$\fbox{Vector Tangente}$
Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva tal que el vector derivada $f'(t)\neq 0$ para todo $t\in[a,b]$, es tangente a f y apunta en la dirección que el parámetro t crece.
$\textcolor{blue}{Definición}$
Dada una curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, el vector unitario tangente $T$ es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por:
\[
T(t)=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{si}\ \ \ \|f^{\prime}(t)\| \neq 0.
\]
Si en la definición anterior, la curva está parametrizada por longitud de arco, considerando que $\|\overline{f}'(s)\|=1$, se tiene que
$$T(s)=\overline{f}'(s)$$

$\fbox{Propiedades del Vector Tangente}$
(a) En este caso se tiene que
\[
\|T(t)\|= \left\| \frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|} \right\|=
\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|} \|f^{\prime}(t)\|=1
\]
por lo tanto $T$ es de magnitud constante.
(b) Tenemos que
\begin{align*} \|T(t)\|=1&\Rightarrow \|T(t)\|^2=1\\&\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\|T(t)\|^2\right)=0\\&\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(T(t)\cdot T(t)\right)=0\\&\Rightarrow T'(t)\cdot T(t)+T(t)\cdot T'(t)=0\\&\Rightarrow 2T(t)\cdot T'(t)=0\\&\rightarrow T(t)\cdot T'(t)=0\end{align*}
Esto es $T(t)$ y $T'(t)$ son ortogonales. Este resultado nos permite definir un vector unitario ortogonal a $T(t)$ y que tiene la misma dirección que $T'(t)$.
$\fbox{Vector Normal Principal}$
$\textcolor{blue}{Definición}$
Si $\|T^{\prime}(t)\|\neq 0$ el vector unitario que tiene la misma dirección que $T^{\prime}$ se llama Normal Principal a la curva y se designa por $N(t)$. Asi pues $N(t)$ es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación:
\[
N(t)=\frac{T^{\prime}(t)}{\|T^{\prime}(t)\|},\ \ \ \ \text{si} \ \ \|T^{\prime}(t)\| \neq 0
\]
Notese que
$$\|N(t)\|=\left\|\frac{T^{\prime}(t)}{\|T^{\prime}(t)\|}\right\|=1$$
Si en la definición anterior, la curva está parametrizada por
longitud de arco, considerando que $T(s)=\overline{f}'(s)$ , se tiene
$$N(s)=\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}=\frac{T'(s)}{\|T'(s)\|}$$
$\fbox{Vector Binormal}$
Un tercer vector definido mediante
$$B(t)=T(t)\times N(t)$$
recibe el nombre de Vector binormal.
Notese que $$\|B(t)\|=\|T(t)\times
N(t)\|=\|T(t)\|\|N(t)\|\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$
En el punto correspondiente a $f(t)$ en la curva, los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ conforman un trío de vectores unitarios y mutuamente ortogonales. Estos dan lugar a un sistema de coordenadas llamado sistema de referencia TNB o sistema de referencia de Frenet-Serret de la curva C.
Los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ juegan en el punto de la curva correspondiente a $f(t)$ un papel similar al que juega la tríada i, j y k en el origen del espacio tridimensional. Esta última tríada permace fija, en cambio los vectores $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$ conforman una tríada movil que se mueve a lo largo de la curva.

$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Dada la curva $r(t)=\cos t \hat{i}+\sin t \hat{j} + t\hat{k}$ cuya parametrización por longitud de arco es
\[
\bar{r}(s)=\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right)
\]
Hallar los vectores Tangente, Normal y Binormal en un punto $r(s)$.
$\textcolor{orange}{Solución}$

Vector Tangente
\[
T(s)=\frac{f^{\prime}(s)}{\|f^{\prime}(s)\|}=
\left(
-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}
\right)
\]
Vector Normal
\[
N(s)=\frac{T^{\prime}(s)}{\|T^{\prime}(s)\|}=
\left(
-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0
\right)
\]
Vector Binormal
\[
B(s)=T(s)\times N(s)=\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{-1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & -\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & 0\\
\end{array}
\right|=
\left(
\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{-1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}
\right).~~\textcolor{orange}{\blacksquare}
\]
$\fbox{Plano Osculador}$
Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ una curva con triada móvil $T(t)$, $N(t)$ y $B(t)$. Sea $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ un punto de la curva f tal que $f(t_{0})=(x_{0},y_{0},z_{0})$. Se llama Plano Osculador de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $T(t_{0})$ y $N(t_{0})$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{B(t_{0})\cdot [(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})]=0}$$ El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$ dado por:
\[ f(s)=\left(
\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),
\frac{s}{\sqrt{2}}
\right)
\]
el cual es dos veces diferenciable parametrizado por longitud de arco y que describe una hélice circular en $\mathbb{R}^3$. Obtenga la ecuación del plano osculador en el punto $f(\sqrt{2}\pi)=(-1,0,\pi)$.
$\textcolor{orange}{Solución}$
Tenemos que:
\[ T(s)=\frac{f^{\prime}(s)}{\|f^{\prime}(s)\|}= \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right), \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]
y $T(\sqrt{2}\pi)=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, por otro lado:
\begin{align*}N(s)&=\frac{T^{\prime}(s)}{\|T^{\prime}(s)\|}\\&=\left(
-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),
-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0
\right)\\&=\left(
-\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}},\right),-\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0
\right)\end{align*}
y $N(\sqrt{2}\pi)=(1,0,0)$.
Por lo que
\[ T(\sqrt{2}\pi)\times N(\sqrt{2}\ \pi) =\left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}}\\-\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & -\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) & 0\\ \end{array}\right|= \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{-1}{2\sqrt{2}}\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{1}{2\sqrt{2}} \right) \]
al evaluar en $\sqrt{2}\ \pi$ nos queda $\displaystyle{\left(0,\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)}$. Por lo tanto la ecuación del plano osculador en $P=(-1,0,\pi)$ es: \[ (x+1,y,z-\pi)\cdot\left(0,\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=0 \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{2}} (y) +\frac{1}{2\sqrt{2}} (z-\pi)=0 \] \[ \Rightarrow y+z=\pi.~~\textcolor{orange}{\blacksquare} \]
$\fbox{Plano Normal}$
Se llama Plano Normal de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $N(t_{0})$ y $B(t_{0})$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{T(t_{0})\cdot [(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})]=0}$$
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$

Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\rightarrow
\mathbb{R}^3$ dado por:
\[ f(t)=\left( 2\cos\left(t\right), 2\sin\left(t\right), t \right) \] el cual es dos veces diferenciable y que describe una hélice circular en $\mathbb{R}^3$. Obtenga la ecuación del plano normal en el punto $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)$.
$\textcolor{orange}{Solución}$
Tenemos que:
\[ T(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(-2\sin(t),2\cos(t),1\right) \] y $\displaystyle{T\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(-2,0,1\right)}$. Por lo tanto la ecuación del plano normal es: \[ \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1)\cdot\left[(x,y,z)-\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)\right]=0 \] \[ \Rightarrow 4x-2z+\pi=0.~~\textcolor{orange}{\blacksquare} \]
$\fbox{Plano Rectificador}$
Se llama Plano rectificador de f en el punto P, al plano que pasa por P y es paralelo a los vectores $T(t_{0})$ y $B(t_{0})$. Este plano tiene por ecuación
$$\boxed{N(t_{0})\cdot [(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})]=0}$$
$\textcolor{orange}{Ejemplo}$
Consideremos la curva $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por:
\[ f(t)=\left( 2\cos\left(t\right), 2\sin\left(t\right), t \right) \] la cual es dos veces diferenciable y que describe una hélice circular en $\mathbb{R}^3$. Obtenga la ecuación del plano rectificador en el punto $\displaystyle{f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)}$.
$\textcolor{orange}{Solución}$
Tenemos que: \[ N(t)=\left(-\cos(t),-\sin(t),0\right) \] y $\displaystyle{N\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left(0,-1,0\right)}$. Por lo tanto la ecuación del plano rectificador es: \[ (0,-1,0)\cdot\left[(x,y,z)-\left(0,2,\frac{\pi}{2}\right)\right]=0 \] \[ \Rightarrow y-2=0.~~\textcolor{orange}{\blacksquare} \]