Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada de la función inversa

Introducción

En esta entrada estudiaremos la relación que existe entre la derivada de una función y la derivada de su función inversa en los casos donde ésta última exista. Para esto, estableceremos una restricción, enfocándonos en las funciones que son estrictamente monótonas y, usando los resultados de la continuidad de la función inversa, podremos asegurar la existencia de la función inversa continua.

Derivada de la función inversa

Si consideramos una función que sea estrictamente monótona y continua en un intervalo $A$, se tiene que la inversa $f^{-1}$ está definida sobre el intervalo $B = f(A)$. Para lograr relacionar ambas funciones podemos usar su propiedad esencial, que la composición de ambas genera la función identidad, es decir, $f^{-1}(f(x))=x$. Si suponemos a priori que ambas funciones son derivables y considerando $a \in A$ y $f(a) = b \in B$, mediante la regla de la cadena obtenemos:

\begin{gather*}
& (f^{-1}(f(a)) )’ = a’ \\ \\
\Rightarrow & (f^{-1})'(f(a)) \cdot f'(a) = 1 \\ \\
\Rightarrow & (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}
\end{gather*}

Notemos que para aplicar la regla de la cadena se asumió que tanto $f$ como $f^{-1}$ son dirivables, sin embargo, esto no ayuda a probar que $f^{-1}$ es derivable, aunque nos permite tener una noción de qué debería suceder en caso de serlo.

A continuación enunciaremos formalmente el teorema y para demostrarlo usaremos el Teorema de Carathéodory que quedó como tarea moral en esta entrada.

Teorema. Sea $f:A \to \RR$, tal que $f$ es estrictamente monótona y continua en $A$. Sea $B = f(A)$ y sea $f^{-1}: B \to \RR$ la función estrictamente monótona y continua inversa de $f$. Si $f$ es derivable en $a \in A$ y si $f'(a) \neq 0$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $b = f(a)$ y

$$f^{-1}(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$$

Demostración.

Para $a \in \RR$, por el teorema de Carathéodory, se obtiene una función $\rho$ en $A$ tal que $\rho$ es continua en $a$ y se cumple que

$$f(x)-f(a) = \rho(x)(x-a), \text{ para }x \in A$$

y $\rho(a)=f'(a)$. Puesto que $\rho(a) \neq 0$ por hipótesis, existe un intervalo al rededor de $a$ donde la función no es cero, es decir, existe $V = (a-\delta, a+\delta)$ tal que $\rho(x) \neq 0$ para toda $x \in V \cap A$ (por el primer teorema visto en esta entrada).

Por lo anterior, si $U = f(V)$, entonces $f^{-1}$ satisface que $f(f^{-1}(y)) = y$ para todo $y \in U$, así se tiene que

\begin{gather*}
y-b=f(f^{-1}(y))-f(a) = \rho(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1}(y)-f^{-1}(b)) \\ \\
\therefore y-b = \rho(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1}(y)-f^{-1}(b))
\end{gather*}

Dado que $\rho(f^{-1}(y)) \neq 0$ para $y \in U$, de la expresión anterior se sigue

$$f^{-1}(y)-f^{-1}(b) = \frac{1}{\rho (f^{-1}(y))} \cdot (y-b)$$

Como la función $1/(\rho \circ f^{-1})$ es continua en $b$, se aplica el teorema de Caratheódory para concluir que $(f^{-1})'(b)$ existe, y además

\begin{align*}
(f^{-1})'(b) & = \frac{1}{\rho(f^{-1}(b))} \\
& =\frac{1}{\rho(a)} \\
& = \frac{1}{f'(a)}
\end{align*}

$$\therefore (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$

$\square$

Es posible relajar los supuestos hechos respecto a la función $f^{-1}$, con lo que se obtiene el siguiente teorema.

Teorema. Sea $f: A \to \RR$ estrictamente monótona en $A$. Sea $B = f(A)$ y sea $f^{-1}: B \to \RR$ la función inversa de $f$. Si $f$ es derivable en $A$ y $f'(x) \neq 0$ para $x \in A$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $B$ y

$$(f^{-1})’ (b) = \frac{1}{(f’ \circ f^{-1}) (b)} \text{, para }b \in B$$

Demostración.

Si $f$ es derivable en $A$, entonces se tiene que $f$ es continua en $A$ y por hipótesis es estrictamente monótona, por las propiedades revisadas en esta entrada, se sigue que $f^{-1}$ es continua en $B$ y estrictamente monótona. Por el teorema anterior, podemos concluir que

$$(f^{-1})’ (b) = \frac{1}{(f’ \circ f^{-1})(b)}$$

$\square$

Ejemplos de la derivada de la inversa

Ejemplo. Encuentra la derivada en $b=8$ de la función inversa de $f(x) = x^5 + 4x + 3.$

Notemos que $f$ es continua y estrictamente creciente. Además, $f'(x) = 5x^4 + 4$ nunca es cero. Por el teorema revisado en esta entrada, su función inversa es derivable en cada punto. Si se toma $b= 8$, entonces, considerando que $f(1) = 8$, se obtiene que

\begin{align*}
(f^{-1})'(8) & = (f^{-1})'(f(1)) \\
& = \frac{1}{f'(1)} \\
& = \frac{1}{9}
\end{align*}

$$\therefore (f^{-1})'(x) = \frac{1}{9}$$

Ejemplo.

Consideremos $f_n(x)=x^n$ para todo $x$ si $n$ es impar. Y $f_n(x)=x^n$ para todo $x \geq 0$ si $n$ es par. Para ambos casos, $f_n$ es una función continua y estrictamente monótona, cuya función inversa está dada por $f_n^{-1}(y) = y^{1/n}$.

Así, por el teorema revisado en esta entrada, para $y \neq 0$ se tiene que

\begin{align*}
(f^{-1})'(y) & = \frac{1}{f_n'(f_n^{-1}(y))} \\ \\
& = \frac{1}{n(f_n^{-1}(y))^{n-1}} \\ \\
& = \frac{1}{n(y^{1/n})^{n-1} } \\ \\ 
& = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y^{1-1/n}} \\ \\
& = \frac{1}{n} \cdot y^{1/n-1}
\end{align*}

$$\therefore (f^{-1})'(y) = \frac{1}{n} \cdot y^{1/n-1}$$

Por tanto, si $f(x) = x^a$ y $a$ es un entero o el recíproco de un número natural, entonces $f'(x) = ax^{a-1}$. A continuación probaremos que esto también es cierto para cualquier racional.

Sea $a = m/n$, donde $m$ es un entero y $n$ es un número natural. Si

$$f(x) = x^{m/n} = (x^{1/n})^m$$

Empleando la regla de la cadena tenemos

\begin{align*}
f'(x) & = m(x^{1/n})^{m-1} \cdot \frac{1}{n} \cdot x^{1/n-1} \\
& = \frac{m}{n} \cdot x^{(m/n-1/n)+(1/n-1)} \\
& = \frac{m}{n} x^{m/n-1}
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{m}{n} x^{m/n-1}$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Explica por qué es fundamental la hipótesis de que $f'(a) \neq 0$ en el primer teorema revisado en esta entrada.
  • Para cada función $f$, encuentra su inversa $f^{-1}$:
    • $f(x) = x^3+1$
    • $f(x) = (x-1)^3$
    • $f(x) = \begin{cases} x, & x \text{ racional} \\ -x, & x \text{ irracional} \end{cases}$
  • Dado que la función $h(x) = x^3+2x+1$ para $x \in \RR$ tiene una inversa $h^{-1}$ en $\RR$, encontrar el valor de $(h^{-1})'(y)$ en los puntos correspondientes a $x=0,1,-1$.
  • Suponga que $f$ es derivable con derivada $f'(x) = (1+x^3)^{-1/2}$. Demuestra que $g = f^{-1}$ satisface $g^{(2)}(x) = \frac{3}{2}g(x)^2$. Nota: $g^{(2)}(x)$ hace referencia a derivar dos veces la función $g$, es decir, $g^{(2)}(x) = (g'(x))’$.
  • Halle una fórmula para $(f^{-1})^{(2)}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada probaremos que las funciones trigonométricas son derivables en su dominio y estudiaremos también qué sucede para sus funciones inversas, para lo cual emplearemos lo que se ha visto en la presente entrada.

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