Introducción

Recordemos que la derivada de una función $f$ se puede escribir del siguiente modo:
$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{df(x)}{dx}}.$$

Si nosotros tenemos una cantidad $x$ que se encuentra en función del tiempo $t$, haciendo uso de la derivada podemos expresar a la razón de cambio de $x$ respecto de $t$ como:
$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}.$$
De este modo, si se tiene que dicha cantidad $x$ está relacionada con una ecuación, para obtener su razón de cambio bastaría con derivarla.

Esta interpretación de la derivada nos será de utilidad para resolver los problemas que revisaremos a continuación.

Problema 1

Un círculo expande su área de manera no especificada. Se sabe que cuando el radio es de $6cm$, la tasa de variación del mismo respecto al tiempo es de $4cm$.

Encuentra la tasa de variación del área respecto al tiempo cuando el radio $6cm$.
Solución:
Sabemos que el área de un círculo está dada por:
$$A=\pi r^2.$$
Veamos que la tasa de variación del radio $r$ es:
$${\displaystyle \frac{dr}{dt}}.$$

Al derivar el área $A$ respecto del tiempo $t$ tenemos:
$${\displaystyle \frac{dA}{dt}}=2\pi r{\displaystyle \frac{dr}{dt}}$$
$(1)$

De los datos que nos dan en el problema sabemos que cuando el radio es de $6cm$, su tasa de variación:
$${\displaystyle \frac{dr}{dt}}=4cm.$$

Sustituyendo estos valores en $(1)$ tenemos:
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dA}{dt}}& =2\pi (6cm)(4cm)\\ & =48\pi c{m}^2\end{array}$$

Por lo que la tasa de variación buscada es:
$${\displaystyle \frac{dA}{dt}}=48\pi c{m}^2.$$

Problema 2

Por la mañana, una mujer se encuentra esperando a lado de un poste el autobús que la llevará a su trabajo. Debido a la demora, ella decide caminar rumbo al metro alejándose del poste que sabemos alumbra a razón de $3\frac{m}{s}$. Si además sabemos que la estatura de la mujer es de $1.60m$ y la altura del poste de $10m$, ¿cuál es la razón de cambio a la cual se mueve el extremo de la sombra de la mujer?

Solución:

Vemos que el problema nos dice que:
$${\displaystyle \frac{dz}{dt}}=3\frac{m}{s}.$$
Y que queremos obtener la razón de cambio:
$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}.$$
Observamos que los siguientes triángulos son semejantes:
$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}AED.$$
Entonces tenemos la siguiente igualdad:
$$\frac{10}{1.6}=\frac{x}{x-z}.$$
Desarrollando lo anterior:
$$\begin{array}{rl}10(x-z)=1.6x& \iff 10x-10z=1.6x\\ & \iff 10x-1.6x=10z\\ & \iff 8.4x=10z\end{array}$$

Derivando con respecto del tiempo $t$:
$$8.4{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=10{\displaystyle \frac{dz}{dt}}.$$

Despejando ${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$:
$${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=\frac{10}{8.4}{\displaystyle \frac{dz}{dt}}.$$

Sustituyendo el valor conocido de ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$:
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}& =\frac{25}{21}(3)\\ & =\frac{25}{7}\frac{m}{s}\end{array}$$

Por lo tanto, la razón con que se mueve el extremo de la sombra es de:
$$\frac{25}{7}\frac{m}{s}.$$

Problema 3

Una pelota esférica se infla a razón de $0.16\frac{c{m}^3}{min}$. ¿Cuál es su volumen cuando su radio está aumentando a razón de $0.20\frac{cm}{min}$?

Solución:
Recordemos que el volumen de una esfera esta dado por:
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$
De los datos del problema sabemos lo siguiente:
$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \frac{dV}{dt}}& =0.16\frac{c{m}^3}{min}& {\displaystyle \frac{dr}{dt}}& =0.20\frac{cm}{min}\end{array}$$

Derivamos el volumen $V$ respecto del tiempo y obtenemos:
$${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=4\pi r^2{\displaystyle \frac{dr}{dt}}.$$

Sustituyendo ${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=0.16$ en la igualdad anterior:
$$0.16\frac{c{m}^3}{min}=4\pi r^2{\displaystyle \frac{dr}{dt}}.$$

Ahora sustituyendo el valor de la razón de cambio del radio:
$$0.16\frac{c{m}^3}{min}=4\pi r^2\left(0.2\frac{cm}{min}\right).$$

Para poder obtener el valor del volumen solicitado debemos conocer el valor del radio, por lo que despejando $r$ ocurre lo siguiente:
$$\begin{array}{rl}\frac{0.16}{0.8}\frac{c{m}^2}{\pi }& =r^2\\ \Rightarrow \frac{c{m}^2}{5\pi }& =r^2\end{array}$$
$$\therefore r=\frac{1}{\sqrt{5\pi }}cm.$$

Sustituyendo el valor de $r$ en el volumen tenemos que:
$$\begin{array}{rl}V& =\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{1}{\sqrt{5\pi }}\right)}^{3}c{m}^3\\ & \approx 0.06728c{m}^3\end{array}$$
Concluimos que el volumen aproximado de la pelota es de $0.06728c{m}^3$.

Más adelante

En la próxima entrada revisaremos el tema de polinomios de Taylor. Para ello, veremos su definición formal y algunos ejemplos de su aplicación para aproximar valores de una función.

Tarea moral

• En una fábrica de hielo se tiene un cubo con volumen $V=5m^3$. Por falta de espacio, los trabajadores deben sacarlo del congelador, provocando que comience a derretirse a razón de $2\frac{m^3}{s}$, ellos se preguntan: ¿Cuál es la razón de cambio de la superficie del cubo en ese preciso instante?
• Un tronco de madera cuyo largo es de $13m$ se encuentra apoyado sobre un muro. Se te pide hallar la velocidad con la que baja el extremo superior del tronco cuando su extremo inferior dista del muro $5m$. Se sabe que el tronco se separa a razón de $5\frac{m}{s}$
• Un barco pesquero de $6m$ de altura se aleja de un faro cuya altura es de $130m$ y alumbra con una razón de $40\frac{m}{s}$. Determina la razón de cambio a la cual se mueve el extremo de la sombra del barco.

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Velocidad y aceleración.
• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Polinomios de Taylor (Parte 1).
• Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»