(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio.
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función. Dado $A’\subseteq A$, la imagen directa de $A’$ bajo $f$ es:
$f[A’]=\set{f(x)\mid x\in A’}.$
Dado $B’\subseteq B$ la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:
$f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}.$
Observa que:
$f[A’]\subseteq B$ y que $f^{-1}[B’]\subseteq A$, además $f[A]=Imf$.
Mientas que si $B’=\set{-2,0,1}$, entonces $f^{-1}[B’]=\set{3,4,5}$.
2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$, $g(x)=x^2$
$A’=[-1,2]$
$g[A’]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$
Observa el siguiente clip donde se asigna a los elementos de $A’$ que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa $g[A’]$ que se muestran en rojo.
En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de $B’$ y en verde los elementos de $f^{-1}[B’]$.
Observa que si $B^{\prime\prime}=[-1,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime\prime}$ bajo $f$ es la misma que $B’$, $f^{-1}[B^{\prime\prime}] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:
Si $C=[-2,-1]$ entonces $f^{-1}[C]=\emptyset$, por que para todo $x\in \mathbb R$, $f(x)=x^2\notin [-2,-1]$.
Proposición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función, $A’\subseteq A$, $B’\subseteq B$. Se cumple que:
$A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
$f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$
Demostración
Demostración de 1
Por demostrar que $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
Sea $a\in A’\subseteq A$, entonces $f(a)\in f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}$, así $a$ cumple con la propiedad del siguiente conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$, es decir $ a\in \set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$ que es por definición $f^{-1}[f[A’]]$, entonces $a\in f^{-1}[f[A’]]$.
Por lo tanto $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$.
Demostración de 2
Por demostrar que $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.
Sea $b\in f[f^{-1}[B’]]=\set{f(x)\mid x\in f^{-1}[B’] }$, eso nos indica que existe $a\in f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$ tal que $f(a)=b$ y, como $a$ cumple las características que definen a los elementos del conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$, tenemos que $f(a)\in B’$. Así, $b=f(a)\in B’$.
Por lo tanto $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.
$\square$
Tarea moral
Considera la siguiente función:
$f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=-3x^2 $
Para $A=[-3,4]$ calcula $f^{-1}[f[A]]$. ¿Qué relación tiene con $A$?
Para $B=[-12,1]$ calcula $f[f^{-1}[B]]$. ¿Qué relación tiene con $B$?
Más adelante
En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y sus propiedades.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota hablaremos de lo que es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$, utilizaremos ese concepto para poder definir lo que significa una función entre dos conjuntos $A$ y $B$, que será una relación en la que cada elemento de $A$ se relaciona con uno y sólo uno de $B$.
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, una relación de $A$ con $B$ es un subconjunto de $A\times B$, es decir un conjunto $\mathcal R$ tal que $\mathcal R\subseteq A\times B$.
es una relación de $A$ con $B$. $Dom \mathcal R =\set{Norma, Pedro, Jazmín}$ $Im \mathcal R =\set{estadística, álgebra, cálculo}$ A continuación se muestra el producto cartesiano de ambos conjuntos.
Producto cruz de A y B
Cualquier subconjunto del producto cartesiano será una relación de los dos conjuntos. Por ejemplo consideremos los siguientes subconjuntos:
Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4
Dejamos como ejercicio al lector que escriba las relaciones anteriores mediante un conjunto de parejas ordenadas.
5. $\mathcal R\subseteq \mathbb N\times \mathbb N$ $\mathcal R=\set{(1,1),(1,3),(1,4),(2,5)}$ $Dom \mathcal R =\set{1,2}$ $Im \mathcal R =\set{1,3,4,5}$
6. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$ $\mathcal R=\set{(x,y)\in\mathbb R\times \mathbb R \mid \left|x \right|=\left|y \right|}$. Observa que: $(1,-1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|-1\right|,$ $(1,1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|1\right|,$ $(-\pi,\pi)\in \mathcal R$ ya que $\left|-\pi \right|=\left|\pi \right|,$ $(1,5)\notin \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|5 \right|,$ $(3,-7)\notin \mathcal R$ ya que $\left|3 \right|=\left|-7\right|.$ De manera más general observamos que todos los puntos de las rectas $y=-x$ y $y=x$ están en la relación. Mueve los puntos por las rectas en el siguiente recurso de geogebra y constátalo.
Observa que la relación se puede describir como $\mathcal R=\set{(k,-k+2n)\in \mathbb Z\times \mathbb Z \mid k\in \mathbb Z,n\in \mathbb Z}$. En el siguiente clip se muestra gráficamente la disposición de algunas de estas parejas ordenadas.
En el siguiente recurso de geogebra mueve el valor de los deslizadores $n$ y de $k$ para obtener los puntos en el plano con la misma paridad.
8. $\mathcal R=[-1,2]\times (2,3)\subseteq \mathbb R^2$ $\mathcal R=\set{(x,y)|-1\leq x\leq 2,2<y<3}$ $Dom \mathcal R =[-1,2]$ $Im \mathcal R =(2,3)$ La siguiente imagen nos muestra gráficamente la relación:
Notemos que los conjuntos $A$ y $B$ no necesariamente son iguales y su elementos no siempre son números:
9. $\mathcal R\subseteq\mathbb R^2\times \set{\mathcal l\mid\mathcal l\,\,es\,\,una\,\,línea\,\,en\,\,el\,\,plano}$, $(p,\mathcal l)\in \mathcal R$ si y sólo si $p\in \mathcal l$. $Dom \mathcal R =\mathbb R^2$ $Im \mathcal R$ son todas las líneas del plano.
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f$ una relación de $A$ con $B$. Decimos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si:
$Dom\, f=A.$
Cada elemento $x\in A$ está relacionado con un solo elemento de $B$.
Es decir para todo $x\in A$ existe un único $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$, a $y$ se le llama el valor de $f$ en $x$, o $f$ evaluada en $x$.
Notación: $f: A\to B$, $y=f(x)$ es el valor de $f$ en $x$, para indicar que la función $f$ le asigna a $x$ el valor $f(x)$ en ocasiones se escribe $ x\longmapsto f(x)$, para indicar la regla de correspondencia de $x$ un elemento del domino de la función $f$ a su correspondiente $f(x)$ en el codominio de la función.
Observa que la imagen de $f$ es: $Im\, f =\set{y\in B\mid \,\, (x,y)\in f\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$
$f:\set{1,2,3}\to \set{8,9,10,11}$ con $f=\set{(1,8),(2,11),(3,11)}$, es decir $f(1)=8$, $f(2)=f(3)=11$. $Dom\,f=\set{1,2,3}$, $Im\,f=\set{8,11}$ , $B$ es el codominio de $f$
2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$
$(x,y)\in g$ si y sólo si $y=x^2$ En este caso $g(x)=x^2.$ $Dom\,g=\mathbb R$, $\mathbb R$ es el codominio de $g$, mientras que $Im\,g=\set{g(x)\mid x\in \mathbb R}=\set{x^2\mid x\in \mathbb R }= \mathbb R^+\cup \set{0}$
Para terminar esta entrada debemos mencionar que, aunque las funciones son relaciones entre conjuntos, y, por lo tanto, conjuntos de parejas ordenadas, son un caso particular de relaciones muy importante y dado que en Álgebra será esencial no sólo la regla de correspondencia de una función sino su dominio y su codominio, la igualdad de dos funciones no se establecerá como la igualdad de los conjuntos de parejas ordenadas que las conforman sino que se establecerá una definición diferente. Cabe mencionar que sólo definiremos la igualdad de dos funciones cuando tengan el mismo dominio y el mismo codominio y en este caso estableceremos que son iguales cuando además coincida su regla de correspondencia:
Definición
Sean $A$ y $B$ conjuntos, dos funciones $f: A\to B$ y $g: A\to B$ son iguales ,$f=g$, si $f(x)=g(x)$ para toda $x\in A$ (es decir, si tienen la misma regla de correspondencia).
Tarea Moral
Determina el dominio, el codominio y la imagen de las siguientes relaciones $\mathcal R$ de $A$ con $B$ y determina si las relaciones son funciones de $A$ en $B$.
$A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a=|b|$
$A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $|a|=b$
Sean $A=B=\set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$ y considera el subconjunto de $A\times B$, $C=\set{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid x^2+y^2=1}$.
¿Es $C$ una función de $A$ en $B$?
Más Adelante
En la siguiente nota seguiremos usando el concepto de función y estableceremos dos definiciones importantes, la de la imagen directa y la de imagen inversa y deduciremos algunas propiedades básicas pero muy importantes.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Las matemáticas nos ofrecen herramientas sorprendentes para explorar combinaciones y posibilidades, en esta sección daremos la definición del conjunto potencia y del producto cartesiano. En el primero formaremos un conjunto cuyos elementos sean los subconjuntos de un conjunto dado, en el segundo consideraremos parejas formadas con los elementos de dos conjuntos cualesquiera.
Definición
Sea $A$ un conjunto, la potencia de $A$ es la colección de todos los subconjuntos de $A$ y la denotaremos por $\mathcal{P}(A)$, es decir
$\mathcal{P}(A)=\set{S\mid S\subseteq A}.$
Aunque $\mathcal{P}(A)$ es una colección que tiene en general más elementos que $A$, no habrá problema en considerarlo también como un conjunto y lo establecemos así en el siguiente axioma:
Axioma del conjunto potencia
Dado un conjunto $A$, $\mathcal{P}(A)$ también es un conjunto.
Ejemplos
Si $A=\set{a,b}$, entonces $\mathcal{P}(A)=\set{\emptyset,\set{a},\set{b},\set{a,b}}.$
Si $B=\set{a,\set{b},\set{a,b}}$, entonces $\mathcal{P}(B)=\set{\emptyset,\set{a},\set{\set{b}},\set{\set{a,b}},\set{a,\set{b}},\set{a,\set{a,b}}, \set{\set{b},\set{a,b}},B}.$
Observa que:
Para cualquier conjunto $A$, $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ y $A\in \mathcal{P}(A)$.
La siguiente demostración es la que se presenta en el Apartado 2.10 del libro Curso introductorio de Álgebra I de Avella y Campero que se encuentra en la bibliografía de este curso.
$\Longrightarrow $ Demostración de la implicación de ida
Supongamos que $(a,b)=(c,d)$, con la intención de mostrar que $a=c\, \, \,y \, \, \, b=d$.
Como $(a,b)=(c,d)$ entonces por definición de par ordenado:
Si $\set{a}= \set{c}$, entonces $a=c$. Como $\set{a,b}\in \set{\set{c}, \set{c,d}}$ tenemos que $\set{a,b}=\set{c},$ o $\set{a,b}=\set{c,d}$. Si $\set{a,b}=\set{c},$ entonces $a=b=c$, por lo que $\set{\set{c}}=\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$ de lo que se sigue que $\set{c}=\set{c,d}$ y por lo tanto $c=d$. Por otro lado, en el caso en que $\set{a,b}=\set{c,d}$, como $a=c$ tenemos que $b=d$. En ambos casos fíjate que demostramos que $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos.
Caso 2
Si $\set{a}= \set{c,d}$, entonces $a=c=d$. Como $\set{a,b}\in \set{\set{c}, \set{c,d}}$ tenemos que $\set{a,b}=\set{c},$ o $\set{a,b}=\set{c,d}$. Si $\set{a,b}=\set{c},$ entonces $a=b=c$, por lo que $a=b=c=d$. Por otro lado , en el caso en que $\set{a,b}=\set{c,d}$, como además $a=c=d$ tenemos que $\set{a,b}=\set{c,d}=\set{a}$, entonces $a=b$ y así $a=b=c=d$. ambos casos hemos demostrado que $a=c$ y $b=d$, que es lo que queríamos.
$\Longleftarrow $ Demostración de la implicación de regreso
Supongamos que $a=c$ y que $b=d$, por demostrar que $(a,b)=(c,d)$.
Por definición de par ordenado:
$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$
$(c,d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}$
si $a=c$ y que $b=d$ entonces $\{a\}=\{c\}$ y $\{a,b\}=\{c,d\}$, por lo tanto $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}= \set{\set{c}, \set{c,a}}=(c,d)$, que es lo que queríamos demostrar.
Como se cumplen las dos implicaciones la prueba está completa.
$\square$
Generalizando:
La terna $(a,b,c)$, es por definición el par $((a,b),c)$. En general si $(a_1,…,a_n)$ está definido, se define $(a_1,…a_{n+1})$ como: $( (a_1,…,a_n),a_{n+1})$. Notemos que tanto la terna como la n-ada son un par ordenado. Usando la proposición anterior y la definición de n-ada se puede probar con la técnica de inducción que se verá más adelante que:
Sean $A$, $B$ conjuntos. El producto cartesiano de $A$ con $B$ es:
$A\times B=\set{(a,b)\mid a\in A,b\in B}$
Ejemplos
Sean $A=\set{\pi,2}, B=\set{3,4,5}$, entonces $A\times B=\set{(\pi,3), (\pi,4), (\pi,5),(2,3),(2,4),(2,5)}$, y $B\times A=\set{(3,\pi), (4,\pi), (5,\pi),(3,2),(4,2),(5,2)}$.
Sea $\mathbb N=\set{0,1,2,4,\dotsi}$, y $\set{1,2}$ $\set{1,2}\times \mathbb N =\set{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),\dotsc ,(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)\dotsc }$}
$\mathbb R\times \mathbb R=\set{(x,y)\mid x,y\in \mathbb R}$, y se denota por $\mathbb R^2$, que son las parejas ordenadas del plano cartesiano.
En el siguiente recurso de Geogebra da los conjuntos $A$ y $B$ y obtén una representación gráfica de los mismos.
Generalizando:
Si $A_1,\dotsi,A_n$ son conjuntos, $A_1\times \dotsi \times A_n = \set{(a_1,\dotsi,a_n)\mid a_i\in A_i,1\leq i\leq n)}$.
Si $A_1=\dotsi =A_n=A$, para algún conjunto $A$, el producto de esos $n$ conjuntos $A\times \dotsi \times A$ se denota como $ A^n$.
Tarea moral
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Si $A\subseteq B$, ¿existe alguna relación de contención entre $\mathcal{P}(A)$ y $\mathcal{P}(B)$?.
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Responde y justifica: a) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$? b) ¿Son iguales $\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)$ y $\mathcal{P}(A\cup B)$?
Sea $A=\set{5,\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,4},\set{\pi}}$ $B_1=\set{2,\set{5,\set{\emptyset}}}$ $B_2=\set{\set{\pi},\set{5,\emptyset}}$ $B_3=\set{5,\emptyset}$ Encuentra al siguiente conjunto: $\mathcal{P}(A)\cap (B_1\cup (B_2\cup B_3))$
Dados $a$,$b$,$c$ objetos define la terna $(a,b,c)$ como el conjunto $\set{\set{a},\set{a,b},\set{a,b,c}}$. ¿Con esta definición de terna se cumple que $(a,b,c)=(d,e,f)$ si y sólo si $a=d$, $b=e$ y $c=f\text{?}$ Justifica tu respuesta.
Más adelante
En la nota siguiente definiremos lo que es una relación entre dos conjuntos, encaminados a dar una definición formal del concepto de función ampliamente usado en el mundo de las matemáticas.
Este recurso de GeoGebra fue elaborado por el profesor Lenin Paulino, a quien agradezco por permitir su uso y adaptación. Considero que los recursos educativos libres fortalecen el aprendizaje y que el conocimiento debe ser compartido sin fronteras. https://www.geogebra.org/m/thurzdus
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción.
En esta nota veremos que hay dos operaciones binarias que podemos considerar en los conjuntos. Dados dos conjuntos, podemos formar por un lado la unión de ellos, que resulta ser un nuevo conjunto y consta de los elementos de ambos conjuntos, y por otro lado la intersección que es el conjunto que consiste de los elementos comunes a ambos.
Definición:
Sea $X$ un conjunto universo, $A$, $B$ subconjuntos de $X$.
La unión de $A$ con $B$ es:
$A\cup B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, o \, \, x\in B}.$
La intersección de $A$ con $B$ es:
$A\cap B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, y \, \, x\in B}.$
Diremos que $A$ y $B$ son ajenos o disjuntos cuando $A\cap B=\emptyset$.
Corrobora con el siguiente recurso de Geogebra que entiendes la definición de unión e intersección de conjuntos, escribe en las barras en blanco separados por comas, los elementos de $A\cup B$ y $A\cap B$, no es necesario poner las llaves de los conjuntos, sólo los elementos.
Ejemplos:
$A=\set{-2,-1,0,1,2}$ y $B=\set{0,2,4,6}$ $A\cup B=\set{-2,-1,0,1,2,4,6}$ $A\cap B=\set{0,2}.$
Se harán las demostraciones de las propiedades 1,3,6,8 y 10, las demás se dejan como ejercicio.
Demostración de la propiedad 1, $A\subseteq A\cup B$.
Sea $z\in A$, veamos que $z\in A\cup B$. Como $z\in A$, entonces es cierto que $z\in A$ o $z\in B$. Además, como $A\subseteq X$ (por ser $X$ el conjunto universo) tenemos que $z\in X$. Así, $z\in \set{x\in X\mid x\in A\,\,o\,\,x\in B}$ por lo tanto $A\subseteq A\cup B$.
Demostración de la propiedad 3, $A\cup B=B\cup A.$
$z\in A\cup B \Longleftrightarrow z\in A \, \, \, o \, \, \, z\in B \Longleftrightarrow z\in B \, \, \, o \, \, \, z\in A \Longleftrightarrow z\in B\cup A.$
Por lo tanto $A\cup B= B\cup A.$
Demostración de la propiedad 6, $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$
Tenemos que:
$z\in A\cap (B\cap C)$$\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cap C$
$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B$ y $z\in C$
$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B$ y $z\in C$
$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in (A\cap B) \cap C $
$\therefore$ $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$
Demostración de la propiedad 8, $A\cap X=A.$
La demostración se hará por doble contención.
Primera contención, veamos que $A\cap X\subseteq A.$
Sea $z\in A\cap X$, entonces $z\in A$ y $z\in X$, en particular $z\in A$. Así, $A\cap X\subseteq A$ (o bien se puede usar la propiedad 5 si ésta se ha demostrado antes).
Segunda contención, veamos ahora que $A\subseteq A \cap X. $
Sea $z\in A$, como $A\subseteq X$, también $z\in X$, así $z\in A$ y $z\in X$, entonces $z\in A\cap X$.
Como se cumplen las dos contenciones, tenemos que $A\cap X=A$ .
Demostración de la propiedad 10, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$
La demostración se hará por doble contención:
Primera contención, veamos que $A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C).$
Tenemos que:
$z\in A\cap (B\cup C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cup C$ $\Longrightarrow$ $z\in A$, y además $z\in B$ o $z\in C$.
Si $z\in B$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap B.$
Si $z\in C$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap C.$
Así $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$, de donde concluimos que $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C) .$
Segunda contención, veamos ahora que $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C). $
Si $z\in A\cap B$, entonces $z\in A$ y $z\in B$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos que $z\in A\cap (B\cup C)$.
Si $z\in A\cap C$, entonces $z\in A$ y $z\in C$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos también que $z\in A\cap (B\cup C)$.
Asi, $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C) .$
Dado que se cumplen las dos contenciones, se cumple la igualdad, y entonces:
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ .
Tarea Moral.
Demuestra las propiedades $2,4,5,7$ y $9$.
Más adelante.
En la siguiente nota hablaremos de las leyes De Morgan que garantizan cierta relación entre el complemento y la unión e intersección de conjuntos, así mismo daremos la definición y propiedades de la diferencia simétrica.
Este recurso de GeoGebra fue elaborado por Omar G. Monteagudo , a quien agradezco por permitir su uso y adaptación. https://www.geogebra.org/m/rrb8zv9n
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción.
En este capítulo veremos las leyes de De Morgan, que nos hablan de cómo es el complemento de una unión o de una intersección de conjuntos. Para ello usaremos los resultados adquiridos en notas anteriores, observando que cuando un elemento del conjunto universo no es parte de un conjunto, es por que no cumple con la propiedad que caracteriza sus elementos, y por tanto cumple la negación de esa propiedad.
Una vez que tengamos las leyes de De Morgan en nuestro repertorio de proposiciones adquiridas, junto con algunas propiedades de la diferencia de conjuntos, definiremos la diferencia simétrica y usaremos los resultados previos para obtener algunas de sus propiedades.
Teorema. Leyes de De Morgan.
Sea $X$ un conjunto universo, $A$ y $B$ subconjuntos de $X$.
$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$
$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$
Demostración
Demostración de la propiedad 1.
Por demostrar que $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.
Esta prueba la haremos por doble contención, la cadena de implicaciones de ida y regreso nos dará la prueba por doble contención.
Prueba condensada.
Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención $(A\cup B)^c\subseteq A^c\cap B^c$
Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención $(A\cup B)^c\supseteq A^c\cap B^c$
$z\in (A\cup B)^c$
Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cup B)^c$ , con la intención de mostrar que también está en $A^c\cap B^c$
Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A\cup B$
Esto es por la definición de complemento.
Los elementos que no están ni en $A$ ni en $B$ son precisamente los que no están en la unión.
Si $z$ no está en la unión, no cumple con la propiedad que caracteriza a los elementos de la unión, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ o $z\in B$, por lo que $z$ no puede estar ni en $A$ ni en $B$, es decir $z\notin A$ y $z\notin B$. Nota cómo la negación de la disyunción es la conjunción.
Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c$ y $z\in B^c$
Si $z$ no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.
Por definición de intersección.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c\cap B^c$
Por definición de intersección.
Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cap B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cup B)^c$.
Las explicaciones de la prueba en la tabla se leen de arriba a abajo para la primera contención y de abajo a arriba en el caso de la segunda contención, para saber cómo cambiamos de paso, o empezamos la prueba, atendemos a la explicación, cada columna nos da una contención, la primera nos muestra que $(A\cup B)^c\subseteq A^c\cap B^c$, y la segunda nos muestra que $A^c\cap B^c\subseteq (A\cup B)^c$, lo que nos garantiza según el axioma de extensionalidad lo que queríamos probar: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$. De esta manera, al hacer la equivalencia en cada paso no es necesario escribir por separado la prueba de cada contención. Sin embargo, debes tener cuidado porque no siempre es posible realizar este proceso y hay igualdades de conjuntos en las que sí es necesario desarrollar por separado cada contención.
En muchas ocasiones y sobre todo cuando se adquiere más habilidad haciendo demostraciones se puede dar la demostración condensada sin escribir todas las explicaciones de las equivalencias:
$z\in (A\cup B)^c \Longleftrightarrow z\notin A\cup B \Longleftrightarrow z\notin A\,\, y \,\,z\notin B \Longleftrightarrow z\in A^c\,\, y \,\, z\in B^c \Longleftrightarrow z\in A^c\cap B^c$
$\square$
Demostración de la propiedad 2.
Por demostrar que $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$
Prueba condensada.
Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención $(A\cap B)^c\subseteq A^c\cup B^c$
Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención $(A\cap B)^c\supseteq A^c\cup B^c$
$z\in (A\cap B)^c$
Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cap B)^c$, con la intención de mostrar que también está en $A^c\cup B^c.$
Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A\cap B$
Por definición de complemento.
Si el elemento cumple con no estar en $A$ o en $B$ entonces no está en la intersección.
Si $z$ no está en la intersección, no cumple con la propiedad que cumplen los elementos de la intersección, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ y $z\in B$, por lo que debe fallar al menos una de ambas condiciones, es decir $z\notin A$ o $z\notin B$. Nota cómo la negación de la conjunción $y$ es la disyunción $o$.
Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c$ o $z\in B^c$
Si no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.
Por definición de unión.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c\cup B^c$
Por definición de unión.
Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cup B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cap B)^c$
Igual que en la primera demostración las dos contenciones nos dan la igualdad y así:
$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$, que es lo queríamos demostrar.
$\square$
Hay que estar atentos pues usaremos el resultado anterior para probar algunas propiedades de una operación destacable, la diferencia simétrica, pero antes de llegar a ello, definamos una operación más.
Definición
Sea $X$ un conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.
La diferencia de $A$ con $B$ es el conjunto de los elementos que están en $A$, pero no están en $B$.
$A \setminus B = \set{x\in A\mid x\notin B}$
Cabe observar que esta notación ya se había introducido en la Nota 3 para definir el complemento de un conjunto $B$ con respecto a un conjunto universo $X$, es decir el conjunto $X \setminus B$ formado por todos los $x$ que son elementos de $X$ pero no de $B$, por lo que el uso de esta notación resulta consistente y extiende la que se tenía para el complemento.
Proposición
Sea $X$ un conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.
$z\in A\setminus B = \set{x\in A\mid x\notin B}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\notin B$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B^c$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B^c$.
Nota que ésta es una prueba por doble contención, la cadena de si y sólo si ($\Longleftrightarrow$) nos da las dos contenciones.
$\square$
Demostración de 2
De nuevo recurriremos a una tabla para ir mostrando los pasos, esta vez entre igualdades.
Prueba condensada
Explicación
$A\setminus (B\cap C)=$
Empezamos considerando este conjunto.
$A\cap (B\cap C)^c=$
Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cup C^c)=$
Observa que en este paso nos valimos de las leyes de De Morgan y utilizamos que $(B\cap C)^c= B^c\cup C^c $.
$(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=$
Esta igualdad es por la propiedad distributiva de la intersección.
$(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$
Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$ y $A\setminus C=A\cap C^c$.
Por lo tanto $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.
$\square$
Demostración de 3
Prueba condensada
Explicación
$A\setminus (B\cup C)=$
Empezamos considerando este conjunto.
$A\cap (B\cup C)^c=$
Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cap C^c)=$
Observa que en este paso nos valimos de las leyes de De Morgan y utilizamos que $(B\cup C)^c= B^c\cap C^c $.
$A\cap A\cap B^c \cap C^c=$
Como $ A\cap A=A$, simplente reescribimos a $A$ de esta forma.
$(A\cap B^c)\cap (A \cap C^c)=$
Por las propiedades de asociatividad y conmutatividad de la intersección.
$(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$
Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
Por lo tanto $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.
$\square$
Con estas herramientas estamos listos para dar la definición de diferencia simétrica.
Definición
Sea $X$ un conjunto universo, $A$, $B$, subconjuntos de $X$, la diferencia simétrica de $A$ con $B$ es la diferencia de la unión de los dos conjuntos con su intersección:
$A\vartriangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$
Proposición
Sea $X$ un conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.
$A\vartriangle B= (A\cup B)\setminus (A\cap B) = (B\cup A)\setminus (B\cap A) =B\vartriangle A$, nota que en la prueba se está usando la conmutatividad de la unión y de la intersección.
$\square$
Demostración de 2
Prueba condensada
Explicación
$A\vartriangle B=$
Empezamos con este conjunto.
$(A\cup B)\setminus (A\cap B)=$
Por definición de diferencia simétrica.
$(A\cup B)\cap (A\cap B)^c=$
Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
$(A\cup B)\cap (A^c\cup B^c)=$
Por las leyes de De Morgan.
$[(A\cup B)\cap A^c]\cup [(A\cup B) \cap B^c]=$
Por la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión.
ii) Sean $A$ y $B$ conjuntos, demuestra las siguientes igualdades entre conjuntos.
$A\cup (B\setminus A)=A\cup B$
$A\cap (B\setminus A)=\emptyset$
$(B\setminus A)\cup (A\cap B)=B$
$(B\setminus A)\cap (A\cap B)=\emptyset$
iii) Prueba que $A\vartriangle B\subseteq (A\vartriangle C)\cup (C\vartriangle B)$. Encuentra un ejemplo donde la contención sea propia y otro donde se dé la igualdad.
Más adelante
En la siguiente nota definiremos una manera de crear un nuevo subconjunto, estableceremos como un axioma que el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado $A$ también es un subconjunto y lo llamaremos el conjunto potencia. Iremos encaminando nuestros esfuerzos a definir una de las mas útiles maneras de estudiar los distintos conjuntos, el concepto de función, pero para ello hablaremos de algo más primitivo, las relaciones entre conjuntos, que caracterizaremos y para las cuales deduciremos propiedades.
