(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Recordemos que las matrices pueden ser pensadas como tablas de datos, así que es conveniente encontrar la forma de guardar información en ellas pero procurando que las matrices que usemos sean lo más sencillas posibles. Con esa idea en mente, en esta nota daremos la definición de lo que es una matriz escalonada reducida por renglones y veremos que toda matriz es equivalente a una matriz de este tipo.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Decimos que $A$ es una matriz escalonada reducida por renglones si $A$ es la matriz de ceros o existe $r\in \set{1,\dotsc, m}$ tal que:

$i)$ Los primeros $r$ renglones de $A$ son los renglones no nulos, debajo de ellos sólo hay ceros.

$ii)$ Si un renglón es no nulo, su primer elemento distinto de cero es $1$ y en la columna donde se encuentra este $1$ todos los otros elementos son cero.

$iii)$ Para cada $i\in \set{1,\dotsc, r}$ sea $k_i$ la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $i$, entonces $k_1< k_2<\cdots <k_r$.

Ejemplo

$R=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrrrrr} \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{7} &\colorbox{cyan}{0} & \colorbox{cyan}{0} &\colorbox{cyan}{ $-1$}& \colorbox{cyan}{0} & \colorbox{cyan}{2} & \colorbox{cyan}{4}\\ 0 & 0 & \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{0} & \colorbox{cyan}{3} & \colorbox{cyan}{3} & \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{2} \\0 & 0 & 0 & \colorbox{cyan}{1} & \colorbox{cyan}{7} & \colorbox{cyan}{5} & \colorbox{cyan}{3} & \colorbox{cyan}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Hemos marcado en azul el primer elemento no nulo de cada renglón y los elementos que se encuentran a su derecha, para observar como éstos dan lugar a una forma escalonada. De ahí el nombre dado a las matrices que acabamos de definir.

Veamos que $R$ cumple la definición de ser escalonada reducida por renglones:

$i)$ Los primeros $3$ renglones de $A$ son los renglones no nulos, debajo de ellos sólo hay ceros, así, en este caso $r=3$.

$ii)$ Todo renglón no nulo tiene como primer elemento distinto de cero al $1$ y en la columna donde se encuentra este $1$ todos los otros elementos son cero.

$iii)$ Para cada $i\in \set{1,2, 3}$ sea $k_i$ la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $i$, entonces

$k_1$ es la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $1$, $k_1=1$.

$k_2$ es la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $2$, $k_2=3$.

$k_3$ es la columna donde se encuentra el primer elemento no nulo del renglón $3$, $k_3=4$.

Así, $k_1<k_2<k_3$.

Teorema

Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Toda matriz $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es equivalente por renglones a una matriz escalonada reducida por renglones.

Observación

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Toda columna no nula de $A$ se puede transformar en cualquier vector canónico de $\mathbb R^m$ con operaciones elementales.

La demostración se deja al lector.

Demostración del teorema

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Dado que por definición la matriz nula es escalonada reducida por renglones, basta probar el resultado para las matrices no nulas. La prueba sea hará por inducción sobre $n.$

Base de inducción

Para $n=1$ el resultado se cumple por la observación.

Paso inductivo

Supongamos que toda matriz $m\times n$ es equivalente a una matriz escalonada reducida por renglones.

Ésta es la hipótesis de inducción.

Demostración de que se cumple para $n+1$ usando la HI

Sea $A\in \mathscr M_{m\times (n+1)}(\mathbb R)$, consideremos la matriz $\tilde {A}$, que se obtiene de $A$ quitando la última columna. Como $\tilde{A} \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, por la hipotesis de inducción $\tilde{A}$ es equivalente a una matriz $\tilde {R}$ escalonada reducida por renglones.

Sea $B$ la matriz que se obtiene de $A$ aplicando las operaciones que llevan a $\tilde {A}$ en $\tilde{R}$. Veamos cómo es $B$:

Si $\tilde{R}$ es nula, en $B$ sólo la ultima columna es no nula, entonces, como consecuencia de la observación, $B$ es equivalente a una matriz escalonada reducida por renglones.

Si $\tilde {R}$ es no nula, sea $r$ el número de renglones no nulos de $\tilde{R}$. En el caso en que $b_{r+1\,n+1}=\cdots =b_{m\,n+1}=0$, $B$ es escalonada reducida por renglones. En caso contrario, por la observación, la última columna de $B$ se puede transformar mediante operaciones elementales en el $(r+1)$-ésimo vector canónico, y aplicando dichas operaciones elementales a $B$ obtenemos una matriz $R$. Además, observemos que estas últimas operaciones elementales no modifican las primeras $n$ columnas, por lo que $R$ es una matriz escalonada reducida por renglones. Así $A\sim B$ y $B\sim R$, entonces $A\sim R$, con $R$ una matriz escalonada reducida por renglones.

Ejemplo

Matrices equivalentes	Operaciones elementales
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 2 & 8 & 1 & 3\\0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & -3 & -12 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 8 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_1\leftrightarrow R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\0 & 2 & 8 & 1 & 3\\ 0 & -3 & -12 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 8 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\rightarrow R_2+(-2)R_1$ $R_3\rightarrow R_3+(3)R_1$ $R_4\rightarrow R_4+(-2)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\leftrightarrow R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$\frac{1}{3}R_2$ $\frac{1}{3}R_4$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_3\rightarrow R_3+R_2$ $R_4\rightarrow R_4+R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_1\rightarrow R_1-R_2$ $R_1\rightarrow R_1-R_3$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$	Que es una matriz escalonada reducida por renglones.

Tarea Moral

$1.$ Escalona la matriz $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & 13\\ -2 & -4 & -9 & 23 \\ 5 & 10 & 24 & 62 \end{array} \right) \end{equation*}$ y expresa el resultado como producto de matrices elementales.

$2.$ Describe la forma de todas las posibles matrices $2\times 2$ escalonadas reducida por renglones. Ahora considera el mismo problema para matrices $3\times 3$.

$3.$ Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. ¿Cómo puedes transformar una columna no nula de $A$ en cualquier vector canónico de $\mathbb R^m$ con operaciones elementales?

$4.$ Escalona la matriz hasta llevarla a una matriz escalonada reducida por renglones.

$A= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -10\\ 3 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 2 \end{array} \right) .\end{equation*}$

Más adelante

En la siguiente nota daremos la definición de lo que es el rango de una matriz y veremos que el rango de una matriz $A$ y el rango de una matriz $R$ escalonada reducida por renglones equivalente a $A$ es el mismo.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.

Enlace a la nota siguiente. Nota 37. El rango de una matriz.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada estudiaremos el rango de una matriz que es la dimensión del espacio generado por sus renglones (o, equivalentemente, por sus columnas). En términos más simples, el rango de una matriz se refiere al número máximo de renglones o columnas que forman un conjunto linealmente independientes.

El rango de una matriz es importante en muchas áreas de las matemáticas, como en la teoría de sistemas lineales y la estadística multivariante. Por ejemplo, el rango de una matriz puede ser utilizado para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y en su caso cuántas soluciones tiene, y también puede ser utilizado para identificar patrones en conjuntos de datos multivariados.

Veremos que el rango de una matriz no cambia si se realiza una operación elemental de renglón o columna, es decir, no cambia al multiplicar un renglón por una constante no nula, intercambiar dos filas o sumar a un renglón un múltiplo de otro.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Sean $R_1,\dotsc,R_m\in \mathbb R^n$ son los renglones de $A$. El rango de $A$, denotado por $rk\,A$, es:

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_m \rangle .$

Lema

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A\sim B$ entonces $rk\,A=rk\,B.$

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Basta ver que si $e$ es una operación elemental entonces $rk\,A=rk\,e(A).$

$1.$ Sean $r,s\in\{1,2,\dots ,m\}$ y $e$ el intercambio de los renglones $r$ y $s$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces los renglones de $e(A)$ son los mismos sólo que $R_r$ y $R_s$ cambian de lugar, así:

$rk\,e(A)=dim\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,A$

$2.$ Sean $r\in\{1,2,\dots ,m\}$, $\lambda$ un número real no nulo y $e$ la operación elemental que multiplica el renglón $r$ por $\lambda$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces $R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$. Como $\lambda R_r\in \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$, entonces:

$\langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Como $\lambda \neq 0$ tenemos que $R_r=\lambda^{-1}(\lambda R_r)\in \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Por lo que $\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y entonces

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = dim \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle=rk\,e(A) .$

$3.$ Sean $r\in\{1,2,\dots ,m\}$, $\lambda$ un número real, $e$ la operación elemental que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces $R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$

Como $R_r+\lambda R_s\in \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle $ tenemos que:

$\langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Además $R_r=(R_r+\lambda R_s)+(-\lambda)R_s \in \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s ,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Concluimos que:

\begin{align*}rk\,A&=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \\ &= dim \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,e(A).\end{align*}

$\square$

Corolario

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A$ es equivalente a una matriz $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $rk\,A=rk\,R.$

Notemos que en la demostración del teorema se probó no sólo que el rango no cambia al aplicar operaciones elementales, sino que el generado por los renglones no cambia. En consecuencia, si una matriz $A$ es equivalente a una matriz escalonada reducida por renglones $R$, el generado por los renglones de $A$ es el mismo que el generado por los renglones de $R$. Se deja al lector demostrar que además los renglones no nulos de $R$ generan al espacio de renglones de $R$ y forman un conjunto l.i.. Con ello tenemos que:

Observación: Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Si $R\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es una matriz escalonada reducida por renglones y tiene $r$ renglones no nulos, entonces éstos forman una base para el espacio generado por los renglones de $R$ y en consecuencia $rk\,R=r.$

Así, el rango de una matriz $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, denotado por $rk\,A$, es el número de renglones no nulos que quedan al escalonar la matriz $A$.

Ejemplos

$1.$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ -2 & -6\\ 3 & 9 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+2R_1$ $R_3\to R_3+(-3)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.	$rk\,A=1$

$2$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 4 & -1 & 5\\ 5 & 1 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+(-4)R_1$ $R_3\to R_3+(-5)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & -9 & -7 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_3\to R_3+(-1)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$-\frac{1}{9}R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_1\to R_1+(-2)R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{13}{9}\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$rk\, B=2$

Enunciemos ahora un resultado importante, cuya demostración se omitirá porque va más allá de los objetivos de este curso, pero que puede consultarse en el libro de Cárdenas, Lluis, Raggi y Tomás que aparece en la bibliografía de este curso.

Nota

El rango por columnas se define de forma análoga como la dimensión del espacio generado por las columnas de una matriz $A$. Aunque el espacio de renglones de $A$ y el espacio de columnas de $A$ son en general distintos (incluso los renglones y las columnas de $A$ no tienen siempre el mismo número de entradas) se puede probar que la dimensión del espacio que generan los renglones de una matriz coincide con la dimensión del espacio que generan sus columnas, es decir el rango por renglones coincide con el rango por columnas.

Tarea Moral

$1.$ Obtén el rango de las siguientes matrices.

$i.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & 13\\ -2 & -4 & -9 & 23 \\ 5 & 10 & 24 & 62 \end{array} \right) \end{equation*}$

$ii.$

$B= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -10\\ 3 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$

$2.$

En los ejemplos $1$ y $2$ analiza geométricamente cómo es el espacio generado por los renglones de $A$ y cómo es el espacio generado por las columnas de $A$.

Más adelante

En las siguientes dos notas veremos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales, primero de forma teórica y después a través de ejemplos.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada empezaremos a estudiar los sistemas de ecuaciones lineales con cierto número de incógnitas. El objetivo de este tipo de sistemas es encontrar los valores adecuados que se deben colocar en el lugar de las incógnitas para que se satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

Cada una de las ecuaciones en el sistema representa una restricción en las posibles soluciones del mismo, por lo que la solución del sistema debe cumplir con todas las restricciones impuestas por las ecuaciones. Las soluciones de este tipo de sistemas pueden no existir, ser únicas o puede haber múltiples soluciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales puede ser útil en diferentes áreas como en la física, la ingeniería, la economía, entre otras. Existen diferentes métodos para resolver este tipo de sistemas como el método de eliminación de Gauss, el método de eliminación de Gauss-Jordan y el método de la matriz inversa, entre otros.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas con coeficientes en los reales es una colección de ecuaciones de la siguiente forma:

$\begin{array}{cccc} &a_{11}x_1+ a_{12}x_2+\dotsc +a_{1n}x_n &=&b_1 \\ && \vdots& \\ &a_{m1}x_1+ a_{m2}x_2+\dotsc+a_{mn}x_n &=&b_n \end{array}$

con $a_{ij},b_j\in \mathbb R$ para todo $i\in \set{1,\dotsc,m}$ y para todo $j\in \set{1,\dotsc,n}$. Los números $a_{ij}$ son llamados los coeficientes del sistema, mientras que $x_1,\dots ,x_n$ son llamadas las incógnitas del sistema.

Si $b_1=b_2=\cdots=b_m=0$ decimos que es un sistema homogéneo.

Ejemplo

$\begin{array}{ccccc} 3x_1&-2x_2&+\frac{1}{4}x_3&+x_4 &=0 \\-2x_1&+x_2&&+5x_4 &=0 \\ 7x_1&+8x_2&& &=0 \end{array}$

Éste es un sistema de $3$ ecuaciones lineales con $4$ incógnitas.

Podemos reescribir el sistema en forma matricial:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} a_{11}x_1+\dotsc+a_{1n}x_n \\ \vdots \\a_{m1}x_1+\dotsc+a_{mn}x_n \end{array} \right) \end{equation*}$ $=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

o bien,

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dotsc & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dotsc & a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \end{equation*} $ $=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right). \end{equation*}$

Si $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \dotsc & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dotsc & a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*}$, $X=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \end{equation*} $ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$, el sistema quedaria abreviado como:

$AX=B.$

A la matriz $A$ se le llama la matriz de coeficientes del sistema.

La matriz aumentada del sistema es:

$\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right) \end{equation*}$$=\left( A|B \right)_{m\times (n+1)}$

Decimos que un vector $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$, que identificamos con la matriz columna formada por las entradas $s_1,\dotsc,s_n$, es solución del sistema si $AS=B$.

Observación 1

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R) $ y $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$. Sean $A^1,\dotsc, A^n\in \mathbb R^m$ son las columnas de $A$. Tenemos que $S$ es una solución del sistema si y sólo si $s_1 A^1+s_2 A^2+\cdots+s_n A^n=B.$

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, $B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R) $ y $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$. Sean $A^1,\dotsc, A^n\in \mathbb R^m$ son las columnas de $A$.

$S$ es solución del sistema $AX=B\Longleftrightarrow AS=B$

$\Longleftrightarrow$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} a_{11}s_1+\dotsc+a_{1n}s_n \\ \vdots \\a_{m1}s_1+\dotsc+a_{mn}s_n \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

$\Longleftrightarrow$ $s_1 \begin{equation*} \left(\begin{array}{c} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right) \end{equation*}$ $+$ $\cdots$ $+$ $s_n\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} a_{1n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right) \end{equation*}$$=\begin{equation*} \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{equation*}$

$\Longleftrightarrow$ $s_1 A^1+s_2 A^2+\cdots+s_n A^n=B.$

Observación 2

Todo sistema homogéneo tiene al menos la solución $S=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$, llamada la solución trivial.

Teorema.

Al realizar operaciones elementales en la matriz aumentada de un sistema, el sistema asociado puede cambiar, pero las soluciones son las mismas.

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R) $

Consideremos el sistema $AX=B$ y $\left( A|B \right)$ su matriz aumentada. Basta probar que al aplicar una operación elemental $e$ a $\left( A|B \right)$ el sistema asociado tiene las mismas soluciones.

$1)$ Sea $e$ la operación que intercambia los renglones $r$ y $t$. Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original sólo que en otro orden, así que las soluciones son las mismas.

$2)$ Sea $e$ la operación que multipica el renglón $r$ por un real $\lambda$, con $\lambda\neq 0.$

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación $r$ que queda multiplicada por $\lambda$. Pero todo $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$ cumple que

$\begin{array}{rrr}a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n=b_r & \Longleftrightarrow & \lambda (a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n)=\lambda b_r \\ &\Longleftrightarrow & (\lambda a_{r1})s_1+\cdots+(\lambda a_{rn})s_n=\lambda b_r.\end{array}$

Así, las soluciones de ambos sistemas coinciden.

$3)$ Sea $e$ la operación que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $t$, con $\lambda \in \mathbb R.$

Las ecuaciones del sistema obtenido son las mismas que las del sistema original salvo por la ecuación $r.$ Pero todo $S=(s_1,\dotsc,s_n)\in \mathbb R^n$ cumple que:

$\begin{array}{ll}a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n&=b_r\\ a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n&= b_t\end{array}$

si y sólo si

$\begin{array}{ll}(a_{r1}s_1+\cdots+a_{rn}s_n)+\lambda (a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n)&=b_r + \lambda b_t\\ a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n&= b_t\end{array}$

si y sólo si

$\begin{array}{ll}(a_{r1}+\lambda a_{t1})s_1+\cdots+(a_{rn}+\lambda a_{tn})s_n&=b_r + \lambda b_t\\ a_{t1}s_1+\cdots+a_{tn}s_n&= b_t\end{array}$

y por lo tanto las soluciones son las mismas.

Tarea Moral

$1.$ Determina si los siguientes sistemas son lineales. Para aquellos que lo sean expresa al sistema en forma matricial $AX=B$, encuentra una solución y expresa a $B$ como combinación lineal de las columnas de $A$.

$i)$

$\begin{align*} 3x+y &=1\\ -5x+y &=0 \end{align*}$

$ii)$

$\begin{align*} -7\frac{1}{x}-\frac{1}{y} &=1\\ -\frac{1}{x}+6\frac{1}{y} &=0\end{align*}$

$iii)$

$\begin{align*} x-3yz-2xz &=8 \end{align*}$

$iv)$

$\begin{align*} 2x+3y-4z+w &=9\\ y+5z &=1 \end{align*}$

$2.$ Considera a un sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$. Sea $S_p$ una solución particular del sistema y $S_o$ una solución al sistema $AX=0$.

$i)$ ¿Qué puedes decir de $S_o+S_p$?

$ii)$ ¿Cualquier solución de $AX=B$ será la suma de $S_p$ con alguna solución del sistema $AX=0$?

Más adelante

En la siguiente nota veremos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones, los caracterizaremos de acuerdo a si tiene o no solución y al número de soluciones.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 37. El rango de una matriz.

Enlace a la nota siguiente. Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

La propiedad multiplicativa del determinante establece que si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas de igual tamaño, entonces el determinante de su producto $AB$ es igual al producto de los determinantes de $A$ y $B$, es decir:

$det\,AB = det\,A\, det\,B.$

La propiedad multiplicativa del determinante es muy útil en muchos problemas de álgebra lineal, ya que permite calcular el determinante de una matriz grande descomponiéndola como producto de matrices cuyos determinantes sean más sencillos de calcular.

En esta última entrada vamos a probar la propiedad multiplicativa del determinante, primero cuando una de las matrices es elemental, después probaremos la propiedad multiplicativa cuando una de las matrices es una matriz escalonada reducida por renglones para finalmente justificar con ello el caso general.

Observación 1

Sea $E$ es una matriz elemental:

• El determinante de $E$ es $-1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando dos renglones.
• El determinante de $E$ es $\lambda$ si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando un renglón por un escalar $\lambda$ no nulo.
• El determinante de $E$ es $+1$ si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando a un renglón un múltiplo de otro.

Demostración

Es consecuencia directa de cómo cambia el determinante cuando aplicamos a la matriz una operación elemental. Se deja la prueba al lector.

Lema 3

Sean $n$ un natural positivo, $E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental. Tenemos que $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $E,B\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $E$ una matriz elemental, $t,s\in\{1,\dots ,n\}$, $\lambda\in \mathbb R$.

Caso 1

Si $E$ se obtiene de $I_n$ intercambiando los renglones $t$ y $s$, entonces, gracias a la observación $1$ de la nota 35, $EB$ se obtiene de $B$ intercambiando los renglones $t$ y $s$. Por la propiedad $3$ de determinantes vista en la nota 41 tenemos que:

$det\,EB=-det\,B=(-1)det\,B $

y por la observación 1 $(-1)det\,B =det\,E\,det\,B$. Por lo tanto $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

Caso 2

Si $E$ se obtiene de $I_n$ multiplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}$, entonces, gracias a la observación $1$ de la nota 35, $EB$ se obtiene de $B$ multplicando el renglón $s$ por $\lambda\in \mathbb R\setminus\set{0}.$ Por la propiedad $2$ de determinantes vista en la nota 41 tenemos que $det\,EB=\lambda\,detB$ y por la observación 1 $det\,E=\lambda$, así $det\,EB=det\,E\,det\,B.$

Caso 3

Si $E$ se obtiene de $I_n$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, entonces, gracias a la observación $1$ de la nota 35, $EB$ se obtiene de $B$ sumando al renglón $t$ $\lambda$ veces el renglón $s$, así por la propiedad $5$ de determinantes vista en la nota 41 $det\,EB=+1\,det\,B$ y por la observación $1$ tenemos que $det\,E=+1$ y así $det\,EB = det\,E\, det\,B.$

$\square$

Observación 2

Sean $n$ un natural positivo, $R\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ una matriz escalonada reducida. Tenemos que $R=I_n$ o bien $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Demostración

Se deja la prueba al lector.

Lema 4

Sean $n$ un natural positivo, $R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida, se tiene que $det\,RB=det\,R\,det\,B.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $R,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ escalonada reducida.

Por la observación $2$ sabemos que $R=I_n$ o bien $R$ tiene al menos un renglón nulo. Analicemos cada uno de estos dos casos.

Caso 1

Si $R=I_n$ entonces:

$det\,RB=det\,I_nB=det\,B=det\,I_n\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Caso 2

Si $R$ tiene al menos un renglón nulo, tenemos que $RB$ tiene al menos un renglón nulo y por la propiedad $6$ de determinantes vista en la nota 41 $det\,R=0=det\,RB$, así:

$det\,RB=0=0\,det\,B=det\,R\,det\,B.$

Teorema

Sean $n$ un natural positivo, $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Se tiene que $det\,AB=det\,A\,det\,B.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A,B \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$

Sabemos, gracias a lo que se vio en la nota 36, que $A\sim R$ para alguna $R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ matriz escalonada reducida, entonces, por la observación 2 de la nota 35 sabemos que $A=E_t\cdots E_1 R$, con $t$ un natural positivo y $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales. Así:

$det\,AB=det\,E_t\cdots E_1 R B$

Por el lema $3$ aplicado varias veces tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 det\,R B$

y por el lema $4$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1\,det\,R\,det\,B.$

Por el lema $3$ tenemos que:

$det\,AB=det\,E_t\,det\,E_{t-1}\cdots det\,E_1 R\,det\,B$

y aplicando sucesivamente el lema $3$ obtenemos:

$det\,AB=det\,E_t E_{t-1}\cdots E_1 R\, det\, B.$

Concluimos que:

$det\,AB=det\,A\,det\,B.$

$\square$

Observación 3

Sean $n$ un natural positivo, $A,R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ una matriz escalonada reducida tal que $A\sim R$. Tenemos que $det\,A\neq 0$ si y sólo si $det\,R\neq 0$.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A,R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $R$ una matriz escalonada reducida tal que $A\sim R$.

Dado que las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda\neq 0$, se tiene que $det A$ y $det R$ sólo difieren por un factor $\lambda\neq 0$, es decir $det R=\lambda det R$ con $\lambda\neq 0$, por lo cual $det\,R\neq 0$ si y sólo si $det\,A\neq 0$.

$\square$

Teorema

Sean $n$ un natural positivo, $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$1.$ Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente independiente en $\mathbb R^n$.

$2.$ $rk\,A=n$.

$3.$ $A\sim I_n$.

$4.$ $A$ tiene inversa.

$5.$ $det\,A\neq 0.$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R).$

$1\Longrightarrow2$ Supongamos que los renglones de $A$ forman un conjunto $l.i$ en $\mathbb R^n$. Entonces como son $n$ vectores $l.i$ en $\mathbb R^n$ son una base de $\mathbb R^n$ y así el espacio de renglones de $A$ es $\mathbb R^n$ que tiene dimensión $n$ y por lo tanto $rk\,A=n.$

$2\Longrightarrow3$ Supongamos $rk\,A=n$. Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ con $n$ renglones no nulos. Por la observación $2$ sabemos que $R=I_n$ y así $A\sim I_n$.

$3\Longrightarrow4$ Supongamos que $A\sim I_n$ entonces $A=E_t\cdots E_1 I_n$ con $t$ un natural positivo y $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales (que son invertibles). Así, $A$ es producto de matrices invertibles y es por lo tanto invertible con $A^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_t^{-1}.$

$4\Longrightarrow5$ Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=I_n$. Así, $1=det\,I_n=det\,AA^{-1}=det\,A\,det\,A^{-1}$. En particular $det\,A\neq 0$.

$5\Longrightarrow1$ Supongamos que $det\,A\neq 0$. Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A\sim R$. Por la observación $3$ tenemos que $det\,R\neq 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos, entonces, usando la observación $2$, tenemos que $R=I_n$. Dado que $rk \,A=rk \,R=rk \,I_n,$ se tiene que el rango de $A$ es $n$ y así la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$. Concluimos finalmente que los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto $l.i.$

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz diagonal para que sea invertible.

$2.$ Analiza qué condiciones debe cumplir una matriz triangular superior (o inferior) para que sea invertible.

$3.$ ¿Para que valores reales de $k$, si es que existen, la matriz $C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ es invertible?

$4.$ ¿Qué condiciones se deben pedir a $a,b,c$ para que la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$ sea invertible?

Más adelante

Con esta entrada se terminan las notas del curso de Álgebra Superior I impartido por la Dra. Diana Avella Alaminos.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 42. Formula para obtener el determinante.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El cálculo del determinante de una matriz es una operación fundamental en la teoría de matrices y álgebra lineal. En esta entrada estudiaremos el método de los menores o cofactores que es una técnica utilizada para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

El método se basa en la expansión del determinante a lo largo de una fila o columna de la matriz, calculando el determinante de una matriz a partir de determinantes de ciertas matrices que resultan de eliminar una fila y una columna de la matriz original, acompañados de algunas entradas de la matriz y signos positivos o negativos que se alternan en función de la posición del elemento en la matriz.

El método de los menores o cofactores puede ser un poco tedioso para matrices grandes, pero es una herramienta poderosa para calcular determinantes de matrices cuadradas de cualquier tamaño y puede usarse junto con las propiedades que hemos estudiado de los determinantes para facilitar el cálculo de los mismos.

Ve el siguiente video con las demostraciones de los dos lemas que estudiaremos en esta entrada.

Definición

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ e $i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Denotamos por $A(i\mid j)$ a la matriz $(n-1)\times (n-1)$ que se obtiene de $A$ quitando el renglón $i$ y la columna $j$ de $A$. El menor $i,j$ de $A$ es el determinante de $A(i\mid j).$

Ejemplo

Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}$ y $A(1\mid 2)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}.$

El menor $1,2$ de $A$ es $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \end{equation*}=-5.$

$A(2\mid 3)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}$, el menor $2,3$ de $A$ es $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}=8.$

Lema 1

Sean $n$ un natural positivo y $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que $a_{n1}=\cdots=a_{n(n-1)}=0$, entonces $det\,A=a_{nn}det\,A(n\mid n).$

Demostración

Sean $n$ un natural positivo y $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ tal que $a_{n1}=\cdots=a_{n(n-1)}=0$.

Por definición de determinante tenemos que:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$

Como todos los elementos de la fila $n$ son cero salvo en $n$-ésimo entonces los únicos sumandos que pueden contribuir con algún valor no nulo son aquellos tales que $\sigma(n)=n$, así:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n, \sigma(n)=n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n-1\sigma(n-1)} a_{nn}.$

Factorizando $a_{nn}$ tenemos que:

$\det\,A=a_{nn}\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n, \sigma(n)=n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n-1\sigma(n-1)}.$

Pero cada $\sigma\in S_n$ tal que $\sigma(n)=n$ da lugar a una $\gamma\in S_{n-1}$, a saber $\gamma:\{1,2,\dots ,n-1\}\rightarrow\{1,2,\dots ,n-1\}$ tal que $\gamma(i)=\sigma(i)$ para toda $i\in\{1,2,\dots ,n-1\}$, y recíprocamente, cada $\gamma\in S_{n-1}$ da lugar a una $\sigma\in S_{n}$ tal que $\sigma(n)=n$, a saber $\sigma:\{1,2,\dots ,n\}\rightarrow\{1,2,\dots ,n\}$ tal que $\sigma(i)=\gamma(i)$ para toda $i\in\{1,2,\dots ,n-1\}$ y $\sigma(n)=n$. Podemos reescribir lo anterior entonces como:

$\det\,A= a_{nn} \displaystyle\sum_{\gamma\in S_{n-1}}sgn\,\gamma\,a_{1\gamma(1)}\cdots a_{n-1\gamma(n-1)}$

y por definición de determinante tenemos que:

$det\,A=a_{nn}det\,A(n\mid n).$

$\square$

Lema 2

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ e $i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Si todos los elementos del renglón $i$ de $A$ salvo quizás $a_{ij}$ son cero, entonces $det\,A=(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j).$

Al número $(-1)^{i+j}det\,A(i\mid j)$ se le conoce como el cofactor $i,j$ de $A$.

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$, $i,j\in\set{1,\dotsc,n}$ con $a_{il}=0\,\,\forall l\neq j.$

Entonces la matriz $A$ se ve de la siguiente forma (el renglón $i$ está marcador en rojo):

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Vamos a intercambiar renglones y columnas para llevar esta matriz a una del tipo de las requeridas en la hipótesis del lema 1.

Nuestro objetivo es transformar la matriz $A$ en una equivalente $A’$, que tenga en el último renglón ceros en todas sus entradas salvo quizás en la última, y cuyo menor $n,n$ que es $det\,A'(n\mid n)$, sea igual al menor $i,j$ de $A$, es decir el determinante de la matriz que se obtiene de quitar el $i-$ésimo renglón y la $j-$ésima columna de $A$. Consideremos $A’$ la matriz que se obtiene de $A$ después de intercambiar el renglón $i$ de $A$ con cada uno de los $n-i$ renglones subsecuentes, y después intercambiando la columna $j$ de la matriz obtenida con las $n-j$ columnas subsecuentes.

La matriz $A’$ es de la forma:

$A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j-1} & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} & a_{ij}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_{i-11} & \cdots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} &\cdots & a_{i-1n} & a_{i-1j} \\ a_{i+11} & \cdots & a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} &\cdots & a_{i+1n} & a_{i+1j} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots &\vdots\\ a_{n1} & \cdots& a_{nj-1} & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn} & a_{nj} \\ \colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$}&\colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Dado Que $A’$ se obtuvo de $A$ realizando $n-i$ intercambios de renglones y $n-j$ intercambios de columnas, por la propiedad $3$ de la nota anterior tenemos que:

$det\,A=(-1)^{(n-i)+(n-j)}det\,A’.$

Desarrollando tenemos que:

$det\,A=(-1)^{2n-(i+j)}det\,A’=(-1)^{2n}(-1)^{-(i+j)}det\,A’$

y dado que $(-1)^{2n}=1$ y que $(-1)^{-(i+j)}=\frac{1}{(-1)^{i+j}}=(-1)^{i+j}.$

Obtenemos por el lema 1 que:

$det\,A=(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j).$

$\square$

Teorema

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ e $i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$ Se tiene que:

$det\,A=(-1)^{i+1}a_{i1}det\,A(i\mid 1)+(-1)^{i+2}a_{i2}det\,A(i\mid 2)+\cdots+(-1)^{i+n}a_{in}det\,A(i\mid n),$

que se conoce como el desarrollo del determinante por el renglón $i$ de $A$, o bien

$det\,A=(-1)^{1+j}a_{1j}det\,A(1\mid j)+(-1)^{2+j}a_{2j}det\,A(2\mid j)+\cdots+(-1)^{n+j}a_{nj}det\,A(n\mid j),$

que se conoce como el desarrollo del determinante por la columna $j$ de $A$.

Ve el siguiente video de la demostración del teorema:

Demostración

Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$ e $i,j\in\set{1,\dotsc,n}.$

Vamos a considerar el renglón $i$ y pensaremos que en cada término $a_{ij}$ aparece una suma de $n$ términos, $n-1$ son ceros y el otro $a_{ij}$ en el sumando $j$-ésimo. Así, vamos a escribir a la matriz $A$ como:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$a_{i1}+0+\cdots+0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0+\cdots+a_{ij}+\cdots+0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0+\cdots+0+a_{in}$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Desde esta perspectiva podemos visualizar al renglón $i$ como la suma de los siguientes $n$ vectores:

$(a_{i1},0,\dotsc,0),(0,a_{i2},0,\dotsc,0),\dotsc, (0,\dotsc,0,a_{in}).$

Consideraremos ahora para cada $j\in\{1,\dots ,n\}$, una matriz que tiene los mismos renglones que $A$, excepto en el $i$-ésimo renglón, en el que tendremos precisamente al vector $j$-ésimo de la lista anterior.

Recordemos la propiedad uno de determinantes vista en la nota 41 que nos dice que: Si $R_k^{\prime}$ y $R_k^{\prime\prime}$ son los renglones $k$ de $A’$ y $A^{\prime\prime}$ respectivamente, el renglón $k$ de $A$ es $R_k^{\prime}+R_k^{\prime\prime}$, y el resto de los renglones de $A, A’$ y $ A^{\prime\prime}$ coinciden, entonces $det\,A=det\,A’+det\,A^{\prime\prime}.$ Gracias a dicha propiedad obtenemos que:

$detA=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$a_{i1}$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+\cdots+$ $det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{ij}$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}$ $+\dotsc+$ $\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots& a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\\colorbox{Red}{$0$}& \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$\cdots$} & \colorbox{Red}{$a_{in}$}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{equation*}.$

Finalmente, por el lema 2 obtenemos que:

$det\,A=(-1)^{i+1}a_{i1}det\,A(i\mid 1)+\cdots+(-1)^{i+j}a_{ij}det\,A(i\mid j)+\cdots+(-1)^{i+n}a_{in}det\,A(i\mid n).$

La prueba es análoga para las columnas.

$\square$

Ejemplos

$1.$ Considera la matriz $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 8 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 0 & 2 \\ 3 & 8 & 9 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\ 9 & 0 & 11 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Vamos a desarrollar su determinante. Conviene hacerlo por los renglones o columnas que tengan muchos ceros, en este caso vamos a desarrollar por la cuarta columna.

$det\,A=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 8 & \colorbox{Red}{$0$} & 4 \\ 5 & 0 & 13 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 3 & 8 & 9 & \colorbox{Red}{$5$} & 7 \\ 0 & 0 & -2 & \colorbox{Red}{$0$} & 0\\ 9 & 0 & 11 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Según el teorema tenemos que:

$\begin{array}{ll}det\,A=&(-1)^{1+4}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\,A(1\mid 4)+(-1)^{2+4}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\,A(2\mid 4)\\&+(-1)^{3+4}\,(\colorbox{Red}{$5$})\,det\,A(3\mid 4)+(-1)^{4+4}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\,A(4\mid 4)+(-1)^{1+5}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\,A(5\mid 4).\end{array}$

Eliminando los términos con cero obtenemos que:

$det\,A=(-1)^{3+4}\,5\,det\,A(3\mid 4)=-5\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Consideremos ahora la matriz:

$A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$0$} & \colorbox{Red}{$-2$} & \colorbox{Red}{$0$} \\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Vamos a calcular su determinante desarrollándolo a través de su tercer renglón:

$det\,A’=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 8 & 4 \\ 5 & 0 & 13 & 2 \\ (\colorbox{Red}{$0$}) & (\colorbox{Red}{$0$}) & (\colorbox{Red}{$-2$}) & (\colorbox{Red}{$0$}) \\ 9 & 0 & 11 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$,

al desarrollar obtenemos que:

$det\,A’=(-1)^{3+1}\,\colorbox{Red}{$0$}\,det\,A'(3\mid 1)+(-1)^{3+2}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\,A'(3\mid 2) +(-1)^{3+3}\,(\colorbox{Red}{$-2$})\,det\,A'(3\mid 3)+(-1)^{3+4}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\,A'(3\mid 4)$

Eliminando los términos con ceros tenemos que:

$det\,A’=(-1)^{3+3}\,(\colorbox{Red}{$-2$})\,det\,A'(3\mid 3)=-2\,det\,A'(3\mid 3)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \\ 9 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

y como $det\,A=-5\,det\,A’=(-5)(-2)\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \\ 9 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Sea $A^{\prime\prime}=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & \colorbox{Red}{$-2$} & 4 \\ 5 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 9 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$.

Desarrollemos su determinante por la segunda columna:

$det\,A^{\prime\prime}=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & \colorbox{Red}{$-2$} & 4 \\ 5 & \colorbox{Red}{$0$} & 2 \\ 9 & \colorbox{Red}{$0$} & 1 \end{array}\right) \end{equation*}= (-1)^{1+2}\,(\colorbox{Red}{$-2$})\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) + (-1)^{2+2}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\, A^{\prime\prime} (2\mid 2) + (-1)^{3+2}\,(\colorbox{Red}{$0$})\,det\, A^{\prime\prime} (3\mid 2)$.

Eliminando los términos con cero tenemos que:

$det\,A^{\prime\prime} = (-1)^{1+2}\,(\colorbox{Red}{$-2$})\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) =2\,det\, A^{\prime\prime} (1\mid 2) = 2\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right). \end{equation*}$

Finalmente, como $det\,A=(-5)(-2)det\,A^{\prime\prime}$ obtenemos que:

$det\, A= (-5)(-2)(2)\,det\, \begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 9 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}=(-5)(-2)(2)[5-18]=(-5)(-2)(2)(-13)=-260$

Para el siguiente ejemplo tienes que tener el consideración las siguientes propiedades de determinantes vistos en la nota anterior.

$2.$ Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$

Escalonemos la matriz para obtener una matriz escalonada reducida por renglones, cuyo determinante será más sencillo de obtener. Dado que sabemos cómo cambia el determinante con las operaciones elementales realizadas, podremos decir cuál es el determinante de $A$:

	Explicación de las igualdades y operaciones elementales
$det\,A=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$	Efectúa las operaciones elementales: $R_2\to R_2+5R_1$ $R_3\to R_3+2R_1$ $R_4\to R_4+3R_1$
$=det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 10 & 6 & 3 \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $\frac{1}{10} R_3$
$=10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	La multiplicación por 10 se da por la propiedad 2. Efectúa la operación elemental: $R_2\leftrightarrow R_3$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 25 & 11 & 8 \\ 0 & 18 & 10 & 5 \end{array}\right) \end{equation*}$	El cambio de signo es por la propiedad 3. Efectúa las operaciones elementales: $R_3\to R_3+(-2)R_2$ $R_4\to R_4+(-18)R_2$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 0 & -4 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{4}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5. Efectúa la operación elemental: $R_4\to R_4+(-\frac{1}{5})R_2$
$=-10\,det\,\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} -1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{10}\\ 0 & 0 & -4 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{equation*}$	La igualdad se da por la propiedad 5.
$=-10(-1)(1)(-4)(-\frac{1}{2})=20$	Por ser una matriz diagonal inferior su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Pruébalo de tarea moral.

Tarea Moral

$1.$ Una matriz cuadrada $A$ es diagonal si $A_{ij}=0$ para $i\neq j$. Por otro lado una matriz cuadrada $A$ es triangular superior si $A_{ij}=0$ para $i>j$. De acuerdo a la definición del determinante.

$i)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz diagonal?

$ii)$ ¿Cuál es el determinante de una matriz triangular superior?

$2.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right) \end{equation*},$ calcula los menores $3,\ 4$ y $1,\,1$ de $A$.

$3.$ Calcula el determinante de $A,B,C.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 8 & 2 & -1\\ -3 & 4 & -6\\ 1 & 7 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -3 & 4 & 6 \\ -2 & 4 & 1 & 7\\ 3 & -1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 7 \end{array}\right) \end{equation*}$

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} k & -3 & 9\\ 2 & 4 & k+1\\ 1 & k^2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$

$4.$ Considera la matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}\right) \end{equation*}$

¿Cómo es su determinante en términos de $a,b,c$?, ¿cómo generalizarías el resultado para matrices $n\times n$ con $n$ un natural positivo?

Más adelante

En la siguiente y última nota veremos la propiedad multiplicativa que tiene el determinante y estudiaremos qué condición debe cumplir el determinante de una matriz para saber si es invertible.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Enlace a la nota siguiente. Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.