Introducción

Ya vimos qué es el orden de un elemento y el grupo cíclico generado por ese elemento. En esta entrada veremos a qué se le denomina el orden de un grupo, que en realidad es un concepto que ya conoces.

Primero repasemos cómo es el conjunto generado por $a$, éste se puede describir así:

$\{\dots ,a^{-2},a^{-1},e,a^1,a^2,\dots \}$.

En esa sucesión de potencias de $a$, si el elemento $a$ tiene orden finito, eventualmente encontraremos $a^{o(a)}$. Por la entrada anterior sabemos que $o(a)$ es el mínimo entero positivo tal que $a^{o(a)}=e$. Entonces, $a^{o(a)+1}=ea=a$. Esto nos puede indicar que en algún momento la sucesión se volverá a repetir. Entonces el rango que no tiene repeticiones sería el siguiente:

$e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}$.

A continuación formalizaremos esta idea, definiremos el orden de un grupo y relacionaremos el orden de un elemento con el orden del grupo generado por éste.

Definición de orden de un grupo

Definición: Sea $G$ un grupo. El orden de $G$ es la cardinalidad del conjunto $G$ y se denota por $|G|$.

Teorema: Sean $G$ un grupo y $a\in G$ un elemento de orden finito. Entonces

$|⟨a⟩|=o(a)$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a\in G$ de orden finito.

Considera que $e$ es el neutro en $G$. Primero veamos que

$\begin{array}{r}⟨a⟩=\{e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}\}\end{array}$.

$\subseteq ]$
Sea $x\in ⟨a⟩$, entonces existe algún $k\in \mathbb{Z}$ tal que $x=a^k$.
Por el algoritmo de la división existen $q,r\in \mathbb{Z}$ tales que

$k=o(a)q+r$ con $0\le r<o(a)$.

Entonces, sustituyendo el valor de $k$,

$x=a^k=a^{o(a)q+r}$.

Si seguimos realizando operaciones con los exponentes, obtenemos:

$\begin{array}{rl}{a}^{o(a)q+r}& =(a^{o(a)}{)}^q{a}^r\\ & =e^q{a}^r& \text{ por la definición de orden}\\ & =e{a}^r& \text{ya que }e\text{ es el neutro}\\ & =a^r& \text{ya que }e\text{ es el neutro}\end{array}$

es decir, $x=a^r$ para algún $r\in \mathbb{Z}$, con $0\le r<o(a)$. Entonces

$x\in \{e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}\}$.

Hemos demostrado así la primera contención.

$\supseteq ]$

Esta contención es más sencilla porque claramente

$\{e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}\}\subseteq \{\dots ,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\dots \}$.

Y como $⟨a⟩=\{a^k\mid k\in \mathbb{Z}\}=\{\dots ,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\dots \}$, se cumple la segunda contención y con ella la igualdad de conjuntos.

Todavía nos falta un detalle. Hasta ahora sabemos que

$\begin{array}{r}⟨a⟩=\{e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}\}\end{array}$

pero nada nos asegura que $|\{e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}\}|=o(a)$, es decir que tenga tantos elementos como el orden de $a$. Esto lo probaremos viendo que no existen elementos repetidos.

Supongamos que $a^i=a^j$ para $i,j\in \{0,1,\dots ,o(a)-1\}$, supongamos sin pérdida de generalidad que $i\le j$.

Multiplicando ambos lados por $(a^i{)}^{-1}$ obtenemos,

$\begin{array}{rl}{a}^i(a^i{)}^{-1}& =a^j(a^i{)}^{-1}\\ e& =a^{j-i}.\end{array}$

Entonces, $e=a^{j-i}$, pero, por la elección de $i$ y de $j$ sabemos que $0\le j–i<o(a)$. Entonces, debido a la definición de $o(a)$ esto sólo es posible si $j-i=0$, es decir $j=i$.

Así $⟨a⟩=\{e,a,a^2,\dots ,a^{o(a)-1}\}$ tiene $o(a)$ elementos. Por lo tanto

$|⟨a⟩|=o(a)$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Un pequeño ejemplo

Ejemplo.
Recordemos que de acuerdo a lo que se definió en un ejemplo de la entrada anterior tenemos que $U({\mathbb{Z}}_7)$ consiste de todas las clases módulo 7 que tienen inverso multiplicativo, es decir $U({\mathbb{Z}}_7)=\{\overline{n}\in {\mathbb{Z}}_7\mid (n,7)=1\}$. Tenemos que $U({\mathbb{Z}}_7)=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}$. Sabemos que este conjunto es un grupo con la multiplicación. Observemos que en los enteros módulo 7 no todas las clases tienen inverso multiplicativo, sólo aquellas representadas por primos relativos con 7, por eso $\overline{0}$ no está en nuestro conjunto $U({\mathbb{Z}}_7)$.

Podemos hacer algunas operaciones:

• $(\overline{4}{)}^2=\overline{4^2}=\overline{16}=\overline{2}$, en este caso $(\overline{4}{)}^2$ no es el neutro, entonces intentemos lo siguiente:
• $(\overline{4}{)}^3=(\overline{4}{)}^2\overline{4}=\overline{2}\overline{4}=\overline{8}=\overline{1}$, así $o(\overline{4})=3$.

Por lo tanto, $⟨\overline{4}⟩=\{\overline{1},\overline{4},(\overline{4}{)}^2\}=\{\overline{1},\overline{4},\overline{2}\}$ , así $\left|⟨\overline{4}⟩\right|=3$.

Consecuencias

Hasta ahora hemos visto que la cantidad de elementos que hay en el generado por $a$, es decir $⟨a⟩$, está definido por el orden de $a$, denotado por $(o(a))$. En consecuencia tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $G$ un grupo y $a\in G$. Tenemos que $a$ es de orden finito si y sólo si $⟨a⟩$ es un conjunto finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $a\in G$.

$|\Rightarrow )$ Si $a$ es de orden finito, por el primer teorema que probamos en esta entrada,

$|⟨a⟩|=o(a)\in {\mathbb{Z}}^{+}$

$\therefore$ $|⟨a⟩|$ es finito.

$|\Leftarrow )$ Si $⟨a⟩$ es un conjunto finito, entonces
$\{\dots ,a^{-1},e,a^1,a^2,\dots \}$ tiene repeticiones.

Sean $i,j\in \mathbb{Z}$ con $i\ne j$ tales que $a^i=a^j$.
Sin pérdida de generalidad supongamos que $i<j$. Multiplicando por $(a^i{)}^{-1}$ en ambos lados,

$\begin{array}{rl}{a}^i(a^i{)}^{-1}& =a^j(a^i{)}^{-1}\\ e& =a^{j-i}\end{array}$

con $j-i\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Por lo tanto $a$ es de orden finito.

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Corolario. Todo elemento de un grupo finito es de orden finito.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito y $a\in G$.

Como $⟨a⟩\subseteq G$ y $G$ es finito, entonces $⟨a⟩$ también es finito por el corolario anterior $a$ es de orden finito.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Tarea moral

1. Considera $G=⟨a⟩$ un grupo cíclico infinito:
   1. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elemento a $a^4$.
   2. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^4$ y a $a^6$.
   3. Encuentra el subgrupo de $G$ con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a $a^4$ y a $a^9$.
   4. ¿Son cíclicos? Si lo son, encuentra un generador.
2. Sea $G$ un grupo finito. Sea $S$ el subgrupo de elementos $g$ tales que $g^5=e$, donde $e$ es el elemento neutro de $G$. Prueba que el orden de $S$ es impar.
   Hint: si $G$ es un grupo, $a\in G$ y existe $p\in \mathbb{Z}$ primo tal que $a^p=e$, entonces $o(a)=p$.
3. ¿Es posible que exista un grupo infinito tal que cada elemento sea de orden finito? De ser cierto, da un ejemplo. En caso contrario prueba que. no existe tal grupo.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos más resultados y consecuencias que se derivan de todas las definiciones que hemos dado.

Entradas relacionadas

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