Cálculo Diferencial e Integral I: Velocidad y aceleración

Introducción

Para los problemas que veremos en esta entrada será necesario recordar algunos conceptos de la Física relacionados con el Movimiento rectilíneo uniforme que en posiblemente estudiaste en el bachillerato.

Recordemos que la velocidad se encuentra expresada por:
\begin{equation}
v=\frac{d}{t}
\end{equation}
Está igualdad modela el movimiento de un punto sobre una recta en una distancia $d$ en un tiempo $t$ con una velocidad uniforme $v$.

De la ecuación anterior podemos obtener que la distancia es:
\begin{equation}
d=v \cdot t
\end{equation}

Ahora si consideraremos a un par de puntos $(d_1,t_1)$ y $(d_2,t_2)$ tales que:
\begin{align*}
d_1&=vt_1 & d_2&=vt_2\\
\end{align*}

Así al sustituir en $(2)$ tendríamos que:
$$d_2-d_1=v(t_2-t_1) \Rightarrow v=\frac{d_2-d_1}{t_2-t_1}$$

que es justo la velocidad media.

Veamos que la función de posición del punto $p$ en un tiempo $t$ está dada como:
$$d=d(t)$$

Por lo que ahora la función de velocidad media de $p$ en un intervalo $[t_1,t_2]$ se define cómo:
$$\frac{d_2-d_1}{t_2-t_1}=\frac{d(t_2)-d(t_1)}{t_2-t_1}$$

Tomemos a $t_2-t_1=h$ por lo que tenemos las siguientes conclusiones:

  • $t_2=t_1+h$ donde $h\neq 0$
  • $d(t_2)= d(t_1+h)$
  • $[t_1.t_2]=[t_1,t_1+h]$

En consecuencia la velocidad media queda:
$$\frac{d(t_1+h)-d(t_1)}{h}$$
Aplicamos límite a la expresión anterior para obtener la velocidad instantánea (rapidez o sólo velocidad):
$$\lim_{h \to 0} \frac{d(t_1+h)-d(t_1)}{h}$$
Generalizando al considerar cualquier tiempo $t$ observamos que:
$$\lim_{h \to 0} \frac{d(t+h)-d(t)}{h}=d'(t)$$

Concluyendo con la siguiente igualdad para la función velocidad de un punto $p$:
$$v(t)=d'(t)$$

Y a la aceleración media como:
$$a(t)=v'(t)=d^{‘ ‘}(t)$$

Problema 1

Supongamos que tenemos una partícula cuyo movimiento se encuentra modelado por la función:
$$d(t)=4t^{2}-6t+6$$
con la distancia expresada en metros y el tiempo en segundos.

Se nos pide encontrar:

  1. Su posición inicial
  2. Su velocidad al iniciar su movimiento
  3. La velocidad alcanzada transcurridos 3 segundos
  4. La velocidad final a los 5 segundos
  5. Su aceleración

Solución:

  1. Veamos que la podemos obtener evaluando la función de movimiento cuando $t=0$:
    $$d(0)= 4(0)^{2}-6(0)+6= 6m$$
  2. Para la velocidad al iniciar basta derivar $d$ y evaluarla con $t=0$:
    $$v(t)=d'(t)= 8t-6$$
    De este modo:
    $$v(0)=-6 \frac{m}{s}$$
    Esto lo podemos en la gráfica de la función $v$:
  1. Evaluemos la función $v$ con $t=3$:
    \begin{align*}
    v(3)&=8(3)-6\\
    &=24-6\\
    \therefore v(3)&=18 \frac{m}{s}
    \end{align*}
  2. Ahora cuando $t=5$:
    \begin{align*}
    v(5)&=8(5)-6\\
    &=40-6\\
    \therefore v(5)&= 34\frac{m}{s}
    \end{align*}

Observamos con lo anterior que la velocidad es creciente.

  1. Debemos obtener la segunda derivada de la función $d$, que es equivalente a derivar la velocidad:
    \begin{align*}
    a(t)&=v^{‘ ‘}(t)\\
    &= 8 \frac{m}{s^{2}}
    \end{align*}
    Por lo que tenemos que su aceleración es constante.

Problema 2

Un proyectil es lanzado con una trayectoria descrita por la función:
$$d(t)=-3t^{2}+54t$$

¿En qué instante alcanza su altura máxima y cuál es su valor?
Solución:

Comenzaremos derivando la función $d$:
$$d'(t)=-6t+54$$

Igualamos a cero para encontrar el máximo:
\begin{align*}
d'(t)=0 &\Leftrightarrow -6t+54=0\\
&\Leftrightarrow -t+9=0\\
&\Leftrightarrow t=9
\end{align*}

Aplicando el Criterio de la segunda derivada comprobamos que se trata de un máximo cuando $t=9$:
$$d^{‘ ‘}(t)=-6 <0$$

Así para obtener el valor de la altura basta sustituir $t=9$ en la función $d$:
\begin{align*}
d(9)&=-3(9)^{2}+54(9)\\
&=-3(81)+486\\
&=-243+486\\
&=243
\end{align*}
$\therefore$ la altura es de $243 m$

Problema 3

Tenemos que la posición de una partícula se expresa mediante la función:
$$d(t)=2t^{3}-5t^{2}+10t$$
donde consideramos a $d$ en metros y a $t$ en segundos.
¿Cuál es su velocidad cuando:

  • $t=1$
  • $t=\frac{3}{2}$
  • $t=0$ ?

Solución:
Primero obtenemos la función velocidad derivando $d$:
$$v(t)=d'(t)=6t^{2}-10t+10$$
Ahora evaluamos los valores que nos piden:

  • Con $t=1$:
    $$v(1)=6(1)^{2}-10(1)+10=6$$
    $$\therefore v(1)=6\frac{m}{s}$$
  • Con $t=\frac{3}{2}$:
    $$v\left(\frac{3}{2}\right)=6\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-10\left(\frac{3}{2}\right)+10=\frac{17}{2}$$
    $$\therefore v\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{17}{2}\frac{m}{s}$$
  • Con $t=0$:
    $$v(0)=6(0)^{2}-10(0)+10=10$$
    $$\therefore v(0)=10\frac{m}{s}$$

Después de ver estos problemas te dejamos a continuación una lista de ejercicios para que puedas practicar el tema visto en esta entrada.

Tarea moral

  • Una pelota es lanzada desde el suelo hacia arriba, su trayectoria sigue la función:
    $$d(t)=30t-5t^{2}$$
    Determina cuál es la altura máxima que alcanza la pelota.
  • El movimiento de un automóvil se encuentra definido por la función:
    $$m(t)=t^{2}-3t+1$$
    donde estamos considerando a $m$ expresada en kilómetros y a $t$ en horas.
    Se requiere obtener:
    • Su posición inicial
    • Su velocidad al iniciar su movimiento
    • La velocidad alcanzada transcurridas 2 horas
    • La velocidad final a las 6 horas
    • Su aceleración
  • Retomando el planteamiento del Problema 2, determina en cuanto tiempo hace contacto con una torre que se encuentra sobre la superficie terrestre y la velocidad que lleva en ese instante.

Más adelante

En la próxima entrada veremos que haciendo uso de la derivada podemos obtener la razón de cambio de dos o más variables relacionadas en un problema.

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