Introducción
En la entrada anterior trabajamos con la ecuación diferencial
Primeramente, veamos un concepto.
Definición. Función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Sea
diremos que
Solución a la ecuación diferencial
Sea
es una función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. es una función, al menos derivable, de variable que manda valores reales en valores reales. es un punto donde la buscada toma valor
Plan para resolverla con el teorema de punto fijo de Banach: Propondremos un espacio métrico completo
Sean
Sea
Considera
donde
Propongamos la contracción deseada
Si
Como buscamos que esta solución sea punto fijo de una contracción
Nota que
Si
Si
De ambos casos podemos concluir que
es contracción en
Sean
Si
Si
Por lo tanto, la distancia entre
Sea
Lo que hemos visto en esta entrada demuestra el siguiente:
Teorema. Picard-Lindelöf. Sea
tiene una única solución en el intervalo
Generalización en
Si
Definición. Función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Sea
diremos que
Teorema. Picard-Lindelöf. Sea
tiene una única solución en el intervalo
En este caso el espacio completo donde podemos encontrar la solución es
Donde
Más adelante
Pasaremos a la siguiente sección de esta asignatura con temas de compacidad. Aunque ya se han usado algunos resultados para el caso del espacio métrico euclidiano, mostraremos cómo el concepto puede generalizarse en otros espacios a partir de la topología que la métrica induce en ellos.
Tarea moral
- Sean
y para localmente Lipschitz continua como en la definición. Prueba que restringida en es continua. - Sea
tal que
a) Prueba que no es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.
b) Prueba que para cualesquiera la función
Es diferenciable en y es solución de
Así, si no es localmente Lipschitz continua en la segunda variable la ecuación puede tener una infinidad de soluciones. - Sea
tal que
a) Prueba que es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.
b) Para considera la ecuación
Prueba que es su solución en algún intervalo que contiene a .
c) ¿Cuál es el intervalo máximo para el que esta ecuación tiene solución?
Enlaces
- Análisis Matemático.
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