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Probabilidad I-Videos: Definición de variable aleatoria

Por Aurora Martínez Rivas

Introducción

En muchos experimentos estaremos interesados más que en el experimento en sí mismo, en alguna consecuencia de su resultado aleatorio. Tales consecuencias pueden valorarse en términos numéricos, es decir podemos asociar a los resultados aleatorios un número real y esto puede considerarse como una función que mapea al espacio muestral en la recta real.

Estas funciones se denominan «variables aleatorias».

Variables aleatorias

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ una función y sean $x\le\ y$ dos números reales. Demuestre que $(X\le\ x)\subseteq(X\le\ y)$.
  • Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos de $\Omega$, Demuestra cualquier función $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ es una variable aleatoria.
  • Sea $\Omega=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ con $\mathcal{F}=\left \{ \emptyset,\left \{ a.c.e \right \} ,\left \{ b,d,f \right \} ,\Omega \right \}$ y sea $X(\omega)=\omega$. Determina si $X$ es una variable aleatoria y justifica por qué.
  • Sea $A$ un evento, es decir, $A\in\mathcal{F}$ y sea $X$ una función tal que $$\\ X(\omega)= \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si }\omega\in A \\ 0 & \mbox{si }\omega\notin A \end{matrix} \right.$$ demuestra que $X$ es una variable aleatoria..
  • Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias, demuestra que:
    • $X+Y$ es una variable aleatoria.
    • $XY$ es una variable aleatoria.
    • Si $Y\neq0$ entonces $X/Y$ es variable aleatoria.

Más adelante…

Para especificar las probabilidades de los valores de las variables aleatorias tan diversificadas y poder especificarlas de la misma manera, introducimos a continuación en la teoría de la probabilidad el concepto de función de distribución de una variable aleatoria.

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Probabilidad I-Videos: Axiomas de la probabilidad y propiedades

Por Aurora Martínez Rivas

Introducción

Anteriormente vimos que los eventos pueden verse como subconjuntos del espacio muestral , sin embargo, no necesariamente todos los subconjuntos del espacio muestral son eventos. En este video se analizaran varias definiciones que nos permitirán formalizar ideas que hasta el momento son muy vagas, entre estas las condiciones que se deben cumplir para poder hablar de un evento, una medida de probabilidad, un espacio de probabilidad y algunas propiedades elementales.

Axiomas de la probabilidad y propiedades

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Si $P(A)$ es la probabilidad de que un evento A ocurra, prueba que para $A_1,A_2,\ldots, A_n$ eventos, se cumple que: $\begin{multline*}P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)- \sum_{i<j\le n}P\left(A_i\bigcap A_j\right)+\\ \sum_{i<j<k\le n }P\left(A_i\bigcap A_j\bigcap A_k\right)+\ldots+\left(-1\right)^{n+1}P(A_1\bigcap A_2\bigcap\ldots\bigcap A_n)\end{multline*}$.
  • Muestra que $P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\le\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)$.
  • Sean $A_r,\ \ r\geq1$, eventos tales que $P\left(A_r\right)=1$ para toda $r$. Prueba que $P\left(\bigcap_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$.
  • Prueba que $P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)\geq\ \sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)-(n-1)$.
  • Prueba que $P\left(A\cap B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)=P\left(\left(A\cup B\right)^c\right)-P\left(A^c\right)P\left(B^c\right)$.

Más adelante…

Cuando nos interesa la probabilidad de un evento asociado a un experimento aleatorio, en ocasiones es necesario encontrar dicha probabilidad, dada la condición suplementaria de que ha ocurrido algún otro evento asociado al experimento aleatorio. Llamaremos a tales probabilidades condicionales, hablaremos más de estas en el siguiente video.

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Probabilidad I-Videos: Interpretación frecuentista de la probabilidad

Por Aurora Martínez Rivas

Introducción

Hasta el momento se ha trabajado con dos definiciones de probabilidad, la definición clásica y la definición geométrica. En esta ocasión toca darle espacio a la interpretación frecuentista de la probabilidad que procede de la ocurrencia de un evento en un gran número de ensayos.

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

Sean $A$ y $B$ eventos cualesquiera de $\Omega$. Prueba que la aproximación frecuentista de la probabilidad cumple las siguientes propiedades.

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$. 

Más adelante…

En el siguiente video analizaremos algunas condiciones necesarias para el cumplimiento de la teoría de la probabilidad y formalizaremos algunas ideas abordadas hasta el momento.

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Probabilidad I-Videos: Probabilidad geométrica

Por Aurora Martínez Rivas

Introducción

La definición “clásica” se usó durante muchos años, pero luego de analizar algunos ejemplos especiales, estos llevaron a cierta modificación de la definición y a la construcción de un concepto de probabilidad para los casos en los que es concebible incluso un conjunto infinito de resultados. Este concepto es el de probabilidad geométrica.

Probabilidad geométrica

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

En un plano sea $\Omega$ cierta región y supongamos en ella hay otras dos regiones $A$ y $B$, todas con área finita y bien definida. Prueba que la definición de la probabilidad geométrica usando como medida el área, satisface las siguientes propiedades:

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$. 

Más adelante…

Así como la probabilidad geométrica ayuda a extender la definición de probabilidad clásica para casos con un espacio muestral no finito, en la siguiente entrada de video veremos la interpretación frecuentista de la probabilidad que nos brinda una alternativa para cuando no necesariamente los posibles resultados son equiprobables.

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Probabilidad I-Videos: Definición clásica de probabilidad

Por Aurora Martínez Rivas

Introducción

En esta entrada de video se abordará una de varias definiciones de probabilidad, de hecho, una de las primeras en utilizarse; y que ayudó a sentar las bases para construir la teoría matemática. Esta idea o interpretación de la probabilidad se extendió durante muchos años y es llamada definición clásica de probabilidad.

Definición clásica de probabilidad

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba que la definición clásica de probabilidad satisface las siguientes propiedades:

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$.

Más adelante…

Las restricciones de la definición clásica de probabilidad tiene inconvenientes, pues existen muchos procedimientos aleatorios en los que no se puede asegurar una misma probabilidad para cada observación y otros que no necesariamente están definidos en un espacio finito.

En el siguiente video se introducirá otra definición que busca ser una extensión de la definición “clásica” para aquellos casos en los que el conjunto de resultados no es finito.

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