Teoría de los Conjuntos I: Cotas inferiores e ínfimos

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de cotas inferiores e ínfimos. Estos nuevos conceptos también nos permitirán a acotar conjuntos ordenados.

Cotas inferiores

Para comenzar definiremos a una cota inferior, notaremos que este concepto es muy parecido al de mínimo, sin embargo la cota inferior podría no ser elemento de $B$ un subconjunto de $A$. Veamos la definición.

Definición: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es una cota inferior de $B$ si $a\leq x$ para toda $x\in B$.

Ejemplo:

Consideremos $(A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}, \subseteq)$ un orden parcial. Sea $B= \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\emptyset\in A$ es una cota inferior de $B$ pues $\emptyset\leq x$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, podemos notar que $\emptyset\notin B$, por lo que para ser cota inferior no es necesario ser elemento de $B$, solo de $A$. Por otro lado, $\set{\emptyset}\in B$ también es una cota inferior de $B$ pues para cada $x\in B$, $\set{\emptyset}\leq x$. Más aún, $\set{\emptyset}$ es el elemento mínimo de $B$.

Como consecuencia de lo anterior podemos concluir que la propiedad de ser mínimo implica ser cota inferior, pero no es válido el regreso.

$\square$

En este último ejemplo es posible notar que la cota inferior en un conjunto puede no ser única, y entonces podemos pensar en el conjunto que tenga a todas las cotas inferiores. Esta idea junto con el concepto de máximo motiva el concepto de ínfimo.

Ínfimos

Definición: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es ínfimo de $B$ si es el elemento máximo del conjunto de todas las cotas inferiores de $B$. Lo denotamos por $\inf(B)$.

Ejemplo:

Retomando el ejemplo anterior, si consideramos al conjunto de todas las cotas inferiores de $B$, es decir, $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que el ínfimo es $\set{\emptyset}$ pues respecto al orden de $A$, $\emptyset\leq \set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\set{\emptyset}$ es el máximo de las cotas inferiores de $B$.

$\square$

Teorema: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene ínfimo en el orden $\leq$, entonces es único.

Demostración:

Sea $(A,\leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ no vacío. Supongamos que $B$ tiene ínfimo, es decir, que existe $a\in A$ de tal forma que $a\leq x$ para toda $x\in B$ y, si $b\in A$ es tal que $b\leq x$ para toda $x\in B$, entonces, $b\leq a$.

Supongamos que $a_1,a_2\in A$ son ínfimos de $B$. Veamos que $a_1=a_2$.

Como $a_1$ es ínfimo $B$, en particular se tiene que $a_1\leq x$ para toda $x\in B$. Luego, como $a_2$ es ínfimo de $B$ se sigue por definición que $a_1\leq a_2$. De manera análoga, como $a_2$ es ínfimo de $B$, en particular se tiene que $a_2\leq x$ para toda $x\in B$ y así, como $a_1$ es ínfimo de $B$ se sigue por definición que $a_2\leq a_1$.

Tenemos entonces que $a_1\leq a_2$ y $a_2\leq a_1$, de donde se sigue que $a_1=a_2$, lo cual demuestra la unicidad del ínfimo.

$\square$

Teorema: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $b\in B$ es el elemento mínimo de $B$, entonces $b$ es el ínfimo de $B$.

Demostración:

Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Luego como $b\in B$ es el elemento mínimo de $B$, entonces para cualquier $x\in B$, $b\leq x$.

Sea $C$ el conjunto de todas las cotas inferiores de $B$. Veamos que $b\in C$ y que $b=\max(C)$. Dado que $b\leq x$ para todo $x\in B$, entonces $b$ es cota inferior de $B$ y, por tanto, $b\in C$. Luego, si $c\in C$ es cualquier elemento, entonces $c$ escota inferior de $B$, es decir, $c\leq x$ para cualquier $x\in B$. En particular, como $b\in B$ se tiene que $c\leq b$. Esto muestra que $b=\max(C)$.

Por lo tanto, $b=\inf(B)$.

$\square$

Aún cuando ser mínimo implica ser ínfimo, no siempre va a ocurrir que el ínfimo de un conjunto sea mínimo, como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos $(A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}, \subseteq)$ un orden parcial. Sea $B= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\emptyset \in A$ es una cota inferior de $B$ pues $\emptyset\leq x$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, $B$ no tiene mínimo pues no existe $x\in B$ tal que $x\leq y$ para todo $y\in B$. De forma especifica aunque $\set{\emptyset}\leq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\emptyset}}\leq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, no hay nadie por debajo de $\set{\emptyset}$ ni de $\set{\set{\emptyset}}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta sección y de la sección anterior(Teoría de los Conjuntos I: Mínimos, máximos, minimales y maximales):

  • Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Demuestra que si $b$ es ínfimo y $b\in B$, entonces $b$ es mínimo de $B$.
  • Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B,C\subseteq A$ no vacíos. Si $B$ y $C$ tienen ínfimo y $C\subseteq B$, demuestra que $inf (B)\leq inf (C)$.
  • Exhibe un conjunto que esté acotado inferiormente pero que no tenga ínfimo.
  • Dé un ejemplo de un conjunto ordenado $(A,\leq)$ en el cual se cumpla que el conjunto $\emptyset$ tiene ínfimo.

Más adelante

La siguiente sección estará dedicada a cotas superiores y supremos. Con esto concluiremos la sección de acotar conjuntos ordenados.

Enlaces

En los siguientes enlaces puedes consultar más contenido acerca de cotas superiores e inferiores, así como de ínfimos y supremos, esta vez desde la perspectiva del cálculo.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.