Introducción

Cuando trabajas con una función de varias variables, por ejemplo $$z=f(x,y),z = f(x,y)$$ las derivadas parciales de primer orden $f_x$ y $f_y$ miden cómo cambia la función en las direcciones de $x$ y $y$. Las derivadas de orden superior aparecen cuando vuelves a derivar esas derivadas. Las derivadas de segundo orden representan la curvatura en direcciones $x$ y $y$ según la variable que se esté derivando por segunda vez. En esta entrada veremos por ejemplo que $f_{xy}$ es cómo cambia la pendiente en $x$ cuando te mueves en $y$ y viceversa y que además valen lo mismo. La razón geométrica es que $f_{xy}$ representa si al movernos lateralmente la pendiente aumenta o no, pero es indistinto el orden en que se desplace.

Derivadas Parciales de Orden Superior

Si $f$ es una función de doas variables $x,y$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ son funciones de las mismas variables, cuando derivamos $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ y $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$ obtenemos las derivadas parciales de segundo orden, las derivadas de $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$ están definidas por:

$$\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=\displaystyle\lim_{h\to 0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x+h,y)-\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}{h}}$$

$$\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}(x,y)=\displaystyle\lim_{k\to 0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+k)-\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}{k}}$$

Si $f$ es una función de dos variables entonces hay cuatro derivadas parciales de segundo orden.

Consideremos las diferentes notaciones para las derivadas parciales:

$$f_{1,1}=\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=f_{xx}$$

$$f_{1,2}=\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)=f_{xy}$$

$$f_{2,1}=\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)=f_{yx}$$

$$f_{2,2}=\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)=f_{yy}$$

Ejemplo. $z=x^{3}+3x^{2}y-2x^{2}y^{2}-y^{4}+3xy$ hallar $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}, \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y},\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}},\displaystyle\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y},\displaystyle\frac{\partial^{2}z}{\partial y \partial x},\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$

$$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=3x^{2}+6xy-4xy^{2}+3y$$

$$\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=3x^{2}-4x^{2}y-4y^{3}+3x$$

$$\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=6x+6y-4y^{2}$$

$$\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=-4x^{2}-12y^{2}$$

$$\displaystyle\frac{\partial^{2}z}{\partial y \partial x}=6x-8xy+3$$

$$\displaystyle\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}=6x-8xy+3$$

Teorema 1.Teorema de schwarz

Sea $f:A\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ una función definida en el abierto A de $\mathbb{R}^{2}$. Si las derivadas parciales

$$\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}~y~\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}$$

existen y son continuas en $A$, entonces

$$\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}$$

Demostración. Sea

$\displaystyle{M=f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x+h_{1},y)-f(x,y+h_{2})+f(x,y)}$ y definimos $$\varphi(x)=f(x,y+h_{2})-f(x,y)$$de manera que
$$\varphi(x+h_{1})-\varphi(x)=f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x+h_{1},y)-(f(x,y+h_{2})-f(x,y))=M$$

Aplicando el TVM a $\varphi$ en el intervalo $[x,x+h_{1}]$ se tiene que existe $\theta~\in~(x,x+h_{1})$ tal que

$$\varphi(x+h_{1})-\varphi(x)=\varphi'(\theta)h_{1}$$

por otro lado
$$\varphi'(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$
por lo tanto
$$\varphi'(\theta)=\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y)$$
tenemos entonces que

$$M=\varphi(x+h_{1})-\varphi(x)=\varphi'(\theta)h_{1}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y)\right)h_{1}$$
Consideremos ahora $\displaystyle{\psi(y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)}$. Aplicando el TVM a $\psi$ en el intervalo $[y,y+h_{2}]$ se tiene que existe $\eta~\in~(y,y+h_{2})$ tal que
$$\psi(y+h_{2})-\psi(y)=\psi'(\eta)h_{2}$$
por otro lado

$$\psi'(y)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)$$
por lo tanto
$$\psi'(\eta)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,\eta)$$
de esta manera

$$\psi(y+h_{2})-\psi(y)=\psi'(\eta)h_{2}=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,\eta)\right)h_{2}$$
y si $\theta\in (x,x+h_{1})$ tenemos entonces que

$$\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y)=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(\theta,\eta)\right)h_{2}$$
en consecuencia
$$M=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(\theta,y)\right)h_{1}=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(\theta,\eta)\right)h_{2}h_{1}$$

Consideremos ahora $$\overline{\varphi}(y)=f(x+h_{1},y)-f(x,y)$$de manera que
$$\overline{\varphi}(y+h_{2})-\overline{\varphi}(y)=f(x+h_{1},y+h_{2})-f(x+h_{1},y)-(f(x,y+h_{2})-f(x,y))=M$$

Aplicando el TVM a $\overline{\varphi}$ en el intervalo $[y,y+h_{2}]$ se tiene que existe $\overline{\eta}~\in~(y,y+h_{2})$ tal que
$$\overline{\varphi}(y+h_{2})-\overline{\varphi}(y)=\overline{\varphi}'(\overline{\eta})h_{2}$$
por otro lado
$$\overline{\varphi}'(y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x+h_{1},y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$$
por lo tanto

$$\overline{\varphi}'(\overline{\eta})=\frac{\partial f}{\partial y}(x+h_{1},\overline{\eta})-\frac{\partial f}{\partial y}(x,\overline{\eta})$$
tenemos entonces que
$$M=\overline{\varphi}(y+h_{2})-\overline{\varphi}(y)=\overline{\varphi}'(\overline{\eta})h_{2}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x+h_{1},\overline{\eta})-\frac{\partial f}{\partial y}(x,\overline{\eta})\right)h_{2}$$

Consideremos ahora $\displaystyle{\overline{\psi}(x)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}$. Aplicando el TVM a $\psi$ en el intervalo $[x,x+h_{1}]$ se tiene que existe $\overline{\theta}~\in~(x,x+h_{1})$ tal que
$$\overline{\psi}(x+h_{1})-\overline{\psi}(x)=\overline{\psi}'(\overline{\theta})h_{1}$$
por otro lado

$$\overline{\psi}'(x)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)$$
por lo tanto
$$\overline{\psi}'(\overline{\theta})=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(\overline{\theta},y)$$
de esta manera

$$\overline{\psi}(x+h_{1})-\overline{\psi}(x)=\overline{\psi}'(\overline{\theta})h_{1}=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\overline{\theta},y)\right)h_{1}$$
es decir
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x+h_{1},y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\overline{\theta},y)\right)h_{1}$$
y si $\overline{\eta}\in (y,y+h_{2})$ tenemos entonces que
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x+h_{1},\overline{\eta})-\frac{\partial f}{\partial y}(x,\overline{\eta})=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\overline{\theta},\overline{\eta})\right)h_{1}$$
en consecuencia

$$M=\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x+h_{1},\overline{\eta})-\frac{\partial f}{\partial y}(x,\overline{\eta})\right)h_{1}h_{2}=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\overline{\theta},\overline{\eta})\right)h_{2}h_{1}$$
igualando ambas expresiones de M se tiene
$$\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(\theta,\eta)\right)h_{2}h_{1}=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\overline{\theta},\overline{\eta})\right)h_{2}h_{1}$$
donde
$$\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(\theta,\eta)\right)=\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(\overline{\theta},\overline{\eta})\right)$$
Tomando limite cuando $h_{1},h_{2}\rightarrow 0$ y usando la continuidad asumida de las parciales mixtas se tiene que $\theta,\overline{\theta}\rightarrow x$ y $\eta,\overline{\eta}\rightarrow y$ se concluye
$$\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)$$ $\square$

Ejemplo. Sea $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{3}+3x^{2}y-2x^{2}y^{2}-y^{4}+3xy$\
En este caso
$$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+6xy-4xy^{2}+3y$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}-4x^{2}y-4y^{3}+3x$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x+6y-4y^{2}$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-4x^{2}-12y^{2}$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x-8xy+3$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x-8xy+3$$

Ejemplo. Dada la función

tenemos que para $(x,y)\neq (0,0)$
$$\frac{\partial f}{\partial x}=y\frac{x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=x\frac{x^{4}-4x^{2}y^{2}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$$
para el primer caso hacemos $x=0$ y tenemos
$$\frac{\partial f}{\partial x}=y\frac{x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\underbrace{=}{x=0}-y$$ para el segundo caso hacemos $y=0$ y tenemos $$\frac{\partial f}{\partial y}=x\frac{x^{4}-4x^{2}y^{2}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\underbrace{=}{y=0}1$$
Calculamos ahora
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2} (-y)}{\partial y\partial x}=-1$$
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} (1)}{\partial x\partial y}=1$$
por lo tanto
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-1\neq 1=\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}$$
En este caso las parciales segundas no son contiuas en $(0,0)$

Teorema. Caso General

Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ definida en el abierto A de $\mathbb{R}^{n}$ tal que
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}$$ sean continuas en A, entonces
$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}$$

Mas adelante

En la siguiente entrada se definen las derivadas de orden superior y veremos cómo se analizan de forma similar.

Tarea Moral

Determina las derivadas de segundo orden para:

1.- $f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}+1}$, $x_0=0$, $y_0=0$

2.- $f(x,y)=e^{x+y}$, $x_0=0$, $y_0=0$

3.- $f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$, $x_0=0$, $y_0=0$

4.-$f(x,y)=sen(xy)+cos(xy)$, $x_0=0$, $y_0=0$

5.- $f(x,y)=e^{(x-1)^{2}}$, $x_0=0$, $y_0=0$

Enlaces

El siguiente enlace muestra el paraboloide $x^2+y^2$ y analiza en el punto inicial $(a,b)=(0,0)$y se determina hacia dónde nos moveremos en el plano con un ángulo $\theta$. La idea es evaluar una línea del plano, definida con una función paramétrica auxiliar y la evalúa en la suerficie. También puedes pensarlo como una curva obtenida a partir de intersectar la superficie con un plano vertical.

https://colab.research.google.com/drive/1arFzSo_yPpsOkkm33n4kZBqGsZ3O_IVk?usp=sharing

Introducción

La regla de la cadena permite derivar funciones que dependen de otras variables, por otro lado el plano tangente es la mejor aproximación lineal de una superficie en un punto.

Caso particular de la regla de la cadena

Supongamos que $C:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ es una trayectoria diferenciable y $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$.

Sea $h(t)$=$f(x(t), y(t), z(t))$ donde $c(t)$=$(x(t),y(t), z(t))$.
Entonces

$$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}} = \displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\cdot \frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\cdot
\frac{\partial{y}}{\partial{t}}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\cdot
\frac{\partial{z}}{\partial{t}}$$

Esto es:
$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}$=$\nabla{f(c(t))}\cdot
{c'(t)}$, ~donde $c'(t)$=$((x'(t), y'(t), z'(t))$

Demostración. Por definición
$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}(t_{0})$=$\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$
Sumando y restando tenemos que

$\displaystyle\frac{h(t)-h(t_{0})}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(c(t))-f(c(t_{0}))}{t-t_{0}}$=$\displaystyle\frac{f(x(t), y(t), z(t)) – f(x(t_{0}), y(t_{0}), z(t_{0}))}{t-t_{0}}$=

=$\frac{f(x(t), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t),
z(t))~+~f(x(t_{0}), y(t), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t_{0}),
z(t))~+~f(x(t_{0}), y(t_{0}), z(t))~-~f(x(t_{0}), y(t_{0}),
z(t_{0}))}{t-t_{0}}$…$\ast$

Aplicando el Teorema del valor medio $\textbf{(T.V.M.)}$

$f(~x(t),~y(t),~z(t))-f(~x(t_{0}),~y(t),~z(t))=\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(~c,~y(t),~z(t))~(x(t)-x(t_{0}))$

$f(~x(t_{0}),~y(t),~z(t))-f(~x(t_{0}),~y(t_{0}),~z(t))=\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{y}}~(x(t),~ d, ~z(t))~(y(t)-y(t_{0}))$

$f(~x(t_{0}),~y(t_{0}),~z(t))-f(~x(t_{0}),~y(t_{0}),~z(t_{0}))=\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{z}}(~x(t),~y(t),~e)~(z(t)-z(t_{0}))$

$\therefore$$\ast$=$\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(~c,~y(t),~z(t))~\displaystyle\frac{x(t)-x(t_{0})}{t-t_{0}}+\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{y}}~(~x(t),~d,~z(t))~\displaystyle\frac{y(t)-y(t_{0})}{t-t_{0}}$+

$+\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{z}}~(~x(t),~y(t),~e))~\displaystyle\frac{z(t)-z(t_{0})}{t-t_{0}}$

Tomando $\displaystyle\lim_{t\rightarrow{t_{0}}}$ y por la continuidad de las parciales

$\displaystyle\frac{\partial{h}}{\partial{t}}$=$\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{x}}~\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+ \displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{y}}~\frac{\partial{y}}{\partial{t}}+\displaystyle\frac{\partial{f}}{\partial{z}}~\frac{\partial{z}}{\partial{t}}$

Ejemplos: Caso particular de la regla de la cadena

Ejemplo. Verificar la regla de la cadena para $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+3y^{2}$ y $c:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $c(t)=(e^{t},\cos(t))$

Solución. En este caso $\displaystyle{h(t)=f\circ c(t)~\Rightarrow~h'(t)=\frac{\partial h}{\partial t}}$ y aplicando la regla de la cadena se tiene
$$\frac{\partial f}{\partial x}(c(t))\cdot \frac{d x(t)}{dt}=\frac{\partial (x^{2}+3y^{2})}{\partial x}\left|{(e^{t},\cos(t))}\right.\cdot\frac{d (e^{t})}{dt}=2x\left|{(e^{t},\cos(t))}\cdot e^{t}\right.=2e^{t}\cdot e^{t}=2e^{2t}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(c(t))\cdot \frac{d y(t)}{dt}=\frac{\partial (x^{2}+3y^{2})}{\partial y}\left|{(e^{t},\cos(t))}\right.\cdot\frac{d (\cos(t))}{dt}=6y\left|{(e^{t},\cos(t))}\cdot (-sen(t))\right.=6 cos(t) \cdot (- sen(t))$$
por lo tanto
$$h'(t)=2e^{2t}-6\cos(t)\cdot (sen(t))$$

Ejemplo. Verificar la regla de la cadena para $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=xy$ y $c:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $c(t)=(e^{t},\cos(t))$

Solución. En este caso $\displaystyle{h(t)=f\circ c(t)~\Rightarrow~h'(t)=\frac{\partial h}{\partial t}}$ y aplicando la regla de la cadena se tiene
$$\frac{\partial f}{\partial x}(c(t))\cdot \frac{d x(t)}{dt}=\frac{\partial (xy)}{\partial x}\left|{(e^{t},\cos(t))}\right.\cdot\frac{d (e^{t})}{dt}=y\left|{(e^{t},\cos(t))}\cdot e^{t}\right.=\cos(t)\cdot e^{t}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(c(t))\cdot \frac{d y(t)}{dt}=\frac{\partial (xy)}{\partial y}\left|{(e^{t},\cos(t))}\right.\cdot\frac{d (cos(t))}{dt}=x\left|{(e^{t},cos(t))}\cdot (-sen(t))\right.=e^{t}\cdot (-sen(t))$$

por lo tanto
$$h'(t)=\cos(t)e^{t}-e^{t}\cdot sen(t)$$

Ejemplo.Verificar la regla de la cadena para $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=e^{xy}$ y $c:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $c(t)=(3t^{2},t^{3})$

Solución. En este caso $\displaystyle{h(t)=f\circ c(t)~\Rightarrow~h'(t)=\frac{\partial h}{\partial t}}$ y aplicando la regla de la cadena se tiene

$$\frac{\partial f}{\partial x}(c(t))\cdot \frac{d x(t)}{dt}=\frac{\partial (e^{xy})}{\partial x}\left|{(3t^{2},t^{3})}\right.\cdot\frac{d (3t^{2})}{dt}=ye^{xy}\left|{(3t^{2},t^{3})}\cdot 6t\right.=t^{3}e^{3t^{5}}6t=6t^{4}e^{3t^{5}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(c(t))\cdot \frac{d x(t)}{dt}=\frac{\partial (e^{xy})}{\partial y}\left|{(3t^{2},t^{3})}\right.\cdot\frac{d (t^{3})}{dt}=xe^{xy}\left|{(3t^{2},t^{3})}\cdot 3t^{2}\right.=3t^{2}e^{3t^{5}}3t^{2}=9t^{4}e^{3t^{5}}$$
por lo tanto
$$h'(t)=6t^{4}e^{3t^{5}}+9t^{4}e^{3t^{5}}=15t^{4}e^{3t^{5}}$$

Teorema 1. El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ una aplicación $C^{1}$ y sea
$(x_{0},y_{0},z_{0})$ un punto sobre la superficie de nivel $S$ definida por $f(x,y,z)$=$k$, $k$=$cte$. Entonces $\nabla{f}(x_{0},~y_{0},~z_{0})$ es normal a la superficie de nivel en el siguiente sentido: si $v$ es el vector tangente en $t$=$t_{0}$ de
una trayectoria $c(t)$ con $c(t_{0})$=$(x_{0},~y_{0},~z_{0})$ Entonces $\nabla{f}\cdot {v}$=$0$

que se puede escribir como
$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t)z(t)),\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t)z(t)),\frac{\partial f}{\partial z}(x(t),y(t)z(t))\right)\cdot\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right)=0$$
en $t=t_{0}$
$$\nabla f(x(0),y(0),z(0))\cdot c'(t_{0})=0$$

Plano Tangente

Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ una función diferenciable definida en A, y sea
$$S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~f(x,y,z)=c \right\}$$

una superficie de nivel de f y $\hat{x}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ un punto de ella. Considere además, una curva
$$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$$
y una curva
$$\beta(t)=(x_{1}(t),y_{1}(t),z_{1}(t))$$

que pasen por $\hat{x}_{0}$ con $t\in[a,b]$ en ambos casos y tanto $\alpha$ como $\beta$ diferenciables, se tiene entonces $$(f\circ\alpha)'(t)=f'(\alpha(t))\alpha'(t)=\nabla f(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$$ $$(f\circ\beta)'(t)=f'(\beta(t))\beta'(t)=\nabla f(\beta(t))\cdot \beta'(t)=0$$ pues el gradiente $\nabla f(\hat{x}{0})$ en ambos casos es ortogonal tanto al vector $\alpha'(t_{0})$ como al vector $\beta'(t_{0})$ en el punto $\hat{x_{0}}=\alpha(t_{0})=\beta(t_{0})$

Si $\nabla f(\hat{x}{0})\neq 0$, entonces las tangentes a las curvas $\alpha, \beta$ sobre S que pasan por $\hat{x}{0}$

están contenidas en un mismo plano; por lo que el plano tangente a
$$S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~f(x,y,z)=c \right\}$$ se define

Definición. El plano tangente a S en $\hat{x}{0}$ se define $$P=\left\{\hat{x}~|~\nabla f(\hat{x}_{0})\cdot (\hat{x}-\hat{x}_{0})=0 \right\}$$

Ejemplo. Hallar el plano tangente a la superficie
$$S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1 \right\}$$
en el punto $(2,3,1)$

Solución. En este caso el gradiente es
$$\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{x}{2},-\frac{2}{9}y,2z\right)$$
en el punto $(2,3,1)$ es
$$\nabla f(2,3,1)=\left(1,-\frac{2}{3},2\right)$$
Por tanto la ecuación del plano tangente es
$$\left(1,-\frac{2}{3},2\right)\cdot (x-1,y-3,z-1)=0$$
es decir
$$3x-2y+6z-6=0$$

Mas adelante

En la siguiente entrada estudiaremos el tema de derivadas de orden superior, el cual, trata de estudiar qué ocurre cuando derivamos una función más de una vez, y cómo esas derivadas adicionales nos dan información más profunda sobre el comportamiento de la función.

Tarea Moral

1.- Verifica la regla de la cadena para $f(x,y)=(x^2+y^2) log \sqrt{x^2+y^2}$ y la trayectoria $c(t)=(e^t,e^{-t})$

2.- Aplica la regla de la cadena para $f(x,y)=x exp(x^2+y^2)$ y $c(t)=(t,-t)$

3.- Sea la superficie $S=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2+y^2+(z-6)^2=9 \right\}$ calcula el plano tangente en $(4,-1,2)$

4.- Sea la superficie $S=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ \sqrt {x^2+y^2+z^2} =5 \right\}$ calcula el plano tangente en $(0,2,-6)$

5.- Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie definida por $S=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} ~|~ 3xy+z^2 =4 \right\}$ calcula el plano tangente en $(1,1,1)$

Enlaces

El siguiente enlace muestra la gráfica de el hiperboloide mostrado anteriormente como ejemplo $S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1 \right\}$ y su plano tangente en el punto $(2,3,1)$. Puedes modificar la superficie por la que tú quieras para seguir observando este concepto.

https://www.geogebra.org/calculator/rmpbz7ft

Se muestra otra gráfica con su respectivo plano tangente en un punto, en esta ocasión el plano tangente va variando su inclinación dependiendo del punto.

https://www.geogebra.org/calculator/tutrembb

Diferenciabilidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$

Introducción

En funciones de varias variables la continuidad significa que no hay “saltos” en la gráfica: puedes acercarte a un punto desde cualquier dirección y el valor de la función coincide, sin embargo, hay que verificar esto para todas las direcciones posibles hacia el punto. Más aún, diremos que la función es diferenciable si se puede aproximar localmente por un plano tangente.

Definición. Sea $A\subset\mathbb{R}^{2}$, un abierto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $(x_{0},y_{0})\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ si existen las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),~~\frac{\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ tal que
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$

Diferenciabilidad implica continuidad de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$

Teorema 1. Si la función $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ definida en $A$ de $\mathbb{R}^{2}$, es diferenciable en el ´punto $p=(x_{0},y_{0})\in A$, entonces es continua en ese punto.

Demostración. Si f es diferenciable en el ´punto $p=(x_{0},y_{0})\in A$ se tiene
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$
tomando limite se tiene
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}f(x_{0},y_{0})+\cancel{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}}+\cancel{\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}}+\cancel{r(h_{1},h_{2})}$$
se tiene entonces que
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})$$
por lo que f es continua en $(x_{0},y_{0})$

Aplicacion del Teorema del Valor Medio de Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$

Teorema 2. Suponga que $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ es tal que
$$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right|\leq M$$ y $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right|\leq M$$

donde $M$ no depende de $x,y$ entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración. Sean $(x_{0},y_{0}),(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})\in A$ tenemos entonces que $$f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})=f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})\textcolor{Red}{-f(x_{0}+h_{1},y_{0})+f(x_{0}+h_{1},y_{0})}-f(x_{0},y_{0})$$ Aplicando teorema del valor medio se tiene que existen $\xi_{1},\in\ (x_{0},x_{0}+h_{1})$,$\xi_{2}\in(y_{0},y_{0}+h_{2})$ tal que $$f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})\textcolor{Red}{-f(x_{0}+h_{1},y_{0})}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1},\xi_{2})h_{2}$$ $$\textcolor{Red}{f(x_{0}+h_{1},y_{0})}-f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{1},y_{0}+h_{2})h_{1}$$ por lo tanto $$\left|f(x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})\right|=\left|\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1},\xi_{2})h_{2}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{1},y_{0}+h_{2})h_{1}\right)\right|\leq $$ $$\left|\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+h_{1},\xi_{2})\right)\right||h_{2}|+\left|\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_{1},y_{0}+h_{2}\right)\right|)|h_{1}|\leq M(|h_{2}|+|h_{1}|)$$ si tenemos que $\displaystyle{|(h_{1},h_{2})|}<\delta$ entonces $$M(|h_{2}|+|h_{1}|)<2M\delta~\therefore~~~\epsilon=2M\delta\Rightarrow \delta=\frac{\epsilon}{2M}$$

Diferenciabilidad y Derivadas Direccionales

Teorema 3. Si $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función diferenciable en $x_{0}$ en la dirección del vector unitario u entonces
$$\frac{\partial f}{\partial u}(x_{0})=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial~f}{\partial x_{i}}\cdot u_{i}$$

Demostración. Sea $u\in\mathbb{R}^{n}$ tal que $u\neq0$ y $|u|=1$ como $f$ es diferenciable en $x_{0}$, se tiene que
$$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x_{0})h_{i}+r(h)$$satisface
$$\lim_{(h)\rightarrow 0}\frac{r(h)}{|(h)|}=0$$
tomando $h=tu$ se tiene $|h|=|tu|=|t||u|=|t|$\
se tiene entonces
$$f(x_{0}+t(u))-f(x_{0})=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x_{0})tu_{i}+r(tu)$$
tenemos entonces
$$\lim_{t\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+t(u))-f(x_{0})}{t}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x_{0})u_{i}+\cancel{\lim_{t\rightarrow0}r(tu)}$$
es decir
$$\frac{\partial f}{\partial u}(x_{0})=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x_{0})u_{i}$$ $\square$

Ejemplo. Halle la derivada direccional de $f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{3})$ en el punto $(1,-3)$ en la dirección $(2,-3)$

Solución. En este caso
$$u=(2,-3)~\Rightarrow~|u|=\sqrt{13}~\rightarrow~\frac{u}{|u|}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{-3}{\sqrt{13}}\right)$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,-3)=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}\left|_{(1,-3)}\right.=\frac{-2}{26}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(1,-3)=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}\left|_{(1,-3)}\right.=\frac{-27}{26}$$

por lo tanto
$$D_{\left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{-3}{\sqrt{13}}\right)}f\left(1,-3\right)=\left(\frac{-2}{26}\right)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)+\left(\frac{-27}{26}\right)\cdot \left(\frac{-3}{\sqrt{13}}\right)=\frac{77\sqrt{13}}{338}$$

El Gradiente

Sea $f:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable en $x_{0}\in A$. Entonces el vector cuyas componentes
son las derivadas parciales de f en $x_{0}$ se le denomina Vector Gradiente
$$\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{0}),\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x_{0}),…,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x_{0}),\right)$$
y se le denota por $\nabla f$.

En el caso particular $n=2$ se tiene
$$\nabla f(x_{0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}),\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0})\right)$$
En el caso particular $n=3$ se tiene
$$\nabla f(x_{0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}),\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}),\frac{\partial f}{\partial z}(x_{0})\right)$$

Ejemplo. Calcular $\nabla f$ para $f(x,y)=x^{2}y+y^{3}$
Solución. En este caso
$$\nabla f(x,y)=\left(2xy,x^{2}+3y^{2}\right)$$

Teorema 4. Si $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ en la dirección del vector unitario u entonces
$$\frac{\partial f}{\partial u}(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot u$$

Sea $u\in\mathbb{R}^{n}$ tal que $u\neq0$ y $|u|=1$ como $f$ es diferenciable en
$(x_{0},y_{0})$, se tiene que
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$

satisface
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$
tomando $h=tu$ se tiene $|h|=|(h_{1},h_{2})|=|tu|=|t||u|=|t|$

se tiene entonces
$$f((x_{0},y_{0})+t(u))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})tu_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})tu_{2}+r(tu_{1},ru_{2})$$
y también
$$\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=\frac{r(tu_{1},ru_{2})}{|tu|}=\frac{r(tu_{1},ru_{2})}{|t||u|}=\frac{r(tu_{1},ru_{2})}{|t|}$$
tenemos entonces
$$\lim_{t\rightarrow0}\frac{r(tu_{1},ru_{2})}{|t|}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f((x_{0},y_{0})+t(u))-f(x_{0},y_{0})}{|t|}-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})tu_{1}}{|t|}-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})tu_{2}}{|t|}$$
es decir
$$0=\frac{\partial f}{\partial u}(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})u_{1}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})u_{2}$$
y en consecuencia

$$\frac{\partial f}{\partial u}(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})u_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})u_{2}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0},\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}\right)\cdot\left(u_{1},u_{2}\right)=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot u$$ $\square$

Ejemplo. Halle la derivada direccional de $f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{3})$ en el punto $(1,-3)$ en la dirección $(2,-3)$

Solución. En este caso

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,-3)=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}\left|_{(1,-3)}\right.=\frac{-2}{26}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(1,-3)=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}\left|_{(1,-3)}\right.=\frac{-27}{26}$$

por lo tanto
$$\nabla f(1,-3)=\left(\frac{-2}{26},\frac{-27}{26}\right)\cdot \left(\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{-3}{\sqrt{13}}\right)=\frac{77}{26\sqrt{13}}=\frac{77\sqrt{13}}{338}$$

Dirección de Mayor Crecimiento de una Función

Teorema 5. Supongamos que $\nabla(f(x))\neq(0,0,0)$. Entonces $\nabla(f(x))$ apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido.

Demostración. Si v es un vector unitario, la razón de
cambio de f en la dirección v está dada por $\nabla(f(x))\cdot v$ y
$\nabla(f(x)) \cdot v$ = $|\nabla{f(x)}|~|v|\cos\Theta$ = $|\nabla{f(x)}|\cos\Theta$,
donde $\Theta$ es el ángulo entre $\nabla{f}$, $v$. Este es máximo cuando $\Theta~=~0$ y esto ocurre cuando $v$, $~\nabla{f}$ son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual $f$ va a crecer más rápidamente, debemos proceder en la dirección $\nabla{f(x)}$. En forma análoga, si queremos movernos en la dirección en la cual $f$ decrece más rápido, habremos de proceder
en la dirección $-\nabla{f}$.

Ejemplo. Encontrar la dirección de rapido crecimiento en $(1,1,1)$ para $\displaystyle{f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Solución. En este caso

$$\nabla f(1,1,1)=\left(\frac{\partial \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial x},\frac{\partial \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial y},\frac{\partial \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)}{\partial z}\right)\left|_{(1,1,1)}\right.=$$

$$\left(-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},-\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)\left|_{(1,1,1)}\right.=-\frac{1}{3\sqrt{3}}\left(1,1,1\right)$$
Podemos tomar

$$u=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$$
en este caso
$$u=\frac{-\frac{1}{3\sqrt{3}}\left(1,1,1\right)}{\frac{1}{3}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

Puntos Estacionarios

Definición. Sea $f:\Omega\subset \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciable, a los puntos $x\in \Omega$ tales que $\nabla f(x)=0$ se les llama puntos críticos (o punto estacionario) de la función.

Ejemplo. Sea $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ hallar los puntos críticos de $f$

Solución. Se tiene que $\nabla f(x)=(2x, 2y)$ $\hspace{0.5cm}$ $\nabla f(x)=0\Leftrightarrow(2x, 2y)=(0,0)\Leftrightarrow 2x=0$ y $2y=0\Leftrightarrow x=0$ y $y=0$ \hspace{0.5cm} $\therefore$ $(0,0)$ es el único punto crítico de $f$.

Ejemplo. Que condición se debe satisfacer para que la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx-ey+f$ tenga un punto crítico

$\nabla f=(2ax+2by+d, 2bx+2cy-e)$ entonces

$\nabla f=0\Leftrightarrow 2ax+2by+d=0$ y $2bx+2cy-e=0$

$\Rightarrow$ $ 2ax+2by=-d$ y $2bx+2cy=e$ se necesita que

$\Rightarrow$ $2a(2c)-(2b)^{2}\neq 0$ $\therefore$ $ac-b^{2}\neq 0$

Mas adelante

En la siguiente entrada veremos como la regla de la cadena representa una herramienta del cálculo que permite derivar funciones compuestas. Si una variable depende de otra, y esa a su vez depende de otra, la derivada de la función final se obtiene multiplicando las derivadas intermedias. También veremos cómo gracias a que el gradiente representa la dirección de máximo crecimiento nos ayuda a definir el plano tangente de una función en un punto dado.

Tarea Moral

1.- Sea la función $f:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$ con $f:xe^y$ calcula: $\nabla f=(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \frac{\partial{f}}{\partial{z}})$

2.- Sea $f(x,y)=x^2+y+3y^2$ calcula la derivada direccional en el punto $(2,-4)$ en la dirección $(3,2)$.

3.- Evalua el gradiente de $f(x,y,z)=log(x^2+y^2+z^2)$ en $(1,0,1)$

4.- Sean $f,g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ prueba que $\nabla(fg)=f \nabla g+ \nabla f g$

5.- Sea $f(x,y,z)=x^2e^{-yz}$ calcula la derivada direccional de $f$ en la dirección del vector unitario $v=(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3})$

Enlaces

El siguiente enlace contiene una calculadora en python que te va a permitir saber el valor de la derivada direccional de una función de dos dimensiones en un punto y una dirección en específico.

https://colab.research.google.com/drive/19EHSU3DyMZgHt2a2IZtO6vToMrCJVeHC?usp=sharing

Introducción

La derivada direccional en un punto es un concepto del cálculo multivariable que describe cómo cambia una función cuando se mueve desde un punto en una dirección específica.

Diferenciación de funciones $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$

Sea $f:A \subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y $\overline{a}=(a_{1},\ldots,a_{n}) \epsilon {A}$. Se define la derivada pacial $i$-esima en $\overline{a}$ denotada $f_{x}(\overline{a})$, $D_{x}f(\bar{a})$ ó $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{a})$ de la forma $f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots.a_{n})-f(\bar{a})}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+he_{i})-f(a)}{h}$ siendo
$\bar{e}_{i}=(0,\ldots,\underset{i-esimo}{1},\ldots,0)$. Si $n=2$ existen 2 derivadas parciales.

Sea $\bar{a}=(x_{0},y_{0})$ un punto del interior del dominio de $f:A \subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ las derivas parciales de $f$ en el punto $\bar{a}$ denotada respectivamente por $f_{x}(x_{0},y_{0})$, $f_{y}(x_{0},y_{0})$
son:

$$f_{x}(x_{0},y_{0})=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}$$

$$f_{y}(x_{0},y_{0})=\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})}{k}$$

Sea $f:I\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}y^{3}$

Calcular $f_{x},~f_{y}$

En este caso

$$f_{x}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{2}y^{3}-x^{2}y^{3}}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}2xy^{3}+hy^{3}=2xy^{3}$$
$$f_{y}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{2}(y+h)^{3}-x^{2}y^{3}}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}3x^{2}y^{2}+hy^{3}$$
$$=3x^{2}y^{2}$$

Ejemplo. Sea

Calculemos $f_{x}(0,0)$
$$f_{x}(0,0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{h(0)}{h^{2}}}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h^{3}}=0$$
$$f_{y}(0,0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{(0)h}{h^{2}}}{h}$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h^{3}}=0$$
En este caso $f_{x}=0=f_{y}$ sin embargo la función no es continua

Derivada Direccional en un punto

Sea $f:A\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ $x_{0}\in A$. Sea $u\in \mathbb{R}^{n}$ con $|u|=1$ la derivada direcional de $f$ en
la dirección del vector $u$, en el punto $x_{0}$ denotada por $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}}(x_{0})$, se define por
$$\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}}(x_{0})=\displaystyle\lim_{h \rightarrow
0}\frac{f(x_{0}+hu)-f(x_{0})}{h}$$

Ejemplo. Sea $f(x,y)=x^{2}y$ y sea $\displaystyle{u=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}$ por lo tanto la derivada direccional en $(x_{0},y_{0})$ es:
$$\lim_{h \rightarrow0}\frac{f\left((x_{0},y_{0})+h\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right)-f(x_{0},y_{0})}{h}=\lim_{h \rightarrow0}\frac{\left(x_{0}+\frac{h}{\sqrt{5}}\right)^{2}\left(y_{0}+\frac{2h}{\sqrt{5}}\right)-x_{0}^{2}y_{0}}{h}=$$
$$\lim_{h \rightarrow0}\frac{\left(x_{0}^{2}+\frac{2x_{0}h}{\sqrt{5}}+\frac{h^{2}}{5}\right)\left(y_{0}+\frac{2h}{\sqrt{5}}\right)-x_{0}^{2}y_{0}}{h}=\frac{2x_{0}^{2}}{\sqrt{5}}+\frac{2x_{0}y_{0}}{\sqrt{5}}$$

Notas: 1) La derivada direccional indica la variación de la función en la dirección de $\bar{u}$.
2)Las derivadas parciales son derivadas direccionales respecto a los vectores de la base canonica.

Diferenciabilidad

$\textbf{Idea Geometrica}$

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$
si $x=x_{0}$
$y=f(x_{0})$
si $x=x_{0}+h$
$y=f'(x_{0})h$
$\therefore$ \qquad $r(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h \qquad$ (Diferencial)
donde
$$\frac{r(h)}{h}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}-f'(x_{0})$$
Debería ocurrir
$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(h)}{h}=0$$

Definición. Sea $A\subset\mathbb{R}^{2}$, un abierto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $(x_{0},y_{0})\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ si existen constantes $A_{1},~~A_{2}$ tal que
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+A_{1}h_{1}+A_{2}h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$

En la definición anterior si se toma $h=(h_{1},0)$ se tiene
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},0))=f(x_{0},y_{0})+A_{1}h_{1}+A_{2}(0)+r(h_{1},0)$$donde
$$\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h_{1},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h_{1}}-A_{1}=\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{r(h_{1},0)}{h_{1}}$$
como

$$\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{r(h_{1},0)}{h_{1}}=0$$se tiene
$$\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h_{1},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h_{1}}-A_{1}=0$$
en consecuencia

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h_{1},y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h_{1}}=A_{1}$$
En la definición anterior si se toma $h=(0,h_{2})$ se tiene
$$f((x_{0},y_{0})+(0,h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+A_{1}(0)+A_{2}h_{2}+r(0,h_{2})$$donde
$$\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})}{h_{2}}-A_{2}=\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{r(0,h_{2})}{h_{2}}$$
como
$$\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{r(0,h_{2})}{h_{2}}=0$$se tiene
$$\lim_{h_{0}\rightarrow0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})}{h_{2}}-A_{2}=0$$
en consecuencia

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h_{2})-f(x_{0},y_{0})}{h_{2}}=A_{2}$$

Definición. Sea $A\subset\mathbb{R}^{2}$, un abierto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ y $(x_{0},y_{0})\in A$. Se dice que f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$ si existen las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}),~~\frac{\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ tal que
$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$

Más adelante

Veremos los resultados que caracterizan la derivabilidad de funciones reales en un punto.

Tarea Moral

1.- Si $f(x,y)=x^2y+y^3$, hallar $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$ y $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$

2.-Si $z=cosxy+xcosy=f(x,y)$ hallar las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}}(x_{0}, y_{0})$, $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial y}}(x_{0}, y_{0})$

3.- Evaluar las derivadas parciales $\displaystyle{\dfrac{\partial z }{\partial x}}$, $\displaystyle{\dfrac{\partial z}{\partial y}}$ para las funciones dadas en los puntos indicados.

a) $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$, $(0,0)$, $(a/2,a/2)$

b) $z=log\sqrt{1+xy}$, $(1,2)$, $(0,0)$

4.-Hallar las derivadas parciales $\dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y}$

$z=e^{\alpha x}cos(bx+y); (2\pi/b,0)$

5.-Hallar $\dfrac{\partial f}{\partial x}$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}$

$f(x,y)=(x^2+y^2)log(x^2+y^2)$

Enlaces

La siguiente liga muestra un interactivo en geogebra que nos permite ver lo siguiente para la función $f(x,y)=x^2+y^2$, recuerda que puedes modificarla para insertar la función de tu elección.

Define una superficie $z=f(x,y)$.

Un punto $P$ que se encuentra en la gráfica de la función.

​ Un vector dirección u.

El plano vertical en esa dirección.

La curva de intersección.

La recta tangente.

https://www.geogebra.org/3d/jvrmntyu

Introducción

Análogamente al cálculo univariable, una función $f(x,y)$ es continua en un punto $(a,b)$ si se cumplen las siguientes condiciones: la función está definida en $(a,b)$, es decir $f(a,b)$ existe, el límite existe y además coincide con el valor de la función, sin embargo, en varias variables hay varias maneras de acercarse a un punto, por ejemplo: a lo largo del eje $x$, (manteniendo $y$ fijo); a lo largo del eje $y$, (manteniendo $x$ fijo), a lo largo de líneas diagonales; curvas o incluso camimnos extraños. Si el límite cambia dependiendo de la dirección de aproximación, la función no es continua en ese punto.

Proposición 1 Sea $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$$
Entonces para una función real y continua $g$ definida en un entorno da $a$ tal que $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ se tiene que $$\lim_{x\rightarrow a}f(x,g(x))=L$$

Demostración. Por la existencia del límite doble, dado $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$, tal que $$|(x,y)-(a,b)|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon.$$ Ahora $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=b$$ quiere decir que dado $\delta>0$ existe $\sigma>0$, con $0<\sigma<\delta$ tal que: $$|x-a|<\sigma \Rightarrow |g(x)-b|<\delta.$$ Por
tanto, si $|x-a|<\sigma$, se tiene que $|(x,g(x))-(a,b)|<\delta.$ Con lo cual, $$|f(x,g(x))-L|<\epsilon$$ $\square$

Ejemplo: Determinar si existe, el límite de la función definida por

$f(x,y)= \left\{\begin{array}{lcc} \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\neq (0,0)\\ \\0&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$

Para determinar su límite podemos acercarnos por trayectorias (funciones continuas) al origen.

Pongamos $y=g(x)=0$ se tiene entonces que

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,g(x))=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}0}{x^{2}+0^{2}}=0$$
Pongamos ahora $y=g(x)=x$ se tiene entonces que
$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,g(x))=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}f(x,x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}x}{x^{2}+x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{2x^{2}}=0$$
Lo anterior nos dice que si existe el límite, éste tendría que ser 0, para comprobarlo usaremos la definición, se tiene entonces que debemos hallar un $\delta>0$ tal que
$\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|<\epsilon$ siempre que $|(x,y)-(0,0)|<\delta$. Observamos que
$$\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{|x^{2}||y|}{|x^{2}+y^{2}|}=\frac{|x|^{2}|y|}{|x^{2}+y^{2}|}\leq
\frac{|\overline{x}|^{2}|\overline{x}|}{|\overline{x}|^{2}}=|\overline{x}|<\delta.$$
$\therefore$ podemos tomar $\delta=\epsilon$

Ejemplo: Determinar si existe, el límite de la función definida por

Para determinar su límite podemos acercarnos por trayectorias (funciones continuas) al origen.

Pongamos $y=g(x)=x$ se tiene entonces que

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,g(x))=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}f(x,x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2}$$

Pongamos $y=g(x)=0$ se tiene entonces que

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,g(x))=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0)}f(x,0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x (0)}{x^{2}+0^{2}}=0$$

como $\frac{1}{2}\neq 0$ entonces $\cancel{\exists}$ el límite de la función.

Continuidad de Funciones de $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$

Definición 1. Sea $f:\Omega\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, y sea $x_{0}$ un punto de acumulación de $\Omega$.Se dice que $f(x_{0})\in\mathbb{R}$ es el límite de $f$ en $x_{0}$, y se denota por: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$$ Si dado $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ cuando $x \in \Omega$, $0<|x-x_{0}|<\delta$

Ejemplo: Demostrar la continuidad en $\mathbb{R}^2$ de la función $f(x,y)=xy$.

p.d. Dado $\epsilon>0$ $\exists$ $\delta>0$ tal que $|xy-ab|\leq \epsilon$ siempre que $0<|x-a|<\delta_1$ y $0<|y-b|\leq \delta_2$ tenemos que:

$|xy-ab|
=|xy-xb+xb-ab|
\leq |x(y-b)|+|b(x-a)|
\leq \left(|x-a|+|a|\right)|y-b|+|b||x-a|\leq \left(\delta+|a|\right)\delta+|b|\delta
=\delta\underset{\underset {\text{Esta la podemos acotar}}{\searrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
}}{\left(\left(\delta+|a|\right)+|b|\right)}$

Si $\delta=1$ tenemos que $\delta(1+|a|+|b|)$ y asi tomamos

$$\delta=mín \left\{ 1 , \frac{\epsilon}{1+|a|+|b|}\right\}$$

Diferenciación de funciones $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$

Sea $f:A \subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ y $\overline{a}=(a_{1},\ldots,a_{n})\epsilon$ $A$. Se define la derivada pacial $i$-esima en $\overline{a}$ denotada $f_{x}(\overline{a})$, $D_{x}f(\bar{a})$ ó $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{a})$ de la forma $$f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots.a_{n})-f(\bar{a})}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+he_{i})-f(a)}{h}$$ siendo $\bar{e}_{i}=(0,\ldots,\underset{i-esimo}{1},\ldots,0)$.

Si $n=2$ existen 2 derivadas parciales.

Sea $\bar{a}=(x_{0},y_{0})$ un punto del interior del dominio de $f:A \subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ las derivas parciales de $f$ en el punto $\bar{a}$ denotada respectivamente por $f_{x}(x_{0},y_{0})$, $f_{y}(x_{0},y_{0})$
son:

$$f_{x}(x_{0},y_{0})=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}$$
$$f_{y}(x_{0},y_{0})=\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})}{k}$$

Ejemplo. Si $f(x,y)=x^{2}+x+1$ entonces
$f_{x}(0,0)=1$ ya que $f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=
\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^{2}+h+1-1}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(h+1)}{h}=
\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}h+1 = 1$ y $f_{y}=\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=
\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0}\frac{1-1}{k}=0$

Ejemplo. Si $f(x,y)=x^{2}+x+1$ entonces $f_{x}(0,0)=1$ ya que

$f_{x}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=
\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h^{2}+h+1-1}{h}=\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(h+1)}{h}= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}h+1 = 1$ y $f_{y}=\displaystyle\lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}= \displaystyle\lim_{k \rightarrow 0}\frac{1-1}{k}=0$

Observación: La derivada parcial en un punto de una función de varias variables en la derivada de la función de una variable, obtenida haciendo constante todas las variables, menos una. en consecuencia se pueden aplicar con esta interpretación, las reglas de derivación en una variable.

Las derivadas parciales en el punto $(x_{0},y_{0})$ de la función $z=f(x,y)$ representa la pendiente de las curvas intersección $C_{1}$ y $C_{2}$ de la superficie $z=f(x,y)$ con los planos $y=y_{0}$, $x=x_{0}$ respectivamente

Ejemplo. Calcular las derivadas parciales

$a)$ $f(x,y)=a\arcsin(x-y)$

$b)$ $f(t,u)=\displaystyle\frac{\cos(2tu)}{t^{2}+u^{2}}$

$c)$ $f(x,y,z)=\displaystyle\frac{xyz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

$d)$ $f(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{xy}}e^{-t^{2}}dt \qquad x>0, \, y>0$

Solución.

$a)$ $f_{x}=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}}+ \arcsin(x-y)$

$f_{y}=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}}$

$b)$ $f_{t}=\displaystyle\frac{-(t^{2}+u^{2})\sin(2tu)\cdot2u-\cos(2tu)2t}{(t^{2}+u^{2})^{2}}$

$f_{u}=\displaystyle\frac{(t^{2}+u^{2})-\sin(2tu)2u-\cos(2tu)2u}{(t^{2}+u^{2})^{2}}$

$c)$ $f_{x}=\displaystyle\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})yz-xyz(2x)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}$

$f_{y}=\displaystyle\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})xz-xyz(2y)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}$

$f_{z}=\displaystyle\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})xy-xyz(2z)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}$

$d)$ $f_{x}=\displaystyle e^{-xy}\frac{y}{2\sqrt{xy}}$

$f_{y}=\displaystyle e^{-xy}\frac{x}{2\sqrt{xy}}$

Más adelante

En la siguiente entrada definiremos la derivada direccional en un punto y notaremos como es similar a la derivada ordinaria a una dimensión evaluando un límite de un cociente que va incrementando en una direccion.

Tarea Moral

1.- Sea $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $(x,y) \rightarrow x^2 + y^2 + 5$, calcula el límite $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)}f(x,y)$

2.- Muestra que $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $(x,y) \rightarrow (x^2y,(y+x^3)/(1+x^2))$

3.- Considera la función $f(x,y)=\dfrac{sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ aunque $f$ no esté definida en $(0,0)$ determina si la función tiende a algún número cuando $(x,y)$ tiende a $(0,0)$

4.-Muestra que $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ es continua en todos los puntos si y sólo si la imagen inversa de todo abierto es abierta.

5.- Calcula las siguientes derivadas parciales :

$f(x,y)= e^{xy}log(x^2+y^2)$

$f(x,y)=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$

Enlaces

En la siguiente entrada observaremos gráficamente el ejemplo anterior de la función dada por:

Podrás observar cómo es que al acercarnos con dos trayectorias distintas definidass por $(t,t)$ y $(t,-t)$ el valor de la función cerca del cero corresponde a

$g_1(t)= \dfrac{1}{2}$

$g_2(t)= \dfrac{-1}{2}$

Aunque ambos puntos se acercan al origen, en altura llegan a valores distintos y esto invalida la existencia del límite.

https://www.geogebra.org/3d/yhekrghk