(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Con esta nota empezamos la unidad 3, haremos el estudio de un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial, el plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.

Veremos que no sólo $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ son espacios vectoriales, si no que $\forall n\in \mathbb N$, se cumple que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, y luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.

No será objeto de estudio de este curso, la construcción y propiedades de los números reales, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb R$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto, debido a las cuales se le llama un campo.

Empecemos entonces por esta importante nota.

Nota

$\mathbb R$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades satisfechas decimos que $\mathbb R$ es un campo y a sus elementos les llamamos escalares.

El siguiente teorema nos hará evidente que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial, pues se verán satisfechas $8$ propiedades de sus dos operaciones, que hacen que un conjunto $V$, en este caso, $V=\mathbb R^n$ cumpla con ser un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$.

Teorema

El conjunto $\mathbb R^n$ con las operaciones de suma $\oplus$ y producto por escalar $\odot$ definidas como:

La suma de dos vectores se suma coordenada a coordenada.

$(x_1,\dotsc,x_n)\oplus (y_1,\dotsc,y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)$

En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u$ y el vector $v$, y obteniendo su suma geométricamente en $\mathbb R^2$.

La multiplicación por escalares multiplica cada una de las coordenadas.

$\lambda \odot (x_1,\dotsc,x_n)=(\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n)$

$\forall (x_1,\dotsc,x_n),(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n\,\;y\,\;\forall \lambda \in \mathbb R$

Con estas dos operaciones $\mathbb R^n$ cumple la siguiente lista de propiedades y por lo tanto será llamado un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$ o un $\mathbb R$-espacio vectorial:

1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\,\,\,\,\forall u,v,w\in \mathbb R^n$, es decir la suma es asociativa.

2. $u\oplus v=v\oplus u\,\,\,\forall u,v\in \mathbb R^n$, es decir la suma es conmutativa.

3. $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n$, a $\bar{0}$ se le llama un neutro aditivo de $\mathbb R^n$.

4. Para todo $u\in \mathbb R^n$ existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.

Estas primeras $4$ propiedades refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:

5. $1\odot v=v\,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n$, existencia del neutro multiplicativo.

6. $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$, asociatívidad del producto.

Y por último dos propiedades que son la distributividad del producto sobre la suma, tanto de escalares como de $n-$adas.

7. $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

8. $\lambda\odot(v\oplus u)=\lambda\odot v\oplus\lambda\odot u\,\;\forall \lambda\in \mathbb R\,\;\forall v,u\in \mathbb R^n$.

Como veremos inmediatamente $\mathbb R^n$ satisface esas propiedades y se dice entonces que $\mathbb R^n,\oplus,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, o un $\mathbb R$-espacio vectorial, a los elementos de $\mathbb R^n$ les llamaremos vectores.

Demostración de que $\mathbb R^n$ con sus operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las $8$ propiedades dadas anteriormente.

Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.

Demostración de 2

Sean $u=(x_1,\dotsc, x_n),v=(y_1,\dotsc, y_n)\in \mathbb R^n,\,\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb R$.

Por demostrar que $u\oplus v=v\oplus u.$

Por definición de la suma tenemos que:

$u\oplus v=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(y_1,\dotsc, y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n).$

Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb R$, y dado que la suma en $\mathbb R$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, de forma que:

$(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n).$

Y de nuevo por la definición de suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n)=(y_1,\dotsc, y_n)\oplus(x_1,\dotsc, x_n)=v\oplus u.$

Por lo tanto concluimos que:

$u\oplus v=v\oplus u$.

Y así mostramos que la operación $\oplus$ es conmutativa.

Demostración de 3

Por demostrar que $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n.$

Propongamos al vector con sus $n$ entradas cero como neutro, es decir, consideremos $\bar{0}=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$.

Dado $u=(x_1,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$ tenemos que:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)$

y por la definición de suma en $\mathbb R^n$

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0).$

Como $0$ es el neutro de $\mathbb R$ tenemos que $x_i+0=x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, por lo tanto:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0)=(x_1,\dotsc, x_n)=u.$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\bar{0}\oplus u=u\oplus \bar{0}=u$.

Demostración de 4

Sea $u=(x_1,\dotsc,x_n).$

Por demostrar que existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}.$

Proponemos $\tilde{u}=(-x_1,\dotsc,-x_n).$ Tenemos que

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right).$

Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb R$ para todo $1\leq i\leq n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Concluimos que:

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right)=(0,\dotsc,0).$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\bar{0}$.

Por lo tanto cada $u\in \mathbb R^n$ tiene un inverso aditivo.

Demostración de 6

Por demostrar que $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.

Como $\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))$, por definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Aplicando de nuevo la definición de producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))$.

En virtud de la asociatividad del producto en $\mathbb R$ tenemos que $\lambda(\mu y_i)=(\lambda\mu) y_i$ para todo $1\leq i\leq n$, y así:

$\begin{align*} \lambda\odot (\mu\odot v)&=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))\\&=((\lambda\mu )y_1),\dotsc,(\lambda\mu) y_n).\end{align*}.$

Y por la definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$((\lambda\mu )y_1,\dotsc,(\lambda\mu) y_n)=(\lambda\mu)\odot(y_1,\dotsc,y_n)=(\lambda\mu)\odot v$.

Siguiendo la cadena de igualdades concluimos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v$.

Demostración de 7

Por demostrar que $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

Por definición del producto por escalar en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda+\mu)\odot v=(\lambda+\mu)\odot (y_1,\dotsc,y_n)=((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n).$

Gracias a la distributividad en el campo $\mathbb R$ tenemos que $(\lambda+\mu)y_i=\lambda y_i+\mu y_i$ para todo $1\leq i\leq n$ y así:

$((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n)=(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n).$

Por la definición de la suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Usando la definición del producto en $\mathbb R^n$:

$\begin{align*}(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)&=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)\\ &=\lambda\odot (y_1,\dotsc, y_n)\oplus\mu\odot (y_1,\dotsc, y_n)=\lambda\odot v\oplus \lambda\odot v .\end{align*}$

Podemos concluir entonces que:

$(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v$

que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Tarea Moral

1. Demostrar los puntos $1,5,8$ del teorema.

2. Consideremos$\mathbb R^2$, con la operación suma $\boxplus$ y producto por escalar $\boxdot$ definidos como sigue:

i) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,y+w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,y)$

ii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x-z,y-w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(-\lambda x,\lambda y)$

iii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,0)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,0)$

para $(x,y),(z,w)\in \mathbb R^2$ y $\lambda\in \mathbb R$.

En cada caso analiza cuáles de las $8$ propiedades del espacio vectorial $\mathbb R^2$ con las operaciones usuales, se cumplen para $\mathbb R^2$ con estas nuevas operaciones.

3. Ve el siguiente vídeo para ampliar tu idea de lo que es un vector.

Más adelante

En la siguiente nota veremos algunas propiedades de estos $\mathbb R$-espacios vectoriales $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados.

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Nota siguiente. Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Introducción

Las siguientes notas de la Dr. Diana Avella Alaminos son las correspondientes al curso de Álgebra Superior 1, que se imparte en el primer semestre de la carrera de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Están divididas en 4 unidades, la primera correspondiente a conjuntos y funciones, la segunda está dedicada a la construcción y propiedades de los números naturales, la tercera es una introducción al estudio del espacio vectorial $\mathbb R^n$ , la cuarta y última unidad al estudio de matrices y determinantes.

A continuación se deja el el enlace a cada una de las notas según el orden y la unidad.

• Introducción
• Unidad 1. Conjuntos y funciones.
• Unidad 2. Los números naturales.
• Unidad 3. Espacios vectoriales.
• Unidad 4. Matrices y determinantes.

Unidad 1. Conjuntos y funciones.

Nota 1. Noción de Conjunto.

Nota 2. Subconjuntos.

Nota 3. El complemento de un conjunto.

Nota 4. Unión e intersección de Conjuntos.

Nota 5. Leyes de De Morgan y la diferencia simétrica.

Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.

Nota 7. Relaciones y funciones.

Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Nota 9. Composición de funciones.

Nota 10. Función inversa.

Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Nota 13. Relación de equivalencia.

Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones.

Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Unidad 2. Los números naturales.

Nota 16. Los números naturales.

Nota 17. El orden en los números naturales.

Nota 18. El principio de inducción matemática.

Nota 19. Conjuntos equipotentes y cardinalidad.

Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos.

Nota 21. Conteo, ordenaciones con repetición.

Nota 22. Conteo. Ordenaciones.

Nota 23. Combinaciones.

Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Unidad 3. Espacios vectoriales.

Nota 25. Espacios vectoriales.

Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Nota 27. Subespacios vectoriales.

Nota 28. Combinaciones lineales.

Nota 29. Subespacio generado.

Nota 30. Dependencia e independencia lineal.

Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$

Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial

Unidad 4. Matrices y determinantes.

Nota 33. Matrices.

Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.

Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.

Nota 37. El rango de una matriz.

Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Nota 40. Determinantes.

Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Nota 42. Formula para obtener el determinante.

Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota usaremos el concepto de combinaciones visto en la nota anterior para construir el famoso triángulo de Pascal y entender cómo elevar un binomio a la $n$-ésima potencia, mediante la conocida fórmula del binomio de Newton. Empecemos la nota con un resultado que será la clave para ambos resultados.

Teorema

Sean $n,m\in \mathbb N,m+1\leq n$. Tenemos que:

$\binom{n}{m}+ \binom{n}{m+1}= \binom{n+1}{m+1} .$

Esta fórmula se conoce como la formula del triángulo de Pascal.

Demostración

Sean $n,m\in \mathbb N,m+1\leq n$ y $A=\set{a_1,\dotsc,a_{n+1}}$, un conjunto con $n+1$ elementos. Sabemos que:

$\binom{n+1}{m+1}=\#\set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}.$

Notemos que si $C$ es un subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos hay dos opciones, que $a_{n+1}\in C$ o que $a_{n+1}\notin C$, así:

$ \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}= $

$= \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }\cup \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$

y como la unión es disjunta :

$\# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}=$

$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }+ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$.

Además, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\in C$, es de la forma $B\cup \set{a_{n+1}}$, donde $B$ es un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m$ elementos, por lo tanto:

$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }=\binom{n}{m}.$

Por otro lado, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\notin C$ será un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m+1$ elementos, así:

$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }=\binom{n}{m+1}.$

Concluimos que:

$\binom{n+1}{m+1}=\#\set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}$

$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C } + \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C } $

$= \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} .$

Por lo tanto:

$ \binom{n+1}{m+1} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} $.

$\square$

El triángulo de Pascal

De acuerdo al autor Ignacio Larrosa Cañestro en el recurso de Geogebra https://www.geogebra.org/m/usruvfhg «El triángulo de Tartaglia-Pascal fue estudiado por Niccolò Fontana, conocido como Tartaglia (1499-1557) y popularizado por Blaise Pascal (1623-1662), aunque ya se conocía desde siglos atrás en China y Persia. En este triángulo cada fila empieza y termina en 1 y los elementos intermedios son la suma de los que están arriba a la izquierda y arriba a la derecha». En la posición $m$ de la fila $n$ del triángulo se coloca el número $\binom{n}{m}$.

Observa en los siguientes videos cómo se usa la fórmula del triángulo de Pascal que acabamos de demostrar, para construir el triángulo de Pascal.

Ve el siguiente video para conocer más sobre está maravillosa sucesión milenaria.

El binomio de Newton

Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$, entonces se cumple que:

$(a+b)^n=\binom{n}{0}\, a^n\; b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} .$

Demostración

La demostración se hará por inducción sobre $n$. Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$.

Base de inducción

Si $n=0$:

$(a+b)^0=1=\binom{0}{0} a^0 b^0$.

Paso inductivo

Supongamos que se vale para $n$.

$(a+b)^n=\binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} $.

Ésta es nuestra hipótesis de inducción.

Demostración de que se vale para $n+1$ usando la HI

Tenemos que:

$(a+b)^{n+1}=(a+b) (a+b)^{n}$, y por la hipótesis de inducción tenemos que

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\bigg[ \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0}b^{n}\bigg].$

Desarrollando tenemos que:

$(a+b)^{n+1}=a\bigg[\binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1} b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} \bigg ]$ $+$

$b \bigg[\binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^{1}+\dotsc+ \binom{n}{n-1} a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n} a^{0} b^{n} \bigg ]$

Multiplicando todos los términos tenemos que:

$(a+b)^{n+1}=$	$\binom{n}{0} a^{n+1}b^0+$	$\binom{n}{1} a^{n} b^{1}+$	$\dotsc+$	$\binom{n}{n} a^{1}b^{n}+$
	$+$	$\binom{n}{0}a^{n} b^{1}+$	$\dotsc+$	$\binom{n}{n-1} a^{1} b^{n}+$	$\binom{n}{n}a^0b^{n+1}$

Asociando los términos semejantes, tenemos que los coeficientes resultantes son de la forma $\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ y en virtud del teorema probado al inicio de esta nota tenemos que $\binom{n}{k+1}+ \binom{n}{k}= \binom{n+1}{k+1} $. Por lo tanto:

$(a+b)^{n+1}=\binom{n}{0} a^{n+1} + \binom{n+1}{1} a^{n} b^{1}+\dotsc+ \binom{n+1}{n} a^{1} b^{n}+\binom{n}{n} b^{n+1} $ .

Pero, dado que $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$ y que $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1} $ podemos reescribir lo anterior como

$(a+b)^{n+1}=\binom{n+1}{0} a^{n+1} + \binom{n+1}{1} a^{n} b^{1}+\dotsc+ \binom{n+1}{n} a^{1} b^{n}+\binom{n+1}{n+1} b^{n+1} $

y por lo tanto la fórmula también se cumple para $n+1$.

Concluimos por el quinto axioma de Peano que se cumple para todo $n\in \mathbb N$.

$\square$

Gracias al Teorema del Binomio de Newton, los números $\binom{n}{m}$ son llamados coeficientes binomiales.

Tarea Moral

1. Escribe otra demostración de la fórmula de Pascal, usando la descripción que se estudió de los coeficientes binomiales en términos de factoriales.
2. Encuentra el renglón once del triángulo de Pascal.
3. Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$. Desarrolla la expresión $(a+b)^{8}$ usando el binomio de Newton.
4. Sea $n\in \mathbb N$. Encuentra a qué es igual la expresión $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}$ e interpreta tu respuesta en términos de subconjuntos.
5. Sea $n\in \mathbb N$ con $n\geq 1$. Prueba que $\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}=0.$

Más adelante

Con esta nota hemos terminado la unidad 2. En la siguiente unidad veremos el importante concepto de espacio vectorial.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 23. Combinaciones.

Nota siguiente. Nota 25. Espacios vectoriales.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de combinaciones, para ello consideraremos un conjunto finito y a todos sus subconjuntos con un número determinado de elementos. Este concepto es ampliamente usado en matemáticas, particularmente en probabilidad, y está relacionado también íntimamente en la forma de elevar un binomio a un exponente natural.

Definición

Sean $n,m\in \mathbb N$ con $m\leq n$, $A$ un conjunto con $n$ elementos. Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $m$ en $m$ son los subconjuntos de $A$ de $m$ elementos. Denotamos por $\binom{n}{m}$ al número de combinaciones de un conjunto de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$.

Ejemplo

Considera el conjunto $A=\set{a,b,c,d}$, con $a$, $b$, $c$ y $d$ elementos distintos. Obtengamos todas las combinaciones de $A$.

Sólo hay una combinación de los elementos de $A$ tomados de $0$ en $0$, el conjunto vacío, y sólo una combinación de los elementos de $A$ tomados de $4$ en $4$, el conjunto $A$, entonces

$\binom{4}{0}= \binom{4}{4}=1. $

Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $1$ en $1$ son: $\set{a}$, $\set{b}$, $\set{c}$, $\set{d}$.

Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $2$ en $2$ son $\set{a,b}$, $\set{a,c}$, $\set{a,d}$, $\set{b,c}$, $\set{b,d}$, $\set{c,d}$. Así

$\binom{4}{2}=6.$

Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $3$ en $3$ son $\set{a,b,c}$, $\set{a,b,d}$, $\set{a,c,d}$, $\set{b,c,d}$, por lo que

$\binom{4}{3}=4.$

Observación 1

Para todo natural $n$ se tiene que $\binom{n}{0}= \binom{n}{n}=1.$

Demostración.

Sea $A$ un conjunto finito con $n$ elementos. El único subconjunto de $A$ con cero elementos es el vacío, entonces $\binom{n}{0}=1,$ y el único subconjunto de $A$ con $n$ elementos es $A$, entonces $\binom{n}{n}=1.$

Observación 2

Para todo natural $n\geq 1$ se tiene que $\binom{n}{1}= \binom{n}{n-1}=n.$

Demostración.

Dado $A=\{a_1,\dots ,a_n\}$ un conjunto finito con $n$ elementos los subconjuntos de $A$ con un elemento son $\{a_i\}$ con $i\in\{1,\dots ,n\}$ que son todos distintos entre sí. Entonces $\binom{n}{1}=n.$.

Considera que para obtener subconjuntos de $n-1$ elementos de $A$, debemos tomar todos los elementos de $A$ salvo uno, y como $A$ tiene $n$ elementos entonces eso se puede hacer de $n$ formas distintas, una por cada elemento de $A$ que dejemos fuera del subconjunto. Entonces los subconjuntos de $A$ con $n-1$ elementos son $A\setminus \{a_i\}$ con $i\in\{1,\dots ,n\}$ que son todos distintos entre sí. Así, $\binom{n}{n-1}=n.$.

Teorema

Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $m\leq n$, entonces $\binom{n}{m}P_m=O_{m}^{n}$.

Demostración

Sean $A$ un conjunto con $n$ elementos, $\mathscr O$ el conjunto de ordenaciones de $A$ tomados de $m$ en $m$, $\mathscr C$ el conjunto de las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $m$ en $m$.

Definimos $\varphi: \mathscr O\to \mathscr C $ como:

$\varphi(f)=\varphi\bigg(\begin{pmatrix}1 & \dotsi & m\\ f(1) & \dotsi & f(m)\end{pmatrix}\bigg)=\set{f(1),\dotsc,f(m)}$.

Veamos que $\varphi$ es suprayectiva. Si $c\in \mathscr C$, entonces $c$ es un subconjunto de $A$ con $m$ elementos, es decir $c=\set{b_1,\dotsc,b_m}$, con $ b_1,\dotsc,b_m\in A$ distintos. Así:

$f=\begin{pmatrix}1 & \dotsi & m\\ b_1 & \dotsi & b_m\end{pmatrix}\in \mathscr O$.

y entonces:

$\varphi(f)=\varphi\bigg(\begin{pmatrix}1 & \dotsi & m\\ b_1 & \dotsi & b_m\end{pmatrix}\bigg)=\set{b_1,\dotsc,b_m}$.

Por lo tanto $\varphi$ es suprayectiva.

Sean $C_1,\dotsc,C_k$ los distintos subconjuntos de $A$ con $m$ elementos, donde $k=\binom{n}{m}$. Para cada $i\in\set{1,\dotsc,k}$ consideremos:

$O_i=\set{f\in \mathscr O\mid \varphi(f)=C_i}$

$\mathscr O$ es la unión disjunta de $O_1,\dotsc, O_k$ y entonces, por ser disjuntos y por el principio de la suma tenemos que:

$\#\mathscr O=\#(O_1\cup\dotsc,\cup O_k)=\#O_1+\dotsc+\#O_k.$

Pero si $f=\begin{pmatrix}1 & \dotsi & m\\ f(1) & \dotsi & f(m)\end{pmatrix}\in \mathscr O$, es tal que $\varphi(f)=C_1$, entonces las funciones de $O_1$ se obtendrán colocando en el segundo renglón del arreglo que describe la función, las distintas permutaciones de $\set{f(1),\dotsc,f(m)}$ que son $P_m$, y así:

$\#O_1=P_m.$

Y análogamente $\#O_i=P_m\,\,\, \,\,\, \forall i\in\set{1,\dotsc,k}.$

Por lo tanto:

$\#\mathscr O=\#O_1+\dotsc+\#O_k$, es decir, sumar $k$ veces el número $P_m$, en consecuencia:

$\#\mathscr O= k P_m$,

y como $k=\binom{n}{m}$, entonces:

$\#\mathscr O= \binom{n}{m} P_m.$

Observa que $O_{n}^{m}=\#\set{f:\set{1,\dotsc, m}\to \set{a_1,\dotsc ,a_n}\mid \text{$f$ es inyectiva}}=\#\mathscr O.$

Por lo tanto $\binom{n}{m}P_m=O_{m}^{n}$ que es justamente lo que queríamos probar.

$\square$

Corolario

Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $m\leq n$, entonces $\binom{n}{m}=\frac{ n! }{m!(n-m)!}$.

Demostración

Por el teorema anterior sabemos que $\binom{n}{m}=\frac{ O_{n}^{m} }{P_m}$, y por lo que vimos en las entradas previas tenemos que:

$\frac{ O_{n}^{m} }{P_m}=\frac{n(n-1)\dotsc(n-m+1)}{m!}$,

entonces $\binom{n}{m}=\frac{n(n-1)\dotsc(n-m+1)}{m!}$

Multiplicando arriba y abajo por $(n-m)!$ tenemos que:

$\binom{n}{m}= \frac{n(n-1)\dotsc(n-m+1)(n-m)!}{m!(n-m)!}$

$\phantom{\binom{n}{m}}= \frac{n(n-1)\dotsc(n-m+1)(n-m)\dotsc2\cdot1}{m!(n-m)!} $

$\phantom{\binom{n}{m}}=\frac{n!}{m!(n-m)!}.$

$\square$

Tarea Moral

1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono regular de $n$ lados?

2. Un club de voleibol tiene $12$ jugadoras, una de ellas es la capitana María. ¿Cuántos equipos diferentes de $6$ jugadoras se pueden formar, sabiendo que en todos ellos siempre estará la capitana María.

3. Revisa el siguiente video (puedes poner subtítulos en español).

Más adelante

En la siguiente nota usaremos estos resultados para obtener el triángulo de Pascal y para probar la fórmula del binomio de Newton.

Enlaces relacionados.

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Nota anterior. Nota 22. Conteo. Ordenaciones.

Nota siguiente. Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota estudiaremos las secuencias ordenadas de $m$ entradas, llenadas con los  $n$ objetos de un determinado conjunto pero de modo que no se tengan entradas repetidas. Formalmente serán funciones inyectivas del conjunto de los primeros $m$ naturales, en el conjunto de $n$ objetos.

Definición

Sean $n,m\in \mathbb N^+$. Dado un conjunto $A=\set{a_1,\dotsc ,a_n}$ con $n$ elementos, las ordenaciones de los elementos de $A$ tomados de $m$ en $m$ son las funciones inyectivas de $\set{1,\dotsc, m}$ en $A$. Al número de ordenaciones de los elementos de un conjunto con $n$ elementos, tomados de $m$ en $m$, lo denotaremos por $O_{n}^{m}$, es decir, dado $A=\set{a_1,\dotsc ,a_n}$ un conjunto con $n$ elementos

$O_{n}^{m}=\#\set{f\mid f:\set{1,\dotsc, m}\to \set{a_1,\dotsc ,a_n}, con\\\ f \\\ inyectiva}$

Observa que, gracias a lo que estudiamos acerca de las funciones invectivas, sabemos que si $m>n$ entonces no existen funciones inyectivas de $\set{1,\dotsc, m}$ en $A$ y en consecuencia $O_{n}^{m}$ es cero.

Ejemplo

¿Cuántas banderas tricolores se pueden formar con los colores rojo, naranja, verde, azul y morado?

Consideremos la bandera tricolor de colores rojo, azul, naranja.

En el lugar $1$ asignamos el rojo, en el $2$ el azul y en el $3$ el naranja. Podemos verla como una función de $\set{1,2,3}$ en $A$, con $A$ el conjunto formado por los colores rojo, naranja, verde, azul y morado, es decir $A=\{rojo, naranja, verde, azul,morado\}$. En este caso la función sería:

$f: \set{1,2,3} \to A$ con $f(1)=rojo$, $f(2)=azul$, $f(3)=naranja.$

Veamos primero cuántas banderas tricolor hay que terminen en naranja.

Para ello debemos considerar todas las posibles maneras de iniciar una bandera que termine en naranja, lo cual corresponde a todas las formas de crear una bandera bicolor con los colores restantes. Las banderas bicolores formadas con los colores rojo, verde, azul o morado son:

Hay en total $12$ banderas bicolor que se pueden formar con estos $4$ colores. Nota que las banderas bicolores formadas con los colores rojo, verde, azul o morado corresponden a las ordenaciones de $4$ elementos tomadas de $2$ en $2$, que son en total $O_{4}^{2}=12$.

Fíjate que entonces hay $12$ banderas tricolor que terminan en naranja. De manera similar hay $12$ que terminan rojo, $12$ que terminan en verde, $12$ que terminan en azul y $12$ que terminan en morado, es decir doce por cada color.

El número de banderas tricolor es entonces:

$5\cdot 12=5\cdot O_{4}^{2}= O_{5}^{3}=60.$

Observa que $ O_{5}^{3} =5\cdot O_{4}^{2}$, probaremos que esto es válido en general y que $ O_{n+1}^{m+1} =(n+1)\cdot O_{n}^{m}$.

Lema

Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $n\geq m$, entonces $O_{n+1}^{m+1}=(n+1)\cdot O_{n}^{m} $.

Demostración

Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $n\geq m$ y $A=\set{a_1\dotsc,a_n,a_{n+1}}$ un conjunto con $n+1$ elementos.

$O_{n+1}^{m+1}=\#\set{f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}}\mid f \\\ es\\\ inyectiva}$.

Para cada $i\in \set{1,\dotsc,n+1}$ consideremos el siguiente conjunto:

$B_{i}=\set{ f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}} \mid f \\\ es \\\ inyectiva\\\ y \\\ f(m+1)=a_i }$

en el que estamos considerando, de las funciones que teníamos, sólo aquellas que mandan al último elemento del dominio, $m+1$, en $a_i\in A$.

Demostremos primero que $\#B_i=O_{n}^{m}.$

Notemos que cada una de las funciones en $B_i$ está determinada por los valores que toma en $1,\dotsc, m$, y esto da lugar a una función:

$\begin{pmatrix}1&\dotsc & m\\f(1)&\dotsc & f(m)\end{pmatrix},$

que es una función inyectiva (ya que $f$ es inyectiva) de $\set{1,\dotsc, m}$ en $A\setminus \set{a_i}$ (conjunto que tiene $n$ elementos).

Así, podemos establecer la correspondencia $\phi: B_i\to \set{ g:\set{1,\dotsc, m}\to A\setminus \set{a_i} \mid g \\\ es \\\ inyectiva }$ dada por

$\begin{pmatrix}1&\dotsc & m&m+1\\f(1)&\dotsc & f(m)&a_i\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}1&\dotsc & m\\f(1)&\dotsc & f(m)\end{pmatrix}.$

Se deja al lector verificar que esta correspondencia es biyectiva.

Entonces,

$\#B_i=\# \set{ g:\set{1,\dotsc, m}\to A\setminus \set{a_i}\mid g \\\ es \\\ inyectiva }=O_{n}^{m}$

donde la última igualdad se debe a la notación establecida para el número de ordenaciones.

Observemos ahora que

$B_1\cup \dotsc \cup B_{n+1}= \set{ f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}} \mid f \\\ es \\\ inyectiva}$

donde $B_i\cap B_j=\emptyset$ para toda $i\neq j$, es decir, $ \set{ f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}} \mid f \\\ es \\\ inyectiva}$ es la unión disjunta de $B_1,\dotsc, B_{n+1}$.

Entonces,

$\#(B_1\cup \dotsc \cup B_{n+1})= \# \set{ f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}}\mid f \\\ es \\\ inyectiva}$

y por el principio generalizado de la suma tenemos que:

$\#B_1+ \dotsc + \# B_{n+1}= \# \set{ f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}}\mid f \\\ es \\\ inyectiva}.$

Como $\#B_i=O_{n}^{m}$, para todo $i\in\set{1,\dotsc,n+1}$, entonces

$(n+1)\cdot O_{n}^{m}= \# \set{ f:\set{1,\dotsc, m,m+1}\to A=\set{a_1,\dotsc ,a_n,a_{n+1}} \mid f \\\ es \\\ inyectiva}.$

Por lo tanto

$ O_{n+1}^{m+1} =(n+1)\cdot O_{n}^{m} .$

$\square$

Ejemplo

En la fila de un avión hay tres lugares, ¿de cuántas formas podemos llenarla eligiendo a personas de una familia de seis integrantes?

Notemos que es importante el orden en que coloquemos a las personas y que una persona no puede estar en más de un asiento a la vez por lo que cada forma de acomodar a tres personas de la familia en esos tres lugares, numerados por $1,2$ y $3$, puede ser vista como una ordenación del conjunto $\{1,2,3\}$ en el conjunto formado por los seis integrantes de la familia. Contemos entonces cuántas ordenaciones hay de un conjunto con $6$ elementos tomados de $3$ en $3$.

Sabemos que:

$O_{6}^{3}=6\cdot O_{2}^{5}= 6\cdot5 \cdot O_{4}^{1}.$

Pero si $A=\set{a_1,a_2,a_3,a_4}$ es un conjunto con cuatro elementos, habrá $4$ funciones inyectivas de $\set{1}$ en $A$ y por lo tanto $ O_{4}^{1} =4$. Así:

$O_{6}^{3}=6\cdot5 \cdot 4=120$, y por lo tanto hay $120$ maneras de llenar la fila.

Teorema

Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $n\geq m$, entonces $O_{n}^{m}=n(n-1)\dotsc(n-m+1).$

Demostración

Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $n\geq m$

Haremos la prueba por inducción sobre $m$

Base de inducción.

Si $m=1$ consideremos $A=\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $n$ elementos. Tenemos que hay $n$ funciones inyectivas de $\set{1}$ en $A$, así:

$O_{n}^{1}=n=n-1+1$ y en este caso se cumple la fórmula.

Paso inductivo.

Supongamos que resultado se cumple para $m$, es decir que $O_{t}^{m}=t(t-1)\dotsc (t-m+1)$ para toda $t\geq m$, que es nuestra hipótesis de inducción.

Demostración de que e resultado se cumple para $m+1$ usando la HI.

Sea $n\geq m+1$.

Consideremos $O_{n}^{m+1}= O_{(n-1)+1}^{m+1} $. Por el lema anterior esto es igual a

$ O_{(n-1)+1}^{m+1}=[(n-1)+1] O_{n-1}^{m} .$

Como $n\geq m+1$, tenemos que $n-1\geq m$ y usando la hipótesis de inducción tenemos que

$ O_{n-1}^{m} = (n-1)((n-1)-1)\dotsc ((n-1)-m+1)$

de donde

$ O_{n}^{m+1}=[(n-1)+1] O_{n-1}^{m}= n (n-1)(n-2)\dotsc ((n-1)-m+1).$

Así, $ O_{n}^{m+1}= n(n-1)(n-2)\dotsc (n-m)$, probando con ello que el resultado se cumple para $m+1$.

Por el principio de inducción la fórmula se cumple para toda $m\in \mathbb N^+$.

$\square$

Un caso importante de las ordenaciones se da cuando $n=m$. Recordemos que, de acuerdo a lo que estudiamos acerca de las funciones inyectivas entre conjuntos finitos de la misma cardinalidad, si $A$ es un conjunto finito con $n$ elementos, entonces toda función inyectiva de $\set{1,\dotsc, n}$ en $A$ es también suprayectiva y por lo tanto biyectiva.

Definición

Sea $n\in \mathbb N^+$. Dado un conjunto $A=\set{a_1,\dotsc ,a_n}$ con $n$ elementos, las permutaciones de los elementos de $A$ son las funciones biyectivas de $\set{1,\dotsc,n}$ en $A$. Al número de permutaciones de los elementos de un conjunto con $n$ elementos, lo denotaremos por $P_{n}$, es decir, dado $A=\set{a_1,\dotsc ,a_n}$ un conjunto con $n$ elementos

$P_{n}=\#\set{f\mid f:\set{1,\dotsc, n}\to \set{a_1,\dotsc ,a_n}, con\\\ f \\\ biyectiva}.$

Teorema

Sea $n\in \mathbb N^+$, entonces $P_{n}^{m}=n(n-1)\dotsc(1).$

Al número $n(n-1)\dotsc(1)$ se le llama el factorial de $n$ y se le denota por $n!$.

Demostración

Sea $n\in \mathbb N^+$. Dado un conjunto $A=\set{a_1,\dotsc ,a_n}$ con $n$ elementos, las permutaciones de los elementos de $A$ son las funciones biyectivas de $\set{1,\dotsc,n}$ en $A$, pero como mencionamos toda función inyectiva de $\set{1,\dotsc, n}$ en $A$ es también suprayectiva y viceversa, por lo que las permutaciones de los elementos de $A$ son las funciones inyectivas de $\set{1,\dotsc,n}$ en $A$, es decir las ordenaciones de $A$ tomadas de $n$ en $n$. Por lo tanto $P_n=O_{n}^{n}$.

De acuerdo al teorema anterior sabemos que $O_{n}^{n}=n(n-1)\dotsc(n-n+1)=n!.$

Así, $P_n=n!$.

Tarea Moral

1. Entre un grupo de siete personas se debe elegir una mesa directiva con un presidente, un secretario, un vocal y un suplente ¿de cuántas maneras se puede elegir esa mesa directiva?

2. En un concurso participan $30$ alumnos y se decidirá quién se lleva cada uno de los tres primeros lugares ¿cuántos posibles resultados se tienen como ganadores del concurso?

3. i) ¿De cuántas maneras pueden posar tres hombres y dos mujeres en línea para una fotografía de grupo?
ii) ¿De cuántas maneras pueden colocarse en línea si una mujer debe estar en cada extremo?
iii) ¿De cuántas maneras las personas del mismo sexo están juntas?

4. ¿De cuántas maneras podemos acomodar once libros en un estante?

Más adelante

En la siguiente nota continuaremos el estudio de las técnicas de conteo, daremos la definición formal de combinaciones, que son el número de subconjuntos de un conjunto dado.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 21. Conteo, ordenaciones con repetición.

Enlace a la nota siguiente. Nota 23. Combinaciones.