Introducción

En la entrada anterior vimos una introducción a los homomorfismos y algunas propiedades. Ahora sabemos que un homomorfismo es una función $\phi :G\to \overline{G}$ entre dos grupos $(G,\ast )$ y $(\overline{G},\overline{\ast })$, que respeta las operaciones, es decir, que para todas $a,b\in G$, $\phi (a\ast b)=\phi (a)\overline{\ast }\phi (b)$. A partir de ahora simplificaremos la notación y escribiremos simplemente la condición anterior como: para todas $a,b\in G$, $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ (a menos que haya ambigüedad respecto a qué operación se está usando en cada caso).

En esta entrada, continuaremos dando algunas propiedades de los homomorfismos, en particular veremos cómo se comportan con las potencias de elementos del grupo y, en seguida, cómo se comparan el orden de un elemento y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.

Homomorfismos y la potencia

Dado que el homomorfismo respeta el producto, se va a comportar bien con las potencias.

Proposición. Sean $G,\overline{G}$ grupos, $\phi :G\to \overline{G}$ un homomorfismo. Entonces,

1. $\phi (e_G)=e_{\overline{G}}$.
2. $\phi (a^{-1})={(\phi (a))}^{-1}$ para toda $a\in G$.
3. $\phi (a^n)={(\phi (a))}^n$ para toda $a\in G$ y para toda $n\in \mathbb{Z}$.

Demostración.

Sean $G,\overline{G}$ grupos y $\phi :G\to \overline{G}$ un homomorfismo.

P.D. $\phi (e_G)=\phi e_{\overline{G}}$.

Por un lado tenemos que $\phi (e_g)e_{\overline{G}}=\phi (e_G)$ porque $e_{\overline{G}}$ es el neutro de $\overline{G}$. Por otro lado tenemos que $\phi (e_G)=\phi (e_G{e}_G)$ porque $e_G$ es el neutro de $G$, y $\phi (e_G{e}_G)=\phi (e_G)\phi (e_G)$ porque $\phi$ es un homomorfismo.

Entonces tenemos

$$\begin{array}{rl}& \phi (e_g)e_{\overline{G}}=\phi (e_G)=\phi (e_G)\phi (e_G).\end{array}$$

Cancelamos $\phi (e_G)$, y obtenemos
$$\begin{array}{r}{e}_{\overline{G}}=\phi (e_G).\end{array}$$

Sea $a\in G$.
P.D. $\phi (a^{-1})={(\phi (a))}^{-1}$.

Por un lado tenemos que $\phi (a){(\phi (a))}^{-1}=e_{\overline{G}}$.

Por el inciso anterior, tenemos que $e_{\overline{G}}=\phi (e_G)=\phi (a{a}^{-1})$ y como $\phi$ es un homomorfismo, tenemos que $\phi (a{a}^{-1})=\phi (a)\phi (a^{-1})$.

Entonces tenemos que $\phi (a){(\phi (a))}^{-1}=\phi (a)\phi (a^{-1})$, donde podemos cancelar $\phi (a)$:

$$\begin{array}{rl}& \phi (a){(\phi (a))}^{-1}=\phi (a)\phi (a^{-1})\\ & \Rightarrow {(\phi (a))}^{-1}=\phi (a^{-1}).\end{array}$$

Sea $a\in G$.
P.D. $\phi (a^n)={(\phi (a))}^n$ para toda $a\in G$ y $n\in \mathbb{Z}$.
Demostraremos primero el resultado para $n\in \mathbb{N}$ por inducción sobre $n$.

Sea $n=0$.

Entonces, por el inciso 1,
$$\begin{array}{r}\phi (a^0)=\phi (e_G)=e_{\overline{G}}=(\phi (a){)}^0.\end{array}$$

Sea $n\ge 0$.
Para nuestra hipótesis de inducción, supongamos que $\phi (a^n)=(\phi (a){)}^n$.

Por la definición de potencia,
$$\begin{array}{r}\phi (a^{n+1})=\phi (a^{n}a).\end{array}$$

Luego, como $\phi$ es un homomorfismo,
$$\begin{array}{rl}\phi (a^{n}a)& =\phi (a^n)\phi (a)\\ & =(\phi (a){)}^n\phi (a)& \text{Por H.I.}\\ & =(\phi (a){)}^{n+1}& \text{Por la definición de potencia}\end{array}$$

Por lo tanto $\phi (a^n)=(\phi (a){)}^n$ para toda $n\in \mathbb{N}$.

Finalmente, si $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
$$\begin{array}{rl}\phi (a^{-n})& =\phi ((a^n{)}^{-1})\\ & =\phi ((a^n){)}^{-1}& \text{Por el inciso 2}\\ & =((\phi (a){)}^n{)}^{-1}& \text{Por lo probado anteriormente}\\ & =(\phi (a){)}^{-n}\end{array}$$

Por lo tanto $\phi (a^m)=(\phi (a){)}^m$, para toda $m\in \mathbb{Z}$.

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Homomorfismos y el orden

Corolario. Sean $G,\overline{G}$ grupos, sea $\phi :G\to \overline{G}$ un homomorfismo.
Si $a\in G$ es de orden finito, $\phi (a)$ también lo es y $o(\phi (a))|o(a)$. Es decir, el orden de $\phi (a)$ divide al orden de $a$.
Más aún, si $\phi$ es un isomorfismo, entonces $o(\phi (a))=o(a)$.

Demostración.
Sean $G,\overline{G}$ grupos, $\phi :G\to \overline{G}$ un homomorfismo y sea $a\in G$ de orden finito.

Ahora, usamos las propiedades de $\phi$ para obtener las siguientes igualdades.

$$\begin{array}{r}\phi (a{)}^{o(a)}=\phi (a^{o(a)})=\phi (e_G)=e_{\overline{G}}.\end{array}$$

Esto nos dice que $\phi (a)$ es de orden finito. Esto no significa que $o(a)$ es el orden de $\phi (a)$, pero sí se sigue, por las propiedades del orden de un elemento, que $o(\phi (a))|o(a)$.

Ahora, si $\phi$ es un isomorfismo, ${\phi }^{-1}$ también, así que por lo antes probado $o({\phi }^{-1}(b))|o(b)$ para todo $b\in \overline{G}$; en particular, para $b=\phi (a)$ se tiene que $o({\phi }^{–1}(\phi (a)))|o(\phi (a))$. Entonces,
$$\begin{array}{r}o(a)=o({\phi }^{–1}(\phi (a)))|o(\phi (a))\end{array}$$

Por lo tanto $o(\phi (a))=o(a)$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo.

Por último, veamos un ejemplo para ilustrar las propiedades que acabamos de ver.

Sea $G$ un grupo, $a\in G$ de orden finito.

Dado $g\in G$ sabemos que
$$\begin{array}{r}{\gamma }_g:G\to G\text{con}{\gamma }_g(x)=gx{g}^{-1}\mathrm{\forall }x\in G\end{array}$$

es un isomorfismo.

Así, ${\gamma }_g(a)$ es de orden finito y $o({\gamma }_g(a))=o(a)$. Entonces, $ga{g}^{-1}$ es de orden finito y $o(ga{g}^{-1})=o(a)$.

Así, elementos conjugados tienen el mismo orden.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Sean $G$ y $\overline{G}$ grupos y $X\subseteq G$ tal que $G=⟨X⟩.$ Sea $\phi :X\to \overline{G}$ una función. ¿Qué se requiere para poder extender $\phi$ a un homomorfismo $\psi :G\to \overline{G}$? En ese caso ¿de cuántas formas se pueden extender?
2. Describe, si es que existen, todos los homomorfismos:
   • de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$
   • de ${\mathbb{Z}}_{12}$ en ${\mathbb{Z}}_5$
   • de $\mathbb{Z}$ en ${\mathbb{Z}}_8$
   • de ${\mathbb{Z}}_{12}$ en ${\mathbb{Z}}_{14}$
3. Determina si los siguientes grupos son isomorfos
   • $Q$ y $D_{2(4)}$
   • $(SO(2,\mathbb{R}),\cdot )$ y $(S^1,\cdot )$
   • $(\mathbb{Z}[x],+)$ y $({\mathbb{Q}}^{+},\cdot )$

Más adelante…

Los resutados mostrados en esta entrada no son más que consecuencias lógicas a lo que establecimos en la entrada anterior. Es importante recalcarlos, pero es claro que si un homomorfismo se comporta bien con el producto, se va a comportar bien con la potencia y por ende, con el orden de un elemento.

En la siguiente entrada, definiremos nuevos conceptos relacionados con los homomorfismos, como el núcleo de un homomorfismo y la proyección canónica.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo.
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