Es de vital importancia conocer el modelo de interés compuesto, así como su fenómeno de acumulación que es el que lo caracteriza, pero también es igual de importante poder conocer la forma en que se puede calcular el valor de hoy, el valor presente de una obligación futura, saber cuánto se deberá pagar en un futuro cierta deuda adquirida el día de hoy, nos permite conocer cuánto se debe de ahorrar el día de hoy para garantizar el pago de dicha obligación. Por ejemplo, si una persona desea adquirir algún bien, una casa, por ejemplo, o una empresa si desea después de cierto tiempo hacer cambio de su mobiliario o de su maquinaria, o de su equipo de cómputo. Todo lo anterior son ejemplo de la utilidad que tiene el saber calcular el valor presente, que como se observa a simple vista, permite encontrar una solución ante todas éstas situaciones.
Valor Presente
Aunque anteriormente ya se había hecho uso, el modelo que describe el fenómeno de valor presente, es el siguiente:
$K=\frac{M}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$ Lo anterior se puede expresar de esa forma porque, recordando una de las leyes de los exponentes $\frac{1}{a^x}=a^{-x}.$ Por lo tanto, el modelo que se va a estudiar es:
$$K=M(1+i)^{-t}.$$
Es una ecuación que ya había sido deducida directamente del modelo de interés compuesto, en el tema anterior, y al ser parte de dicho modelo, las reglas que rigen a la fórmula de interés compuesto, rigen de igual forma a ésta expresión. Es importante señalar que la expresión que se acaba de presentar como Valor Presente, es fundamental en muchos cálculos que se estarán obteniendo, es por ésa razón que a continuación se va a establecer una forma más simplificada de expresarla, la cual es la siguiente:
$$v_1=\frac{1}{1+i}$$
esto es una expresión cuando $t=1.$
Ahora cuando expresamos $t$ de forma general, la expresión queda: $v_i^t=\frac{1}{(1+i)^t}=(1+i)^{-t}.$
Por último, sustituyendo dicha expresión en el modelo de valor presente: $$K=Mv_i^{t}.$$
El motivo de usar una $v.$
Fig. 1.7 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y Aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 36
De acuerdo con la imagen, el valor presente es la función inversa del proceso de acumulación de capital, de manera tal que, mantienen una relación que consiste en, que a mayor tasa de interés corresponde una mayor disminución del valor presente del monto. Además, la imagen anterior muestra el proceso de acumulación en comparación al del valor presente, cada una con sus respectivas expresiones algebraicas que los definen.
Tabla de equivalencias entre periodos
A lo largo de estos temas, se puede hacer notar que cada uno de los negocios, convenios, pactos, préstamos, inversiones, etc. tienen en común que tienen una fecha de vencimiento, una fecha de pago, una fecha de cobro, etc. Entre otras cosas, también aparecen las condiciones en las que se realizará sea cual sea la operación, que como ya se ha visto son: tasa de interés, monto inicial, periodo de tiempo, cada cuando se realizaran los pagos. Debido a lo anterior, es necesario establecer ciertos «convenios» en lo que se refiere a la periodicidad de los pagos, con la finalidad de hacer los cálculos de la forma consistente y que sea aplicable a la realidad que describe el fenómeno que se está estudiando. Con base a lo ya dicho, se presenta a continuación, la siguiente tabla:
Tabla 1.1 Establece la equivalencia en tiempo, con el que se va a estar usando la periodicidad, para fines prácticos. Elaboración propia, basada en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 38.
En la tabla anterior, se establece de forma general el tiempo, para dar a conocer la forma en que se van a estar usando con fines prácticos, sin embargo; es pertinente señalar que cuando se trate de inversiones, por ejemplo, las que manejan los bancos, es necesario hacer uso del total de días que tiene el mes, esto es, 30 o 31 días en algunos meses, ó 28 o 29 en el caso del mes de febrero, esto debido a que los tipos de inversión consideran el pago de intereses el último día de cada mes.
También, es necesario establecer el número de decimales con el cual se estará realizando los cálculos, estos son al menos 5 decimales, con éste último redondeado. Y el resultado final se deberá ser presentado sólo con dos decimales.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Calcular el valor presente o traer a valor presente, a la fecha de hoy, la cantidad de \$2000 que deberán pagarse dentro de un año a una tasa de interés efectiva semestral del 7%.
Solución
Haciendo uso del modelo de valor presente: $v_i^{t}$, Sustituyendo los datos, se tiene: $X=(2000)\frac{1}{(1+.07)^2}$ lo que también es equivalente a escribir:
$X=2000(1+0.07)^{-2}$ Lo que resulta \$1746.8774, una cantidad que es menor a \$2000, esto se debe a que está representando su valor presente, pero de igual forma, si invertimos la cantidad de \$1746.8774 durante un año, justamente se obtendrá el valor de \$2000. Es pertinente hacer mención que no necesariamente el valor presente se debe calcular a la fecha del día de hoy, éste puede ser calculado en cualquier fecha siempre y cuando sea antes de la fecha de vencimiento o del pago de la obligación.
Ejercicio. Para este ejemplo, se va a suponer que el día de hoy es 2 de octubre, y una empresa de ropa tiene contemplado saldar la deuda de un pagaré con un valor de \$85000, con fecha de vencimiento 30 de mayo, del siguiente año. En dicha deuda se acordó una tasa efectiva del 10% anual. Dicha empresa se propone saldar su deuda, aprovechando la temporada decembrina que tiene ventas e ingresos extras, para el día 30 de diciembre.
Solución
Fig. 1.8 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y Aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 37
Suponemos también que no existe ningún tipo de penalización por liquidar la deuda de forma anticipada, en tal caso la ecuación queda: \begin{align*} X&=85000(v_{0.10}^{\frac{5}{12}})\\ X&=85000(1+0.10)^{-\frac{5}{12}}\\ X&=81690.5788\\ \end{align*} Por lo tanto, para liquidar la deuda, se tiene que hacer un pago de \$81690.5788 el 30 de diciembre.
Es importante hacer mención que si no ha transcurrido tiempo en alguna operación, el monto y el valor presente del dinero no sufre cambios, cuando se quiere a traer a valor presente en la misma fecha que debe ser pagado, es decir; Si el día de hoy 26 de septiembre de 2005 (por ejemplo), nos prestan \$10 pesos, y calculamos el valor presente en ésa misma fecha, el resultado será igual \$10.
Ejercicio. Se quiere calcular el monto de una cantidad $X$ durante un tiempo cero, $t=0$ con una tasa de interés $i.$
Solución
Aplicando el modelo de interés compuesto se tiene: $M=X(1+i)^0.$ Recordamos que cualquier potencia elevada a cero nos da un resultado igual a 1, esto es: $a^0=1$, o lo que aplica a nuestro modelo: $(1+i)^0$ Lo cual implica que: $M=X(1+i)^0=X(1)$ $$M=X.$$
Lo anterior, se sigue cumpliendo si ahora queremos calcular el valor presente con los mismos supuestos de un tiempo cero. Esto es: $Xv_i^{t=0}=X(1+i)^0=X(1)=X.$
Más adelante…
A lo largo de estos temas se ha estudiado cómo el dinero modifica su valor con el paso del tiempo, en particular los dos casos que acaban se ser abordados, proceso de acumulación y valor presente. Se ha visto el comportamiento de las tasas efectivas de interés, dentro del modelo de interés simple como de interés compuesto. Un aspecto importante que no se debe de restar importancia, es al fenómeno en el que queremos calcular el valor presente en un tiempo cero, esto es, el mismo día que se emite el préstamo, fecha en la que cual el monto y el valor presente son el mismo. Lo anterior adquiere mucha importancia sobre todo, cuando se construya una ecuación de valor, tema que pronto será abordado.
Siguiendo una estructura análoga a la anterior, procederemos a desarrollar la ecuación que describe la característica central del modelo de interés compuesto: la capacidad de generar intereses adicionales. Además, sentaremos las bases para abordar la aplicación de tasas de interés y establecer relaciones entre ellas, con el propósito de calcular tasas equivalentes.
El interés compuesto representa la segunda modalidad de pago de intereses. Su rasgo distintivo es la generación de nuevos intereses a medida que transcurre el tiempo o cada período específico. Estos intereses recién generados se suman al capital original, que luego comienza a generar intereses por sí mismo, repitiendo este proceso según lo establecido. Similar al modelo de interés simple, los intervalos de tiempo pueden ser mensuales, anuales, trimestrales, semanales, entre otros.
Interés compuesto
El modelo de interés compuesto es ampliamente empleado en contratos comerciales y operaciones financieras en todo el mundo, e incluso está respaldado por la legislación vigente en nuestro país, como lo establece la Ley Federal de Protección al Consumidor.
Para comenzar con su construcción, se propone el siguiente ejemplo:
A una persona les prestan \$100, con una tasa de interés efectiva mensual del 10%, dicho monto al término del primer mes estaría generando \$10 por concepto de interés más los \$100 pesos originales. La parte interesante comienza a ocurrir a partir del segundo mes, en el que los intereses que ya se habían generado durante el primer mes comienzan a generar nuevos intereses invertidos a la misma tasa, esto es:
Monto del periodo anterior $=\$110$
Intereses del segundo periodo $=(\$110)(0.10)=\$11$
Lo que nos da un monto total al final del segundo periodo de \$121. Es importante hacer mención que el $1 que aparece en nuestro último resultado, representa los intereses generados por los nuevos intereses. En la siguiente gráfica se representa con detalle este proceso.
Fig. 1.4 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 24
Ahora bien, se va a construir el modelo general de Interés compuesto:
Fig. 1.5 Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag, 25
El primer periodo comienza con un capital $K$, con una tasa de interés $i$, de tal manera que al final del primer periodo tenemos el capital inicial más los intereses generados durante ése periodo, y nos quedaría una expresión como la siguiente: $M=K+Ki$.
Por consiguiente, el monto del segundo periodo queda como el capital inicial más los intereses obtenidos en el 1er y 2do periodo.
Es importante recalcar que los intereses se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés. Si los intereses generados en el 1er periodo fueron $Ki$, entonces los intereses generados en el segundo periodo se calcularon a partir de la expresión $Kii$. De esta forma, el monto obtenido al final del segundo periodo se representa con la expresión: $M=K+Ki+Ki+Kii$, la cual se reduce a la expresión señalada en la figura 1.5> $M=K(1+i)^2$.
Generalizando la fórmula queda lo siguiente: $M=K(1+i)^t$. En ésta expresión la variable $t$, es la que va a estar representando el número de periodos, el cual va a estar ligados siempre con el «apellido» de la tasa de interés, este es mensual, semanal, diario, etc. como ya en algunos párrafos anteriores se ha hecho mención.
Las reglas para aplicar correctamente este modelo son semejantes a la del modelo de interés simple, con algunas variantes, pero para no dejar ambigüedad alguna se enuncian a continuación:
El valor de las variables $K$ y $M$ se escriben en unidades monetarias, siendo la primera que representa el capital inicial ($K$), mientras que la segunda representa el monto ($M$).
$i$ es la tasa de interés efectiva por periodo, expresada en %, y al realizar cálculos usada al tanto por uno, es decir ya dividida entre 100.
La periodicidad de la tasa determina la unidad de tiempo con la que se va a utilizar la variable $t$, esto es, en años, meses, bimestres, durante el lapso de tiempo acordado que dure la operación.
Siguiendo una lógica similar al modelo de interés simple, en el caso del modelo de interés compuesto, tenemos la capacidad de expresar cualquier variable en función de las otras tres. Es decir, podemos despejar y expresar cualquier variable en términos de las demás.
Por lo anterior podemos establecer que, partiendo del modelo de interés compuesto, $K$ se puede calcular a partir de la siguiente expresión:
$$K=M\frac{1}{(1+i)^t}=M(1+i)^{-t}.$$
Para obtener $i$, se divide entre $K$ la ecuación de interés compuesto, luego se eleva a la potencia $\frac{1}{t}$ y por último se le resta uno, con lo que se llega a:
$$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1.$$
Finalmente, para expresar $t$ es necesario usar algunas propiedades de los logaritmos, como se observa a continuación:
$$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}.$$
Es fundamental destacar una diferencia significativa en comparación con el modelo de interés simple, que, como ya hemos visto, exhibe un comportamiento lineal. Por otro lado, el modelo de interés compuesto muestra un comportamiento geométrico, como se puede apreciar en el siguiente gráfico:
Figura 1.6 Comportamiento del Modelo de Interés Compuesto, Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, Fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, Pag. 27
En la figura 1.6, se muestra un ejemplo de cómo se comporta el modelo de interés compuesto, bajo una inversión de un capital de \$1700 invertido durante 3 años, a una tasa mensual del $12\%$.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. ¿Cuál es el monto que se genera, con un capital inicial de \$2500 y lo queremos invertir con las siguientes tasas de interés, durante los periodos que se indican:
A una tasa del 6.5% anual, durante tres años y 6 meses.
2.4% mensual, luego de haber transcurrido dos años y 8 meses.
5.8% semestral, después de un periodo de 10 meses.
0.04% diario, después de un año con 23 días.
Solución
El monto inicial ($K$), que se va a utilizar es el mismo, el cual es de \$2500, y de igual forma, en todos los casos queremos saber el monto ($M$). Una vez aclarado ese punto, el modelo que vamos a estar usando es el de interés compuesto dado por: $M=K(1+i)^t$. Se sabe que la tasa es una tasa efectiva anual del 6.5%, motivo por el cual la variable $t$ será expresada en años, así mismo, el tiempo que se tiene considerado que dure la operación, es de 3 años con 6 meses. Ahora bien, sustituyendo cada uno de los valores en nuestra ecuación de interés compuesto: \begin{align*} M&=2500(1+0.065)^{3\frac{1}{2}}\\ &=2500(1+0.065)^{3.5}\\ &=3116.47 \end{align*}. Es importante señalar, que el número 3 corresponde a los años completos que dura el acuerdo, mientras que el $\frac{1}{2}$, es por los 6 meses que hacen falta, el cual expresado en años sería un medio. De manera tal que $t=3\frac{1}{2}=3.5$.
Se tiene una tasa efectiva mensual ($i$) de 2.4%, lo cual implica que el tiempo ($t$) que asciende a 2 años 4 meses debe ser expresado en meses, entonces aplicando el modelo: $$M=2500(1+0.024)^{28}=4856.67$$
Análogamente, si la tasa es del 5.8% semestral, el tiempo debe ser expresado en semestres, motivo por el cual $t= 1 semestre + \frac{4}{6} semestre=1+\frac{4}{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}=1.67$, y aplicando el modelo se obtiene: \begin{align*} M&=2500(1+0.058)^{1\frac{4}{6}}\\ &=2500(1+0.058)^{1.67}\\ &=2746.31 \end{align*}
De forma parecida a los incisos anteriores, la tasa efectiva diaria 0.04% ($i$), esto causa que se mida en días la variable $t$, y se va a considerar que en un año se tiene 365 días, lo cual implica: $t=365 +23 días=386 días$, luego entonces nos da el siguiente resultado al aplicar el modelo de interés compuesto $$M=2500(1+0.0004)^{365+23}=2500(1+0.0004)^{386}$$
Ejercicio. Calcula la tasa de interés anual, que se necesita calcular para los siguientes incisos:
Monto inicial de \$1 500, durante un año genera un monto de \$1 800.
Monto inicial de \$27 500, que durante un lapso de un año y cinco meses genera \$30500.
Monto inicial de \$22 000, durante un lapso de 7 semestres con 5 meses, genera un monto total de \$25 000.
Solución
A partir del modelo de interés compuesto, con el que se ha estado trabajando, se sabe que contamos con el valor de las variables $K$, $M$ y $t$. Por lo anterior, se va a hacer uso de la siguiente expresión que anteriormente ya se había deducido: $$i=\frac{(M)}{(K)}^{\frac{1}{t}}-1$$
Sustituyendo cada uno de los valores de la expresión anterior, se tiene: $i=(\frac{1800}{1500})^1-1=0.2$ lo cual implica que la tasa de interés es $i=20\%$
Análogamente al ejercicio anterior, se tiene: \begin{align*} i&=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1+\frac{5}{12}}-1\\ &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{\frac{17}{12}}-1\\ &=\left(\frac{30500}{27500}\right)^{1.416}-1\\ &=0.15 \end{align*} Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=15\%$
En este caso se debe observar que un año tiene 2 semestres, por lo que la cantidad de 7 semestres, tiene 3.5 años. Luego se debe agregar a éste resultado 5 meses que es el equivalente a \frac{5}{12}. Por lo anterior ahora sí sustituimos los valores de cada una de las variables, lo cual nos da: \begin{align*} i&=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{7}{2}+\frac{5}{12}}-1\\ &=\left(\frac{25000}{22000}\right)^{\frac{47}{12}}-1\\ &=0.64 \end{align*} Por lo tanto, el valor de la tasa de interés es: $i=64 \%$
Ejercicio. Dado un capital inicial de \$1200 pesos, un monto total de \$3500, con una tasa efectiva trimestral de 3.77%, calcular $t$.
Solución
La ecuación que se aplicará para este caso es la siguiente: $$t=\frac{\log M-\log K}{\log(1+i)}$$ Sustituyendo cada una de las variables que se conocen, nos queda: \begin{align*} t&=\frac{\log 3500-\log 1200}{\log(1+0.0377)}\\ &=\frac{0.464886}{0.016071}\\ &=28.92554 \end{align*}
Es importante señalar que el resultado está dado en trimestres, puesto que la tasa con la que se están realizando los cálculos es efectiva trimestral. Por otra parte cada año tiene 4 trimestres, entonces cuando el resultado excede a 4, entonces la cifra expresada en años, se obtiene del resultado de $t=28.92554$ el cual, se divide entre 4, entonces se tiene $\frac{28.92554}{4}=7.231385$ de donde se obtienen los 7 años. Ahora como no se suele expresar 0.231385 meses, lo que se va a hacer es multiplicar por 12(porque el año tiene 12 meses), esto es: $(0.231385)(12)=2.77662$ que es de dónde se obtienen los 2 meses. Por último para saber los días, multiplicamos la cifra de (77662)(30) por que un mes tiene 30 días, hacemos uso de la cifra de $(0.77662)(30)=23.2986$, resultado a partir del cual se obtiene el dato de los 23 días. Por lo tanto, el resultado obtenido se interpreta como 7 años, 2 meses y 23 días.
Más adelante…
En este tema, se abordó el modelo de Interés compuesto, mediante el cual se observa el fenómeno mediante el cual, una cantidad de dinero invertida, prestada o depositada en alguna institución bancaria, nos genera intereses con el paso del tiempo, y no sólo eso, sino que, en el caso particular del interés compuesto, los intereses generan más intereses. Éste proceso que se acaba de estudiar de forma implícita es conocido también como acumulación. Con éste modelo nos da una herramienta muy importante para poder tomar mejores decisiones respecto al uso de los recursos que se tienen de manera personal, comercial, social, etc. porque nos sirve para saber cuánto se puede llegar a ahorrar en el caso de querer adquirir un bien o servicio, o unas vacaciones, o comprar un vehículo. En otro caso, cuánto se va a tener que pagar por un cierto préstamo, o incluso cuánto se requiere tener para llevar a cabo un proyecto que requiere cierto financiamiento (es un tipo de préstamo que permite tener recursos, por ejemplo, inversionistas) para conocer cuánto es lo que se va a deber en el futuro.
En el siguiente capítulo, se abordará el proceso inverso que acabamos de estudiar, esto es, describir la metodología que nos permita conocer el valor que al día de hoy tiene una obligación futura, fenómeno que dentro de las Matemáticas Financieras se le conoce como Valor Presente.
A lo largo de este capítulo, exploraremos el origen del concepto de pago de intereses y rastrearemos la evolución de los modelos matemáticos que describen los fenómenos de interés simple y compuesto. Abordaremos conceptos clave como el valor presente, tasas efectivas, tasas nominales, tasas instantáneas y sus características individuales. Además, examinaremos las interrelaciones entre estos conceptos. Al comprender estos fundamentos, obtendremos el conocimiento necesario para calcular tasas equivalentes.
Estos conceptos son fundamentales en el campo de las Matemáticas Financieras y proporcionan las herramientas esenciales para desarrollar modelos más complejos que resuelvan problemas cotidianos en diversos ámbitos de la sociedad. Esto incluye situaciones como préstamos entre individuos, transacciones comerciales entre empresas y actividades gubernamentales en todos los sectores de la economía. La falta de comprensión de estos modelos puede tener un impacto directo en la situación financiera de cada individuo.
Antecedentes
El nacimiento de las Matemáticas Financieras está estrechamente ligado al desarrollo del comercio. A lo largo de miles de años y en diversas culturas como la fenicia, hebrea, griega, egipcia y china, ha sido una práctica común y equitativa recibir una compensación cuando una persona presta un bien, servicio o una suma de dinero a otra persona. Este pago de compensación, a menudo denominado interés, se fundamenta en el hecho de que el prestamista está cediendo temporalmente su propiedad a favor del prestatario. Durante este período, el prestamista se priva del uso de ese bien, lo que justifica recibir una recompensa que compense esta privación.
En términos simples, el interés es el costo que se incurre al hacer uso de los recursos ajenos. Para el propósito de nuestro estudio, la mayoría de las veces, estos recursos serán dinero.
El objetivo principal de las Matemáticas Financieras es desarrollar modelos matemáticos que describan este fenómeno social que hemos mencionado. Para lograrlo, examinaremos cómo se realizan los pagos de intereses y analizaremos las variables involucradas en esta actividad, considerando cómo interactúan a lo largo del tiempo.
En un préstamo típico, se pueden identificar dos actores principales: el prestamista (quien presta el bien o el dinero) y el prestatario (también conocido como acreditado, que recibe el préstamo). La compensación que regularmente se conoce como intereses.
El fenómeno que vamos a estudiar implica que una persona presta dinero a otra durante un período determinado, y durante ese tiempo, la persona que recibe el préstamo debe pagar una cierta cantidad de intereses al prestamista. A partir de esto, podemos identificar las siguientes variables clave:
Figura 1.1 Elaboración propia basado en Cánovas T., 2004, Matemáticas Financieras Fundamentos y Aplicaciones, pág. 14
Donde:
$K$ es el valor del bien, dinero o capital, prestado o invertido.
$i$ es la tasa de interés que el prestamista y el prestatario han acordado como compensación o premio por el capital prestado y recibido. Cabe hacer mención que generalmente se manejan las tasas de interés en términos de porcentaje (%), con el objeto de generalizar y de simplificar, la determinación del interés por pagar. La tasa de interés se define como: la proporción que por unidad de capital y de tiempo, habrá de pagarse por disfrutar de un préstamo. En dicha tasa se debe de establecer la periodicidad con la cual se va a estar pagando, esto es, anual, mensual, semanal, diaria, instantánea, etc.
$I$ representa los intereses, en dinero, que recibirá el prestamista por el capital prestado o invertido y que resultan de multiplicar la tasa de interés $i$, expresada en porcentaje, por el capital $K$, es decir $Ki$.
$M$ es la suma del capital invertido más los intereses ganados, esto es; $K+I$, y se le conoce con el nombre de monto.
$t$ es el tiempo, plazo o duración que dure la operación. Es decir, el tiempo total que han convenido el prestamista y el prestatario para que este último disfrute del préstamo. Es importante señalar que las unidades de tiempo $t$, estarán dadas de acuerdo con la periodicidad con la que se pague la tasa. Si la tasa es mensual y el préstamo es a un año, entonces t tendrá un valor de 12, que equivale al número de meses que tiene un año.
Las Matemáticas Financieras, tienen por objeto estudiar la relación que hay entre las variables anteriores, y construir modelos que expliquen y describan dicho fenómeno del pago de intereses, cuya representación gráfica se muestra a continuación:
Figura 1.1 Elaboración propia basado en Cánovas T., 2004, Matemáticas Financieras Fundamentos y Aplicaciones, pág. 15
Tenemos entonces:
$K=$ Capital
$i =$ tasa de Interés
$M =$ Monto (Capital prestado más los intereses)
$t =$ Tiempo
$I =$ Intereses (Capital multiplicado por la tasa de interés acordada)
Es importante señalar, que el «apellido» inseparable del valor de la «tasa» es la temporalidad o periodicidad con que deberá ser pagada, de tal forma que no quede duda de cada cuándo se realizará el negocio.
Por ejemplo, imaginemos que una persona A le presta dinero a una persona B de \$1000, y en compensación B le pagará \$100 pesos por concepto de intereses al mes. Ante tal situación la cantidad a pagar después de haber transcurrido dicho mes es de \$1100. Lo anterior lo podemos expresar como:
\$1000 que es el capital originalmente prestado, es decir el valor de $K$
\$1100 qué es valor de $M =$ La suma del capital más los intereses.
\$1100 – \$1000 = \$100 es la cantidad de intereses generados durante un mes.
Para determinar la tasa de interés efectiva por periodo, esto es, la proporción de intereses ganados por unidad de capital y tiempo, dividimos los intereses ganados entre el capital. Esto se puede escribir como:
Es decir, el interés obtenido es equivalente al 10% efectivo mensual. La palabra efectivo o efectiva se utiliza para especificar la tasa a la que califica, y corresponde a la que se pagará por unidad de capital y tiempo.
Como se ha mencionado previamente, la periodicidad de la tasa determina la frecuencia con la que se pagarán los intereses. Estos pagos pueden realizarse a discreción, ya sea cada hora, diariamente, mensualmente, semestralmente, anualmente, cada cinco años, u otras opciones.
Además de los actores y las variables que influyen en cualquier transacción financiera, existe un último elemento digno de análisis: la elección con respecto al destino de los intereses, es decir, si se reinvierten o no.
Por otro lado, el término «efectiva» cumple la función de diferenciar este tipo de tasas de otras denominadas «nominales», que operan de manera distinta, como se detallará más adelante.
Estas dos alternativas se conocen como interés compuesto (cuando los intereses generan nuevos intereses) e interés simple (cuando los intereses no generan nuevos intereses).
A continuación, se va a construir el modelo sobre el interés simple.
Interés Simple
Se abordará este tema con fines comparativos, dado que, en la actualidad, el modelo de interés simple tiene una aplicación cada vez más limitada.
Una de las características clave de este modelo es que los intereses generados por el capital no generan intereses adicionales.
Supongamos que una persona A le presta a una persona B \$100.00 y pactan una tasa de interés del 10% mensual. Una vez transcurrido el primer mes, la persona B le tiene que pagar a la persona A un rendimiento de \$10.00 por concepto de intereses, proceso que se repetirá hasta que se termine el plazo que hayan acordado entre ambas partes involucradas para regresar el dinero prestado. Vamos a suponer que el tiempo acordado es de 5 meses. Esto implica que al final del segundo mes, la persona B tendrá que realizar el pago de los siguientes intereses, los cuales ascienden a nuevamente otros \$10.00.
Dicho proceso se irá repitiendo exactamente igual durante los siguientes 3 meses, de tal forma que la persona B habrá pagado a la persona A una cantidad total de \$50.00 de intereses. Entonces, el capital más los intereses sumarían una cantidad de \$150.00
Observemos que, si al final de cada mes la persona B le paga los intereses a la persona A, dichos intereses no generan nuevos intereses, dichos intereses ya están en manos de la persona A, motivo por el cual ya no tienen por qué seguir cobrando intereses a la persona B por una cantidad que ya no adeuda.
Sin embargo, puede darse el caso que la persona A haya convenido con la persona B, que la cantidad generada por motivo de intereses (\$50.00), la pagará al final de los 5 meses a la tasa convenida del 10% mensual y que, además, la operación se realizaría bajo el modelo de interés simple. En dicho caso, la cantidad que se genera a partir del concepto de intereses será conservada por parte de la persona B, hasta el término del plazo pactado.
En dicho caso, se observa que la cantidad generada por concepto de intereses sigue estando en manos de la persona B, entonces esto implicaría que dicha persona debería también pagar intereses sobre esos intereses. Sin embargo, esto no ocurre así, dado que la operación se está realizando bajo el modelo de interés simple y, por ello, la persona sólo pagará al final de los 5 meses el capital prestado (\$100) más la suma aritmética de los intereses mensuales (\$50).
Es aquí donde surge la diferencia entre el modelo de interés simple y el compuesto. En el primer caso los intereses no generan nuevos intereses, aunque no se hayan pagado; mientras que, en el segundo, si los intereses no se pagan, pasarían a formar parte del capital prestado y producirían nuevos intereses.
Figura 1.3 Se representa de forma generalizada la construcción del modelo de interés simple.
En la figura 1.3 se observa que en el modelo del interés simple la recta horizontal representa el tiempo, la cual está seccionada en partes iguales que son los periodos en que los intereses serán pagados. El número de periodos está determinado por la temporalidad o periodicidad de la tasa de interés, si la tasa es efectiva mensual, los periodos serán meses, si es anual serán años, y así sucesivamente según sea el caso.
Al final de cada periodo (en este caso al final de cada mes), se describen los cálculos que se realizan para determinar el monto alcanzado hasta esa fecha, por ejemplo, el monto final del segundo periodo está dado por el monto del periodo inmediato anterior $M = K(1+i),$ más los intereses devengados por el capital del original durante el segundo periodo, el cual es: $M = K(1+2i)$.
También en la figura 1.3 se muestran las operaciones para calcular el monto final de los periodos restantes, que como se puede apreciar, siguen un comportamiento análogo al que se ha estado utilizando para calcular los montos anteriores.
Con base en lo anterior, se puede deducir, que el modelo de interés simple para calcular el monto para el periodo t está representado por:
$$M=K(1+it).$$
Si hacemos uso de esa fórmula y la aplicamos en el ejemplo anterior, pero modificando el periodo de 5 meses a 7, el resultado que se tendría luego de haber transcurrido dicho plazo es:
Es de gran relevancia mencionar las características de las variables que aparecen en la fórmula de interés simple, las cuales son:
Los valores que tienen las variables $M$ y $K$ son unidades monetarias (pesos, dolares, etc).
La tasa de interés $i$ es en términos porcentuales (%), sin embargo, para fines prácticos será utilizada al tanto por uno, esto es ya dividida entre 100.
La variable $t$ corresponde al tiempo al cual está determinado siempre por la periodicidad que esté manejando la tasa de interés. Si la tasa es mensual, la variable $t$ será establecida en meses.
Despejar otras variables de la fórmula de interés simple
A partir de la ecuación que se obtuvo para describir el modelo de interés simple, es posible hacer el cálculo de las demás variables expresándolas en términos de las demás, esto es, calcular las variables $K, i,$ y $t$ realizando los despejes que a continuación se ilustran.
Para obtener el valor de la variable $K$ tenemos:
$$K=\frac{M}{(1+it)}.$$
Para expresar el valor de la tasa de interés $i$:
Partiendo de la expresión original, lo primero que debe hacerse es dividir entre $K$ ambos lados de la ecuación:
$$\frac{M}{K}=\frac{(1+it)}{K},$$
Luego, restar 1 de ambos lados de la ecuación:
$$\frac{M}{K}-1=it.$$
$$it=\frac{M-K}{K}.$$
Y, por último, dividir entre $t$ ambos lados de la ecuación:
$$\frac{it}{t}=\frac{M-K}{Kt}$$
$$i=\frac{M-K}{Kt}.$$
Ahora, para obtener $t$, se aplica el mismo razonamiento, para llegar a la siguiente expresión:
$$t=\frac{M-K}{Ki}.$$
Con esto se puede concluir que, es posible obtener el valor de cualquier variable, a partir de conocer las otras 3. De forma gráfica, el modelo de interés simple queda descrito por una línea recta, tal y como se representa en la figura 1.4:
Figura 1.4. Comportamiento del Modelo de Interés Simple
En donde, se observa que el eje $y$ representa el monto acumulado $M$, mientras que el eje de las $x$ representa el tiempo $t$, y la pendiente de la recta descrita representa el crecimiento del monto a través del tiempo, lo que equivale a la expresión $Ki$.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Si sabemos que el capital inicial es \$2000 y la tasa de interés es de 8% mensual, ¿Cuánto es el monto que obtendremos después de 5 periodos, con el modelo de interés simple?
Solución
Solución. Usando la fórmula sería:
$M=K(1+it)$
donde:
$K=\$2000$
$i=8\%=0.08$ mensual
$t=5$ meses
Sustituyendo cada uno de los valores de las variables en nuestro modelo de interés simple, nos queda:
$M=K(1+it)=2000[1+(0.08)(5)]=2800$
La respuesta es: Obtendremos un monto de $\$2800$.
Ejercicio. Una persona prestó \$3000 a otra que ofrece pagarle \$6000 después de 6 meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual que se está ganando?
Solución
Para este problema necesitaremos la fórmula $M=K(1+it)$.
Sustituyendo los valores que nos han proporcionado tenemos:
$6000=3000[1+i(0.5)]$
Usando la ecuación que obtuvimos para encontrar la tasa de interés, nos queda:
Observación. Por ser una tasa anual, y al tener un plazo de 6 meses, tenemos que considerar la mitad de dicha tasa, ya que es la mitad del año.
Por lo tanto el resultado es: Se está pagando una tasa de interés del 200%.
Ejercicio. ¿Cuánto debo invertir?, para que dentro de 1 año, bajo el modelo de interés simple, obtenga una cantidad \$10000, si el banco me paga una tasa del 5% mensual.
Solución
De nuestra ecuación de interés simple, directamente vamos a utilizar la ecuación que deducimos previamente:
$$K=\frac{M}{(1+i)}$$
Sustituyendo cada uno de los datos tenemos:
$$K=\frac{10000}{(1+(0.05)(12))}$$
Entonces se tendría que invertir la cantidad de \$6250.
Más adelante…
En esta entrada hemos discutido los antecedentes de las matemáticas financieras, abordando el tema del interés simple, su proceso de construcción, y finalmente deducimos la ecuación que describe este fenómeno. También exploramos el concepto de interés simple y presentamos algunos ejercicios resueltos. Aunque el interés simple es intrigante, en muchas ocasiones deseamos no solo reinvertir el capital inicial, sino también los intereses acumulados. Esto nos lleva al próximo tema que exploraremos en la siguiente entrada: el concepto de interés compuesto.
