Introducción

En esta sección se definen los distintos planos que podemos caracterizar a partir de vectores especiales en el espacio ${\mathbb{R}}^n$

Plano Tangente

Sea $f:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ una curva tal que el vector derivada $f^{\prime }(t)\ne 0$ para todo $t\in [a,b]$, es tangente a f y apunta en la dirección que el parámetro t crece.
Definición. Dada una curva $f:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$, el vector unitario tangente $T$ es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por:
$$T(t)=\frac{f^{\prime }(t)}{\Vert f^{\prime }(t)\Vert }\text{si}\Vert f^{\prime }(t)\Vert \ne 0.$$
Si en la definición anterior, la curva está parametrizada por longitud de arco, considerando que $\Vert {\bar{f}}^{\prime }(s)\Vert =1$, se tiene que
$$T(s)={\bar{f}}^{\prime }(s)$$

Propiedades del Vector Tangente

(a) En este caso se tiene que
$$\Vert T(t)\Vert =\Vert \frac{f^{\prime }(t)}{\Vert f^{\prime }(t)\Vert }\Vert =\frac{1}{\Vert f^{\prime }(t)\Vert }\Vert f^{\prime }(t)\Vert =1$$
por lo tanto $T$ es de magnitud constante.
(b) Tenemos que
$$\begin{array}{rl}\Vert T(t)\Vert =1& \Rightarrow \Vert T(t){\Vert }^2=1\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}(\Vert T(t){\Vert }^2)=0\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}(T(t)\cdot T(t))=0\\ & \Rightarrow T^{\prime }(t)\cdot T(t)+T(t)\cdot T^{\prime }(t)=0\\ & \Rightarrow 2T(t)\cdot T^{\prime }(t)=0\\ & \to T(t)\cdot T^{\prime }(t)=0\end{array}$$
Esto es $T(t)$ y $T^{\prime }(t)$ son ortogonales. Este resultado nos permite definir un vector unitario ortogonal a $T(t)$ y que tiene la misma dirección que $T^{\prime }(t)$.

Vector Normal Principal

Definición. Si $\Vert T^{\prime }(t)\Vert \ne 0$ el vector unitario que tiene la misma dirección que $T^{\prime }$ se llama Normal Principal a la curva y se designa por $N(t)$. Asi pues $N(t)$ es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación:
$$N(t)=\frac{T^{\prime }(t)}{\Vert T^{\prime }(t)\Vert },\text{si}\Vert T^{\prime }(t)\Vert \ne 0$$
Notese que
$$\Vert N(t)\Vert =\Vert \frac{T^{\prime }(t)}{\Vert T^{\prime }(t)\Vert }\Vert =1$$
Si en la definición anterior, la curva está parametrizada por
longitud de arco, considerando que $T(s)={\bar{f}}^{\prime }(s)$ , se tiene
$$N(s)=\frac{{\bar{f}}^{\prime \prime }(s)}{|{\bar{f}}^{\prime \prime }(s)|}=\frac{T^{\prime }(s)}{\Vert T^{\prime }(s)\Vert }$$

Vector Binormal

Un tercer vector definido mediante
$$B(t)=T(t)\times N(t)$$
recibe el nombre de Vector binormal.
Notese que $$\Vert B(t)\Vert =\Vert T(t)\times N(t)\Vert =\Vert T(t)\Vert \Vert N(t)\Vert \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$$
En el punto correspondiente a $f(t)$ en la curva, los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ conforman un trío de vectores unitarios y mutuamente ortogonales. Estos dan lugar a un sistema de coordenadas llamado sistema de referencia TNB o sistema de referencia de Frenet-Serret de la curva C.
Los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ juegan en el punto de la curva correspondiente a $f(t)$ un papel similar al que juega la tríada i, j y k en el origen del espacio tridimensional. Esta última tríada permace fija, en cambio los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ conforman una tríada movil que se mueve a lo largo de la curva.

Ejemplo. Dada la curva $r(t)=\cos t\hat{i}+\sin t\hat{j}+t\hat{k}$ cuya parametrización por longitud de arco es
$$\overline{r}(s)=(\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}})$$
Hallar los vectores Tangente, Normal y Binormal en un punto $r(s)$.
Solución.

Vector Tangente
$$T(s)=\frac{f^{\prime }(s)}{\Vert f^{\prime }(s)\Vert }=(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{\sqrt{2}})$$
Vector Normal
$$N(s)=\frac{T^{\prime }(s)}{\Vert T^{\prime }(s)\Vert }=(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0)$$
Vector Binormal
$$B(s)=T(s)\times N(s)=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& -\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& 0\end{array}\right|=(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{-1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{\sqrt{2}}).\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Plano Osculador

Sea $f:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ una curva con triada móvil $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$. Sea $P=(x_0,y_0,z_0)$ un punto de la curva f tal que $f(t_0)=(x_0,y_0,z_0)$. Se llama Plano Osculador de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $T(t_0)$ y $N(t_0)$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{{\displaystyle B(t_0)\cdot [(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)]=0}}$$ El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
Ejemplo. Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ dado por:
$$f(s)=(\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}})$$
el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco y que describe una hélice circular en ${\mathbb{R}}^3$. Obtenga la ecuación del plano osculador en el punto $f(\sqrt{2}\pi )=(-1,0,\pi )$.
Solución.
Tenemos que:
$$T(s)=\frac{f^{\prime }(s)}{\Vert f^{\prime }(s)\Vert }=(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{\sqrt{2}})$$
y $T(\sqrt{2}\pi )=(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$, por otro lado:
$$\begin{array}{rl}N(s)& =\frac{T^{\prime }(s)}{\Vert T^{\prime }(s)\Vert }\\ & =(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0)\\ & =(-\left(\frac{1}{2}\right)\cos (\frac{s}{\sqrt{2}},),-\left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0)\end{array}$$
y $N(\sqrt{2}\pi )=(1,0,0)$.
Por lo que
$$T(\sqrt{2}\pi )\times N(\sqrt{2}\pi )=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\left(\frac{1}{2}\right)\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& -\left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)& 0\end{array}\right|=(\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{-1}{2\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{2\sqrt{2}})$$
al evaluar en $\sqrt{2}\pi$ nos queda ${\displaystyle (0,\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}})}$. Por lo tanto la ecuación del plano osculador en $P=(-1,0,\pi )$ es: $$(x+1,y,z-\pi )\cdot (0,\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}})=0$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{2}}(y)+\frac{1}{2\sqrt{2}}(z-\pi )=0$$ $$\Rightarrow y+z=\pi .\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Plano Normal

Se llama Plano Normal de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $N(t_0)$ y $B(t_0)$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{{\displaystyle T(t_0)\cdot [(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)]=0}}$$
Ejemplo. Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ dado por:
$$f(t)=(2\cos \left(t\right),2\sin \left(t\right),t)$$ el cual es dos veces diferenciable y que describe una hélice circular en ${\mathbb{R}}^3$. Obtenga la ecuación del plano normal en el punto $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=(0,2,\frac{\pi }{2})$.
Solución. Tenemos que:
$$T(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2\sin (t),2\cos (t),1)$$ y ${\displaystyle T\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1)}$. Por lo tanto la ecuación del plano normal es: $$\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1)\cdot [(x,y,z)-(0,2,\frac{\pi }{2})]=0$$ $$\Rightarrow 4x-2z+\pi =0.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Plano Rectificador

Se llama Plano rectificador de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $T(t_0)$ y $B(t_0)$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{{\displaystyle N(t_0)\cdot [(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)]=0}}$$
Ejemplo. Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ dada por:
$$f(t)=(2\cos \left(t\right),2\sin \left(t\right),t)$$ la cual es dos veces diferenciable y que describe una hélice circular en ${\mathbb{R}}^3$. Obtenga la ecuación del plano rectificador en el punto ${\displaystyle f\left(\frac{\pi }{2}\right)=(0,2,\frac{\pi }{2})}$.
Solución. Tenemos que: $$N(t)=(-\cos (t),-\sin (t),0)$$ y ${\displaystyle N\left(\frac{\pi }{2}\right)=(0,-1,0)}$. Por lo tanto la ecuación del plano rectificador es: $$(0,-1,0)\cdot [(x,y,z)-(0,2,\frac{\pi }{2})]=0$$ $$\Rightarrow y-2=0.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$

Mas adelante

En la siguiente entrada veremos como a partir de vectores caracterizados en esta entrada podemos definir y calcular la curvatura y radio de curvatura de una curva o plano.

Tarea Moral

1.- Determina $T$ y $N$ para cada una de las siguientes curvas:

La parábola $x=p{t}^2$ , $y=2pt$.

La elipse $f(\theta )=(acos\theta ,bsen\theta )$, $\theta \in [0,2\pi ]$; $a,b>0$

2.- Si una curva está descrita por $f(t)=(t,t^2,t^3)$, determína $T(t)$, $N(t)$, $B(t)$ y el plano osculador cuando $t=0$ y $t=1$

3.- Si $C$ es una curva en $R^3$ descrita por $f$ demuestra que

$B={\displaystyle \frac{f^{\prime }\times f^{‘‘}}{|f^{\prime }\times f^{‘‘}|}}$, $N=B\times T={\displaystyle \frac{(f^{\prime }\times f^{‘‘})\times f^{\prime }}{|(f^{\prime }\times f^{‘‘}\times f^{\prime })|}}$

4.- Demuestra que si una curva $C$ se encuentra en el plano $P$ en $R^3$ entonces el plano osculador en cualquier punto de $C$ es $P$.

5.- Determina $T,N$ y $B$ y el plano osculador en $f(0)$ para las curvas en seguida descritas.

a) $f(t)=(tcost,tsent,t)$

b) $f(t)=(t-sent,1-cost,t)$