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Teoría de los Conjuntos I: Axiomas débiles

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

A continuación hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Veremos que a partir de dichos axiomas y el esquema de comprensión, podemos deducir a los axiomas de existencia, del par, de unión y de conjunto potencia. Esto resulta ser de interés pues en los sistemas axiomáticos a veces tiene ventajas considerar los axiomas más debiles que siguen dando una teoría equivalente.

Axiomas débiles

Veamos qué nos dicen los axiomas débiles de la teoría de conjuntos:

  • Axioma débil de existencia. Existe un conjunto.
  • Axioma débil del par. Para cualesquiera $a,b$ existe un conjunto $c$ tal que $a\in c$ y $b\in c$.
  • Axioma débil de unión. Para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ tal que si $x\in a$ y $a\in s$, entonces $x\in U$.
  • Axioma débil del conjunto potencia. Para cualquier conjunto $a$ existe un conjunto $p$ tal que si $x\subseteq a$ entonces $x\in p$.

Diferencias entre axiomas débiles y los axiomas

El axioma débil de existencia nos asegura que existe al menos un conjunto, sin embargo, no necesariamente será el conjunto vacío.

Por su parte, para $a$ y $b$ conjuntos el axioma débil del par nos otorga un conjunto cuyos elementos serán $a$ y $b$, pero no necesariamente serán sus únicos elementos como en el caso del axioma del par.

Ejemplo.
Sean $a$ y $b$ conjuntos distintos y no vacíos. El axioma débil del par podría garantizarnos la existencia de, digamos, $c=\set{a, b, \emptyset}$. Tenemos que en efecto $a\in c$ y $b\in c$, sin embargo, $\emptyset\in c$. Por lo que, el conjunto que nos otorga el axioma débil del par no necesariamente resultar ser un par no ordenado que tiene exactamente a $a$ y $b$.

$\square$

El axioma débil de unión nos asegura que para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ cuyos elementos serán los elementos de los elementos de $s$, sin embargo, $U$ puede tener elementos $x$ que no cumplan que $x\in a$ y $a\in s$.

Ejemplo.

Si $s=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, el axioma débil del par podría garantizarnos la existencia de, digamos, $U=\set{\emptyset, b}$ con $b\not=\emptyset$. Pero esto no es lo mismo que la unión como la platicamos. Por un lado, $\emptyset\in \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\in s$, lo cual coincide con lo que hemos platicado, pero también $b\in s$, que podría darnos un elemento adicional que no teníamos.

$\square$

Finalmente, para el axioma débil del conjunto potencia pasa algo parecido. Si $a$ es un conjunto, el axioma nos otorga un conjunto $p$ cuyos elementos son aquellos que están contenidos en $a$, pero no necesariamente serán los únicos elementos del conjunto $p$.

Ejemplo.

Sea $a=\set{\emptyset}$. Quizás el conjunto garantizado por el axioma débil del conjunto potencia es $p=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Notemos que $\emptyset\subseteq a=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq a=\set{\emptyset}$. Sin embargo, $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq a$ pues $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin \set{\emptyset}$.

$\square$

Axioma débil de existencia y esquema de comprensión implican axioma de existencia.

Demostración.

Sea $A$ el conjunto que existe por axioma débil de existencia. Luego, por el esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in A: x\not=x}$

es conjunto.

Veamos que $\set{x\in A: x\not=x}$ no tiene elementos. Supongamos por contradicción que $\set{x\in A:x\not=x}$ tiene al menos un elemento, denotado como $y$. Entonces $y\in A$ y $y\not=y$, lo que es un absurdo pues para cualquier conjunto $z$, $z=z$. Así, $\set{x\in A:x\not=x}$ no tiene elementos, es decir, es el conjunto vacío.

$\square$

Axioma débil del par y esquema de comprensión implican axioma del par.

Demostración.

Sean $a$ y $b$ conjuntos. Sea $c$ el conjunto que existe por axioma débil del par. Luego, por el esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in c: x=a\vee x=b}$

es conjunto. Resulta que los únicos elementos de $\set{x\in c:x=a\vee x=b}$ son $a$ y $b$, pues si $z\in \set{x\in c:x=a\vee x=b}$, $z$ es tal que $z\in c$ y $z=a$ o $z=b$.

Observa que al añadir la propiedad de que $x=a$ o $x=b$, eliminamos todos aquellos conjuntos en $c$ que no son $a$ y no son $b$, de esta forma a partir del axioma débil del par obtenemos al conjunto que solo tiene a $a$ y $b$.

$\square$

Axioma débil de unión y esquema de comprensión implican axioma de unión.

Demostración.

Sea $a$ un conjunto y sea $d$ el conjunto que nos otorga el axioma débil de unión.

Luego, por el esquema de comprensión tenemos que

$U=\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$

es conjunto.

Observemos que los elementos de $\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$ coinciden con los elementos del conjunto que nos otorga el axioma de unión. Para ello, debemos verificar que se cumple lo siguiente: $x\in U$ si y sólo si existe $y\in a$ tal que $x\in y$. Así pues, si $x\in U$, entonces, $x\in d$ y existe $y\in a$ tal que $x\in y$ y, en consecuencia, podemos concluir que si $x\in U$, existe $y\in a$ tal que $x\in y$. Ahora bien, si tenemos un conjunto $x$ tal que existe $y\in a$ tal que $x\in y$, entonces, $x\in d$ por la propiedad que tiene el conjunto $d$ otorgado por el axioma débil de unión. De esta manera, $x\in U$, ya que $x\in d$ y existe $y\in a$ con $x\in y$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a poner en práctica lo que hemos visto en esta sección pues ahora tú tendrás que dar algunos ejemplos distintos a los de esta entrada que nos permitan diferenciar a los axiomas débiles de los axiomas que conocemos de la teoría de los conjuntos:

  • Demuestra que se puede inferir el axioma del conjunto potencia del axioma débil del conjunto potencia y el esquema de comprensión.
  • Da otros ejemplos que muestren la diferencia entre el axioma débil del par y el axioma del par.
  • Da otros ejemplos que muestren la diferencia entre el axioma débil de unión y el axioma de unión.
  • Da otros ejemplos que muestren la diferencia entre el axioma débil del conjunto potencia y el axioma del conjunto potencia.

Más adelante…

En este momento hemos sentado las bases para nuestro curso de teoría de conjuntos. En la siguiente entrada comenzaremos a hablar acerca del complemento de un conjunto. Este nuevo conjunto también se tratará de una operación entre conjuntos. Sus resultados como las leyes de De Morgan, nos serán de gran utilidad para hacer álgebra de conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: El axioma de buena fundación

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá decir cuándo un conjunto está bien fundado, es decir, bien construido. Además daremos otro argumento para probar que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

Acerca del axioma

Axioma de buena fundación. Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\emptyset$.

En los siguiente ejemplos no será necesario invocar al axioma de buena fundación pues tendremos a todos sus elementos escritos de manera explícita. Sin embargo, ayudarán a entender qué es lo que el axioma de buena fundación siempre garantiza que existe.

Ejemplos.

  • Sea $A=\set{\emptyset}$, el único elemento que tiene $A$ es $\emptyset$ y en efecto, $A\cap \emptyset=\emptyset$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in \emptyset$.
  • Consideremos al conjunto $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$. Dado que $B$ es un conjunto pequeño podemos explorar qué ocurre con cada uno de sus elementos:
    – Para $\emptyset\in B$ tenemos que $\emptyset\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\emptyset$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset}\in B$ ocurre que $\set{\emptyset}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\emptyset}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    – Si consideramos $\set{\set{\emptyset}}\in B$ ocurre que $\set{\set{\emptyset}}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\set{\emptyset}}$ tampoco funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común. Por el análisis de casos, este $u$ es único.
  • Tomemos $C=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
    – Para $\set{\emptyset}\in C$ tenemos que $\set{\emptyset}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}=\emptyset$ pues $\emptyset\in\set{\emptyset}$ pero $\emptyset\notin \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in C$ ocurre que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in C$ tal que $u$ y $C$ no tienen elementos en común. Una vez más, este elemento es único.

$\square$

Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para decir qué conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema. Para cualquier conjunto $x$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto puede pertenecer a sí mismo.

Demostración.
Supongamos que sí existe un conjunto $x$ tal que $x\in x$. Luego, $\set{x}$ es un conjunto por el axioma de par y es tal que $x\in \set{x}$.
De lo anterior, tenemos que $x\cap \set{x}\not=\emptyset$ pues $x\in x\cap\set{x}$. Esto último contradice al axioma de buena fundación. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x$ tal que $x\in x$, resulta que no existe un conjunto que haga tal cosa.

$\square$

Teorema. Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración.
Supongamos que sí existe algún ciclo de la forma $a\in b\in a$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\set{a,b}$. Dado que $\set{a,b}$ es un conjunto pequeño podemos analizar qué pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in\set{a,b}$ tenemos que $a\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $b\in a$ y $b\in \set{a,b}$,
– Si tomamos a $b\in\set{a,b}$ tenemos que $b\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $a\in b$ y $a\in \set{a,b}$.

Sin embargo, en todas las posibilidades obtenemos una contradicción al axioma de buena fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

$\square$

Diferencias entre la pertencia y contención

Vistos estos teoremas, nos tomaremos el tiempo para establecer las diferencias que hay entre la contención y la pertenencia.

Por un lado, $a\subseteq a$ siempre ocurre para cualquier conjunto $a$, mientras que $a\in a$ ya vimos que es imposible.

Vimos que la contención es transitiva (ver Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia), es decir, si $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$, entonces $a\subseteq c$. Resulta que si $a\in b$ y $b\in c$, entonces $a\in c$ no siempre ocurre, es decir, la pertenencia no es transitiva.

Ejemplo.

Consideremos $a=\set{\emptyset}$, $b= \set{\set{\emptyset}}$ y $c=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $a\in b$ y $b\in c$, sin embargo, $a\notin c$.

$\square$

La colección de todos los conjuntos

Anteriormente, probamos con ayuda de la paradoja de Rusell que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto. En esta sección, reforzaremos esta afirmación utilizando el axioma de buena fundación para demostrar una vez más que está colección no es un conjunto.

Proposición. Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración.

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$, lo cual contradice el primer teorema de la sección anterior. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

$\square$

Teorema. La colección de todos los conjuntos no es conjunto.

Demostración.

Supongamos que existe un conjunto $V$ tal que para todo conjunto $x$, $x\in V$. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto. Veamos que $\mathcal{P}(V)\subseteq V$. Si $x\in\mathcal{P}(V)$, entonces, por definición del conjunto potencia, $x$ es un conjunto tal que $x\subseteq V$. En particular, $x$ es un conjunto y, por tanto, $x\in V$. Lo anterior muestra que $\mathcal{P}(V)\subseteq V$, lo cual contradice la proposición anterior.

Por lo tanto, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

$\square$

La intersección del conjunto vacío

Si bien la definición de la intersección de un conjunto se hizo únicamente para conjuntos no vacíos, ocurre un hecho interesante sí aplicamos esta definición al conjunto vacío. Al contrario de un conjunto no vacío, la intersección del conjunto vacío no es un conjunto y en realidad describe a la colección de todos los conjuntos. Dejamos plasmado esto en la siguiente afirmación.

Afirmación. $\bigcap \emptyset$ no es un conjunto.1

Demostración.

Recordemos que $x\in \bigcap\emptyset$ si y sólo si para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$, $x\in y$. Sea $x$ un conjunto. Luego, por vacuidad, para todo $y\in\emptyset$ se cumple $x\in y$. Consecuentemente, $x\in\bigcap\emptyset$. De acuerdo al último teorema que probamos en esta entrada podemos concluir que $\bigcap\emptyset$ no es un conjunto.

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que para $A_0,A_1, A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in\cdots\in A_n\in A_0$ no existe (Estrictamente hablando, esta demostración requerirá que formalicemos estos «puntos suspensivos». De cualquier forma, intenta dar una demostración inductiva con lo que sabes de este tipo de demostraciones.)
  • Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\emptyset$.
  • Sea $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$.
  • Da otro ejemplo de una propiedad que describa a la clase de todos los conjuntos.
  • Prueba que para cualquier conjunto $X$, se tiene que $X\cap \emptyset=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Asimismo veremos cómo dichos axiomas junto con el esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puedes encontrar una justificación similar de este hecho en: Gómez L. C, Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos (cardinales y ordinales). Las prensas de ciencias, 2011, p. 4. ↩︎

Cálculo Diferencial e Integral II: Introducción a funciones de varias variables

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

Con esta sección acabamos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II, por lo que daremos una breve introducción a funciones de varias variables ya que su siguiente curso de Cálculo Diferencial e Integral III se enfoca en varias variables. Comencemos definiendo una función en varias variables.

Funciones en varias variables

Definición: Una función $f:D\subset \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}$ es que a cada punto $X \space \epsilon \space D$ le corresponde un único punto $Y \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ lo cual se denota como $Y=f(X)$ y que llamaremos la imagen del punto $X$ mediante la función $f$.

Observemos que a $X$ se define como:

$$X=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …., x_{n})$$

y la función $f$:

$$f(X)=(f_{1}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), …., f_{m}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}))$$

Donde cada $f_{i}$ con $i=1,….,m$ es la componente i-esima de la función $f$, asi:

$$f=(f_{1},…., f_{m})$$

Ejemplos

  • Sea $f:D\subset \mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{2}$ definida como:

$$f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \frac{\sin(xy)}{x-y})$$

Donde $D={(x,y,z) \space\epsilon \space \mathbb{R}^{3}}$ con $\space x \neq y$. Las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\space \space \space \space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=\frac{\sin(xy)}{x-y}$$

  • Sea $f:\mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{3}$ definida como $f(x,y,z)=(x^{2}, y^{2}, x^{2}-z^{2})$ por lo que las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}\space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=y^{2} \space \space \space \space f_{3}(x,y,z)=x^{2}-z^{2}$$

El conjunto $\mathbb{R}^{n}$ tiene estructura de espacio vectorial si definimos las operaciones de suma y producto por escalares como sigue:

  • Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, Y=(y_{1}, ….., y_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$X+Y=(x_{1}, …., x_{n})+(y_{1}, …., y_{n})=(x_{1}+y_{1}, …., x_{n}+y_{n})$$.

  • Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, \lambda \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$\lambda X=\lambda (x_{1}, …., x_{n})=(\lambda x_{1}, …., \lambda x_{n})$$.

Por eso mismo, a $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ se les denomina vectores.

Definición:

Si $m=1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$ es una función real o campo escalar de n-variables.

Si $m>1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$ es una función vectorial o un campo vectorial de n-variables y m-componentes.

Veamos la definición de una grafica en varias variables.

Definición: Sea $f: D \subset \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$. Se define la gráfica de la función $f$ como:

$$Gr(f)={(x_{1}, …., x_{n},y) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n+1}: (x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space D, y=f(x_{1}, …., x_{n}) }$$

Cuando $n=1$ la representación de $f$ nos proporciona una curva en $\mathbb{R}^{2}$, en el caso cuando $n=2$ nos proporciona una superficie en $\mathbb{R}^{3}$.

Curvas de nivel

En general, para una función de dos variables no es facil graficarla por lo que tenemos que recurrir a otras tecnicas para graficar estas funciones, una tecnica se le conoce como curvas de nivel el cual consiste en que la función se igual a una constante.

$$f(x,y)=k$$

Donde $k$ es una constante.

Gráficamente lo que se esta haciendo es que a la grafica de la función $f(x,y)$ la estamos cortando en «rebanadas» para cada valor de $k$ distinta por lo que veremos para cada corte, una parte de la grafica de la función $f(x,y)$.

Veamos el siguiente ejemplo.

Figura 1: Función $f(x,y)$ cortada por dos planos.

De la figura $(1)$ tenemos la función de dos variables $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ que es el cono azul de la figura $1$, si le hacemos unos cortes por dos planos con valores $k=2$ y $k=4$ obtendremos que las curvas de nivel (viéndolos desde la perspectiva de arriba) se notan como circunferencias como se muestran en la figura $(2)$.

Figura 2: Curvas de nivel para los valores $k=2$ y $k=4$ a la función $f(x,y)$.

Análogamente a este método de graficar funciones de dos variables, para tres variables se puede hacer lo mismo el cual se le conoce como el método de curvas de superficies.

Otro concepto importante para esta introducción a varias variables es la topología, lo que es usual en una variable el concepto de una función dentro de un intervalo abierto, cerrado, propio o impropio, se extiende estos concepto para funciones de varias variables. Como esta sección es una pequeña introducción a funciones de varias variables no se verán estos conceptos pero si se recomienda tener un poco de noción de estos conceptos de topología.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionado con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra el dominio y el rango de la función $f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$
  2. Sea la función $f(x,y)=x^{2}+3y^{2}$, hallas las curva de nivel con $k=1,2 \space y \space 3$
  3. Obtén la grafica de la función $z=x^{2}-y^{2}$
  4. Hallar las superficies de nivel de la función $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ con $k=0$ y $k=-1$

Más adelante…

En esta entrada vimos una introducción a las funciones de varias variables como paso para estudiar estas funciones de varias variables con mas detenimiento en el curso de Cálculo Diferencial e Integral III, así como se estudio las funciones de una variable.

Con esta entrada concluimos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Entradas relacionadas

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios distintos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior dimos las definiciones elementales y necesarias para diagonalizar una matriz de coeficientes constantes. Vimos los conceptos de valores y vectores propios y el polinomio característico, todo esto para poder encontrar la matriz $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. Sabemos que $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, por lo que sus columnas son soluciones linealmente independientes a dicho sistema. Así, de paso encontramos la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora vamos a olvidarnos un poco de $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, y vamos a resolver $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ pero de una manera ligeramente distinta. Lo que haremos será suponer que una solución a tal sistema es de la forma $\textbf{X}(t)=e^{\lambda t}\textbf{v}$ para cierto vector constante $\textbf{v}$. Resultará que $\textbf{X}(t)$ será solución al sistema si y sólo si $\textbf{A}\textbf{v}=\lambda\textbf{v}$. Es decir, si y sólo si $\textbf{v}$ es un vector propio de la matriz $\textbf{A}$ del sistema, y $\lambda$ es el valor propio asociado a $\textbf{v}$.

El método de valores y vectores propios que desarrollamos para diagonalizar una matriz en la entrada anterior, nos servirá de la misma manera para hallar la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, al menos si $\textbf{A}$ es diagonalizable, pues ya sabemos cómo encontrar los valores y vectores propios de $\textbf{A}$, y al tener $n$ valores propios con sus respectivos vectores propios, entonces seremos capaces de encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y formas la solución general a este.

Una vez establecido cómo debe verse la solución general al sistema, finalizaremos la entrada resolviendo un par de ejemplos de sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico igualado a cero son todas reales y distintas.

La solución general al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes

Hallamos la solución general al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, suponiendo que $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable.

Método de valores y vectores propios. Raíces reales distintas del polinomio característico

Mediante un par de ejemplos revisamos el caso cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico son todas reales y distintas. Además en el segundo ejemplo, verificamos que $$\textbf{e}^{t\textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}_f^{-1}{0}$$ donde $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema. La matriz del segundo ejemplo fue diagonalizada en el siguiente video de la entrada anterior, y calculamos $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. (Compara los resultados obtenidos).

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas y problemas de condición inicial. Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ en cada caso:

  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 4 & -2\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 3 & 2\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 10\end{pmatrix}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4\\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.

Más adelante

Una vez que hemos logrado escribir la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable, continuaremos revisando los posibles casos que se presentan con las raíces del polinomio característico. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando se presentan raíces complejas, es decir, cuando aparecen valores propios complejos de la matriz $\textbf{A}$.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de eliminación de variables

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior revisamos las principales propiedades que satisface el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}.$$ En particular vimos que el conjunto de soluciones al sistema homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices. Gracias a esta propiedad logramos encontrar la solución general a dichos sistemas, tanto homogéneos como no homogéneos.

Con esto en mente, podemos comenzar a resolver algunos sistemas lineales. Los más sencillos son los sistemas con coeficientes constantes, es decir, sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es una matriz conformada por constantes. En esta entrada revisaremos el método más sencillo disponible para resolver dichos sistemas, que será el de eliminación de variables.

El método de eliminación de variables consiste, como su nombre lo indica, en tratar de eliminar las variables dependientes $x_{i}(t)$ hasta quedarnos únicamente con una de ellas dentro de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes. Para eliminar las variables utilizaremos la linealidad del sistema, por lo que podremos realizar operaciones elementales entre las ecuaciones del sistema, es decir, podremos sumar ecuaciones y multiplicar por escalares.

Una vez que llegamos a la ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes, debemos resolverla para encontrar la función $x_{i}(t)$ con la que nos quedamos. Con esta función conocida, podremos ir encontrando las demás funciones que resuelven el problema. Además, como $x_{i}(t)$ es solución general a la ecuación diferencial de orden superior, entonces todas las soluciones involucrarán constantes arbitrarias $c_{1}, c_{2},…,c_{n}$. Por lo tanto, $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ \vdots \notag \\ x_{n}(t) \end{pmatrix}$$ será la solución general al sistema.

Antes de comenzar debemos advertir que, dado que el método depende de la resolución de una ecuación diferencial de orden superior, no es conveniente utilizarlo para resolver sistemas de más de tres ecuaciones diferenciales.

Método de eliminación de variables

En el primer video resolvemos de forma general el sistema lineal de dos ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes por el método de eliminación de variables. Luego, en el segundo video utilizamos el método desarrollado en el primer video para resolver un par de ejemplos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 7x+3y \\ \dot{y} &= 2x-y \end{alignedat}$
  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= x-5y \\ \dot{y} &= y \end{alignedat}$

Resuelve los siguientes problemas de condición inicial:

  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 2x+10y \\ \dot{y} &= -x-y \end{alignedat} \, \, \, \, ; \, \, \, \, \begin{alignedat}{4} x(0) &= 0 \\ y(0) &= 1 \end{alignedat}.$
  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 3x-4y+e^{t} \\ \dot{y} &= x-y-e^{t} \end{alignedat} \, \, \, \, ; \, \, \, \, \begin{alignedat}{4} x(0) &= 1 \\ y(0) &= -1 \end{alignedat}.$

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones:

  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 2x+y+z \\ \dot{y} &= x-y-z \\ \dot{z} &= 3x+y-2z \end{alignedat}$

Recuerda que aunque no resolvimos ecuaciones diferenciales de tercer orden, los métodos que desarrollamos para ecuaciones de segundo orden se pueden extender a ecuaciones de orden superior.

Más adelante

Ya hemos resuelto algunos sistemas lineales con coeficientes constantes, aunque su solución dependió de nuestros conocimientos acerca de las ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes. Necesitamos nuevas herramientas para poder resolver los mismos sistemas sin tener que resolver una ecuación de orden superior.

En la próxima entrada hablaremos de la exponencial de una matriz, veremos cómo definir este nuevo término y por supuesto estudiaremos sus principales propiedades. La exponencial de una matriz estará fuertemente relacionada con la forma como resolveremos más adelante los sistemas lineales con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima entrada!

Notas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»