(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Bienvenido al curso de Álgebra Moderna I. Antes de comenzar de lleno con el tema principal del curso, los grupos, es necesario sentar ciertas bases, así que en esta primera entrada comenzaremos con la definición de una operación binaria.

El objetivo de una operación binaria, como dice su nombre, es tomar dos elementos de un conjunto, operarlos y obtener un resultado que también pertenezca al mismo. La suma (+) y la multiplicación (•) de números reales son operaciones binarias que conocemos desde hace tiempo. Además de ellas, veremos ejemplos de varias operaciones binarias definidas en diversos conjuntos, no sólo en los reales.

¿Qué es una Operación Binaria?

Como mencionamos en la introducción, la operación binaria es una función que toma dos elementos de un conjunto y devuelve un elemento del mismo. Formalmente escrito, quedaría de la siguiente manera:

Definición. Una operación binaria en un conjunto $\mathcal{S}$ es una función $\mu : \mathcal{S} \times \mathcal{S} \to \mathcal{S}$, es decir una forma de asignar a cada par ordenado $(a,b) \in \mathcal{S} \times \mathcal{S}$ un elemento $\mu (a,b) \in \mathcal{S}$.

Sin embargo, normalmente no trabajamos la notación de función. Así que hacemos la siguiente aclaración:

Notación. Nuestra operación binaria $\mu$ será denotada por $*$ y al elemento asignado a la pareja $(a,b)$. En lugar de ser denotado por $\mu (a,b)$ será denotado por $a*b$, más adelante será denotada simplemente por $ab$ o por $a+b$.

Además, necesitamos las siguientes observaciones para que nuestra función sea una operación binaria:

Observación 1. A cada par de elementos en $\mathcal{S}$ se le asigna exactamente un elemento de $\mathcal{S}$, es decir, $*$ es una función bien definida.

Observación 2. Para cada par de elementos en $\mathcal{S}$ el elemento debe estar en $\mathcal{S}$, es decir, $*$ es una operación cerrada en $\mathcal{S}$.

Ejemplos de operaciones binarias

Para ilustrar los ejemplos, tomaremos el símbolo $:=$ como una asignación de valor, y lo usaremos para definir y al símbolo $=$ como la igualdad usual, que indica eso, una igualdad entre dos valores.

1. En $\mathcal{S} := \mathbb{R}$, podemos definir la siguiente operación binaria, $a*b := ab – 2$, es decir, la multiplicación de ambos números, menos dos unidades.
2. En $\mathcal{S} := \mathbb{R}^+$, observemos que es posible tomar la operación $a*b := \frac{a}{b}$ como la división usual. Es importante considerar el conjunto $\mathcal{S}$ en el que estamos trabajando. Por ejemplo, esta operación no se podría considerar en $\mathbb{Z}^+$ porque no podemos asegurar que siempre nos dé un entero, por lo tanto no sería una operación binaria.
3. Ahora, si tomamos $\mathcal{S} := \mathbb{Z}^+$ y definimos $a*b := \text{máx}{\{a,b\}}$, es decir, una operación binaria no tiene que ser siempre aritmética.
4. En $\mathcal{S} := \mathbb{Z}^+$, podemos definir $a*b = a$, es decir, la operación asigna a cada par de números el primero de los dos.
5. También podemos trabajar con matrices, por ejemplo $\mathcal{S} := \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{Z})$ (el conjunto de matrices $2\times 2$ con entradas enteras), definida como $A*B := A + B$, es decir, la suma de matrices.
6. Si pensamos en funciones, podemos considerar $\mathcal{S}:=\{f \;| f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$ y definir la composición de funciones, $f*g:= f\circ g$. Como todas las funciones comparten dominio y codominio, tiene sentido componer. Recordemos que esa notación se lee de derecha a izquierda, es decir, primero se aplica $g$ y luego $f$.
7. En $\mathcal{S}:= S_3$, con $S_3 := \{f | f: \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}, f \text{ es biyectiva}\}$, también podemos considerar $f*g := f\circ g$ y sería una operación binaria en el conjunto.

Para este último ejemplo, recordemos que como el dominio de $f$ es finito podemos denotar a $f$ como una matriz de la forma,

$f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ f(1) & f(2) & f(3) \end{pmatrix}.$

Ejemplo:

Si $f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, entonces la composición $f \circ g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Puesto que $g$ manda el $1$ al $3$ y $f$ manda el $3$ al $1$, $g$ manda el $2$ al $1$ y $f$ manda el $1$ al $2$ y $g$ manda el $3$ al $2$ y $f$ manda el $2$ al $3$.

$\blacksquare$

De modo más general, si $f$ es una función cuyo dominio es un conjunto finito con $n$ elementos $a_1,a_2,\dots, a_n,$ la regla de correspondencia de $f$ se puede describir con el arreglo

$f = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n\\ f(a_1) & f(a_2)&\dots & f(a_n) \end{pmatrix}.$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Como calentamiento, piensa por qué ocurren las dos observaciones dadas.
2. Investiga cómo se pueden definir operaciones binarias con tablas.
3. De los ejemplos dados, busca conjuntos en donde la operación binaria deje de serlo por no cumplir con la cerradura.
4. Da cinco ejemplos de conjuntos y operaciones binarias sobre ellos.
5. Determina si las siguientes operaciones son binarias o no y en caso de no serlo, ¿qué le cambiarías al conjunto para que lo sea?
   • En $\mathcal{S} = \mathbb{R}^+$, $a*b = ab-2$.
   • En $\mathcal{S} = \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{Z})$, $A*B = A^{-1}B$.
   • En $\mathcal{S} = \mathbb{Z}\setminus \{-1\}$, $a*b = 1 + ab$.
   • En $\mathcal{S} = \mathbb{Z}_5$, $a*b = ab(\text{mód } 7)$.

Más adelante…

Con el fin de trabajar con operaciones que sean más manejables, continuaremos expandiendo nuestro concepto de operación binaria agregándole las propiedades de conmutatividad y asociatividad.

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