Las siguientes notas son las correspondientes al curso de Álgebra Lineal I, que se imparte en el primer semestre de la carrera de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Están divididas en 5 unidades.

Organización del curso

El curso está dividido en cinco unidades temáticas:

• Unidad 1: Espacios vectoriales
• Unidad 2: Transformaciones lineales
• Unidad 3: Transformaciones lineales y matrices
• Unidad 4: Producto interno
• Unidad 5: Determinantes y vectores propios

Notas del curso

A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso, escritas por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo.

Unidad 1: Espacios vectoriales

• 1.1. CAMPO Y SUBCAMPO: definiciones y ejemplos
• 1.2. ESPACIOS VECTORIALES: definición y ejemplos
• 1.3. ESPACIOS VECTORIALES: propiedades
• 1.4. SUBESPACIO: definición y ejemplos
• 1.5. COMBINACIÓN LINEAL: definición y ejmplos
• 1.6. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO: definición y ejemplos
• 1.7. (IN)DEPENDENCIA LINEAL: definición y ejemplos
• 1.8. CONJUNTOS LINEALMENTE (IN)DEPENDIENTES Y CONJUNTOS GENERADORES: relación entre sí
• 1.9. BASE, DIMENSIÓN Y ESPACIO DE DIMENSIÓN (IN)FINITA: definiciones y ejemplos
• 1.10. BASE DE ESPACIOS VECTORIALES: obtención a partir de un conjunto linealmente independiente o generador
• 1.11. SUMA Y SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS: definiciones y ejemplos

Unidad 2: Transformaciones lineales

• 2.1. TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos
• 2.2. NÚCLEO, NULIDAD, IMAGEN Y RANGO: definiciones, ejemplos y propiedades
• 2.3. TEOREMA DE LA DIMENSIÓN: demostración e implicaciones
• 2.4. TRANSFORMACIÓN LINEAL: obtención a partir de transformados de una base
• 2.5. TRANSFORMACIONES LINEALES ENTRE DOS ESPACIOS: operaciones para formar un espacio vectorial
• 2.6. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES E IDENTIDAD: definiciones y propiedades
• 2.7. TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES E ISOMORFISMOS: definiciones, equivalencias y propiedades

Unidad 3: Transformaciones lineales y matrices

• 3.1. BASE ORDENADA Y VECTOR DE COORDENADAS: definiciones y ejemplos
• 3.2. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos
• 3.3. MATRICES DE UNA TRANSFORMACIÓN Y VECTORES DE COORDENADAS: relación entre sí
• 3.4. MATRIZ DE UNA COMBINACIÓN LINEAL DE TRANSFORMACIÓNES: ejemplos y propiedades
• 3.5. MATRICES Y TRANSFORMACIONES LINEALES: isomorfismo, ejemplos y propiedades
• 3.6. MATRIZ DE UNA COMPOSICIÓN Y DE LA INVERSA DE TRANSFORMACIONES: ejemplos y propiedades
• 3.7. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE: definición y ejemplos
• 3.8. MATRICES CONJUGADAS: matrices de cambio de base

Unidad 4: Producto interno

• 4.1. PRODUCTO INTERNO, VECTORES ORTOGONALES Y SUBESPACIO ORTOGONAL: definiciones y ejemplos
• 4.2. PRODUCTO ESCALAR NO DEGENERADO, DEGENERADO Y DEFINIDO POSITIVO: definiciones y ejemplos
• 4.3. (ESPACIO CON) PRODUCTO INTERNO: definición y ejemplos
• 4.4. COEFICIENTE DE FOURIER Y SUBCONJUNTO ORTOGONAL: definición, ejemplos y bases ortogonales
• 4.5. NORMA DE UN VECTOR: propiedades, Cauchy Schwarz, Pitágoras y vector unitario
• 4.6. GRAM-SCHMIDT: obtener una base ortogonal
• 4.7. BASE ORTONORMAL: definición y construcción
• 4.8. PROYECCIÓN DE UN VECTOR: definición y descomposición de un espacio como suma directa de un subespacio y su ortogonal
• 4.9. ESPACIO DUAL, FUNCIONALES, BASE DUAL, DOBLE DUAL: definición, construcción y ejemplos

Unidad 5: Determinantes y vectores propios

• 5.1. FUNCIONES MULTILINEALES, n-MULTILINEALES Y ALTERNANTES: definiciones, propiedades y ejemplos
• 5.2. DETERMINANTE: definición, fórmula y unicidad
• 5.3. EL MENOR i , j DE A: definición y propiedades del determinante de la transpuesta y del producto de matrices
• 5.4. MATRICES INVERTIBLES: equivalencias y producto
• 5.5. OPERADOR LINEAL, VALOR Y VECTOR PROPIO: definiciones, propiedades y ejemplos
• 5.6. POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y MATRIZ SIMÉTRICA: definiciones y propiedades de valores propios
• 5.7. OPERADOR LINEAL SIMÉTRICO: definición y teorema espectral para operadores simétricos

Videos del curso

En esta sección podrás encontrar videos relacionados con los temas del curso

Moodle del curso

Además de las notas y videos del curso, se cuenta con un curso en Moodle en donde hay mucho más material:

• Foros de discusión divididos por cada unidad temática
• Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
• Tareas y exámenes

Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

• Andreescu, T. (2014). Essencial Linear Algebra: with Applications (1a ed.). E. U.: Springer.
• Friedberg, H., Insel, J., Spence, E. (2003). Linear Algebra (4a ed.) E. U.: Pearson Educación.
• Lang, S. (1987). Introduction to Linear Algebra (3a ed.) E. U.: Springer.
• Hoffman, K., Kunze, R. (1973). Algebra Lineal (1a ed.) M ́exico: Prentice Hall.
• Axler, S. (1997). Linear Algebra Done Right (4a ed.) E. U.: Springer.
• Lay, D. (2013). Álgebra lineal para cursos con enfoque por competencias (1a ed.) México: Pearson Educación.

Créditos

Estas notas fueron elaboradas con la colaboración de las siguientes personas:

• Diana Avella Alaminos
• Jennyfer Paulina Bennetts Castillo