,x_0+h],[x_1-h,x_1+h],\dots ,[x_{m-1}-h,x_{m-1}+h],[x_m-h,x_m].$

La suma está dada por:

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{x_0}^{x_0+h}|f-f_n|(x)dx+{\int }_{x_1-h}^{x_1+h}|f-f_n|(x)dx+\dots +{\int }_{x_{m-1}-h}^{x_{m-1}+h}|f-f_n|(x)dx+{\int }_{x_m-h}^{x_m}|f-f_n|(x)dx\\ \le & 2M(x_0+h-x_0)+2M(x_1+h-(x_1-h))+\dots +2M(x_{m-1}+h-(x_{m-1}-h))+2M(x_m-(x_m-h))\\ =& 2Mh+2M(2h)+\dots +2M(2h)+2Mh\\ =& 2M(2hm)\\ =& 2M\epsilon \end{array}$$

El subconjunto restante de $[a,b]$ lo llamaremos $S.$ Está formado por un número finito de intervalos cerrados en los que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente hacia $f$ (pues no tiene ningún punto de $P$). Por consiguiente, existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para cada $x\in S,$ si $n\ge N$ se cumple que
$$|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$$

De modo que la suma de las integrales de $|f-f_n|$ sobre los intervalos de $S$ es a lo sumo $\epsilon (b-a),$ luego para cada $n\ge N:$

${\int }_a^b|f(x)-f_n(x)|dx\le (2M+b-a)\epsilon \to 0.$

Esto demuestra que ${\int }_a^b{f}_n(x)dx\to {\int }_a^{b}f(x)dx$ cuando $n\to \mathrm{\infty }.$

En la última sección de Análisis Matemático I hablaremos de la integral de Riemann-Stieltjes, que es un concepto que generaliza la integral de Riemann. La proposición vista aquí se puede expresar como sigue:

Proposición. Sucesión de funciones Riemann-Stieltjes: Sea $\alpha$ monótona en $[a,b].$ Supón que para cada $n\in \mathbb{N},f_n\in \mathcal{R}(\alpha )$ en $[a,b].$ Si $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f$ en $[a,b]$ entonces $f\in \mathcal{R}(\alpha )$ en $[a,b]$ y:

$${\int }_a^{b}fd\alpha =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_{n}d\alpha .$$

Más adelante…

Hablaremos de series de funciones y del límite de ellas. Así conoceremos el concepto de convergencia uniforme pero ahora en sumas infinitas.

Tarea moral

1. Sea $f_n$ como en el primer ejemplo. Prueba que en efecto la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ no converge uniformemente a la función:
   $${\mathcal{X}}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]\\ 0& \text{si }x\notin \mathbb{Q}\cap [0,1]\end{array}$$
2. Sea $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones acotadas con $f_n:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R},n\in \mathbb{N},$ tal que converge uniformemente a una función $f:A\to \mathbb{R}.$ Demuestra que $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es uniformemente acotada en $A.$
3. Regresa luego de ver la integral de Riemann-Stieljes y demuestra la última proposición de esta sección.

Enlaces:

• Análisis Matemático.
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