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Geometría Analítica I: Parábolas

Introducción

La última de las secciones cónicas que abordaremos en esta unidad es la parábola. De las tres cónicas que hemos revisado, probablemente es la que conoces mejor de forma intuitiva: ya sea que hayas escuchado sobre «las antenas parabólicas», «los espejos parabólicos» o «el tiro parabólico», estamos tan familiarizados con las propiedades de las parábolas que en esta unidad, más allá de introducir la figura como algo nuevo, nos encargaremos de formalizar sus propiedades .

¿Qué hace que la imagen mental que tenemos de las parábolas corresponda tan bien a la figura que podemos obtener a partir de una definición formal? Podrás recordar de tus clases de mecánica de la preparatoria que la Tierra ejerce una fuerza sobre cada uno de los objetos sobre su superficie que les da una aceleración constante, usualmente denotada por la letra $g$. Entonces, la trayectoria de un objeto, asumiendo condiciones ideales, que se mueve con velocidad constante en el eje horizontal y con movimiento acelerado en el eje vertical está descrita por:

\begin{equation}
\begin{aligned}
&x(t)=v_{0} t \cos (\theta) \
&y(t)=v_{0} t \sin (\theta)-\frac{1}{2} g t^{2}
\end{aligned}
\end{equation}

No es necesario que en este momento entiendas totalmente de dónde vienen estas dos ecuaciones; por el momento quédate con la idea de que es un buen modelo matemático de un proyectil en la Tierra que se mueve sobre un plano; es decir, estas dos ecuaciones describen bastante bien el movimiento de una bala de cañón al ser disparada, una pelóta de fútbol después de ser pateada, etc. Resulta que estas dos ecuaciones son la parametrización de una parábola, de modo que una parábola es una descripción bastante buena de la trayectoria de un objeto cuando «lo lanzamos». Entonces, aunque estemos por abordar pir primera vez el estudio formal de la parábola, verás que tanto sus elementos, como sus propiedades te resultarán bastante familiares.

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La trayectoria de un objeto que tiene un movimiento rectilineo y uniforme en $x$ y un movimiento acelerado en $y$ describe una parábola.

Sin más preámbulo, pasaremos a la definición de una parábola: además de la definición como conjunto de puntos, obtendremos una ecuación canónica al igual que como lo hicimos para la elipse y la hipérbola y nos familiarizaremos con sus elementos más importantes. Dejaremos la descripción detallada de todos sus elementos y la exposición de sus propiedades para la siguiente entrada.

Definición de Parábola

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto $\mathbf{p}$ (llamado su foco) y una recta $\ell$, llamada su directriz, donde $\mathbf{p} \notin \ell$. Es decir, está definida por la ecuación

\begin{equation}
\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p})=\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \ell).
\end{equation}

En el siguiente recuadro interactivo de GeoGebra juega un poco con esta definición. Observa cómo una parábola, a primera vista, podría parecerte una elipse «cortada», pero date cuenta que es una curva que se dibuja a partir de una condición muy específica que se impone a una distancia entre la recta directriz y el foco ¿Puedes encontrar los casos degenerados de la parábola?¿Qué pasa si haces $p=0$?

Tomando un ejemplo sencillo con el foco en el eje $\mathbf{y}$, la directriz paralela al eje $\mathbf{x}$, y que además pase por el origen. Tenemos entonces $\mathbf{p}=(0, \mathrm{c})$, donde $\mathrm{c}>0$ digamos, y $\ell: \mathrm{y}=-\mathrm{c}$; de tal manera que la parábola queda determinada por la ecuación

\begin{equation}
\sqrt{x^{2}+(y-c)^{2}}=|y+c|.
\end{equation}

Como te puedes dar cuenta, lo único que hicimo fue aplicar la definición de norma en $\mathbb{R}^{2}$ tal como la estudiamos en la primera unidad. Como ambos lados de la ecuación son positivos, ésta es equivalente a la igualdad de sus cuadrados que da

\begin{equation}
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2}-2 c y+c^{2} &=y^{2}+2 c y+c^{2} \
x^{2} &=4 c y.
\end{aligned}
\end{equation}

De tal manera que la gráfica de la función $x^{2}$ ($y=x^{2}$) es una parábola con foco $(0,\frac{1}{4})$ y directriz $y=-\frac{1}{4}$. Veremos ahora que cualquier parábola cumple la propeidad de «ser gráfica de una función» respecto de su directriz.

Sea $\mathcal{P}$ la parábola con foco p y directriz $\ell$ (donde $\mathbf{p} \notin \ell)$. Dado un punto $\mathbf{y}_{0} \in \ell$, es claro que los puntos del plano cuya distancia a $\ell$ coincide con (o se mide por) su distancia a $\mathbf{y}_{0}$ son precisamente los de la normal a $\ell$ que pasa por $\mathbf{y}_{0}$, llamémosla $v_{0} .$ Ver la figura.

Cualquier parábola cumple la propiedad de ser gráfica de una función respecto a su directriz.

Por otro lado, la mediatriz entre $\mathbf{y}_{0}$ y $\mathbf{p}$, llamémosla $\eta_{0}$, consta de los puntos cuyas distancias a $\mathbf{p}$ y $\mathbf{y}_{0}$ coinciden. Por lo tanto, la intersección de $\eta_{0}$ y $v_{0}$ está en la parábola $\mathcal{P}$, es decir $\boldsymbol{x}_{0}=v_{0} \cap \eta_{0} \in \mathcal{P}$ pues $\mathrm{d}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \ell\right)=\mathrm{d}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)=\mathrm{d}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{p}\right)$. Pero además $\mathbf{x}_{0}$ es el único punto en la normal $v_{0}$ que está en $\mathcal{P}$. Ésta es «la propiedad de la gráfica» a la que nos referíamos.

Podemos concluir aún más: que la mediatriz $\eta_{0}$ es la tangente a $\mathcal{P}$ en $\mathbf{x}_{0}$. Pues para cualquier otro punto $x \in \eta_{0}$ se tiene que su distancia a $\ell$ es menor que su distancia a $\mathbf{y}_{0}$ que es su distancia a $\mathbf{p}\left(\mathrm{d}(\mathbf{x}, \ell)<\mathrm{d}\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}_{0}\right)=\mathrm{d}(\mathbf{x}, \mathbf{p})\right)$, y entonces $x \notin \mathcal{P}$. De hecho, la parábola $\mathcal{P}$ parte el plano en dos pedazos, los puntos más cerca de $\mathbf{p}$ que de $\ell$ (lo de adentro, digamos, definidos por la desigualdad $d(\mathbf{x}, \mathbf{p}) \leq d(\mathbf{x}, \ell)$) y los que están más cerca de $\ell$ que de $\mathbb{p}$ (lo de afuera, dado por $d(\mathbf{x}, \ell) \leq d(\mathbf{x}, \mathbf{p})$ en donde está $\eta_{0}$), que comparten la frontera donde estas distancias coinciden (la parábola $\mathcal{P}$). Así que $\eta_{0}$ pasa tangente a $\mathcal{P}$ en $\mathbf{x}_{0}$, pues $\mathbf{x}_{0} \in \eta_{0} \cap \mathcal{P}$ y además $\eta_{0}$ se queda de un lado de $\mathcal{P}$.

En el siguiente recuadro interactivo de GeoGebra familiarízate con la expresión analítica de la parábola y nota una cosa muy importante: ¿qué pasa cuando, contrario al caso «sencillo» que vimos en esta entrada, el vértice de la parábola está fuera del origen? Nota cómo una traslación de nuestro caso sencillo introduce un término lineal en la ecuación de la parábola y date cuenta qué papel juega cada uno de los coeficientes modificando la forma de la parábola.

Tarea moral

  • Construye la curva y da el dominio y codominio de las siguientes curvas: $y^{2}=16x$, $x^{2}=-16y$, $x^{2}=10y$, $y^{2}=7x$, $3x^{2}+5y=0$, $5x^{2}-2y=0$, $y^{2}+6x=0$, $x^{2}=11y$.
  • A partir de la definición de parábola, encuentre la ecuación de la parábola de foco $(0,-5)$ y directriz $y=3$.
  • Cuáles son los puntos de intersección de la línea que tiene la ecuación $2x+3y=7$ y la parábola con ecuación $y=-2x^{2}+2x+5$

Más adelante…

En esta entrada iniciamos nuestro estudio de las parábolas: a partir de su definición como el conjunto de puntos que equidistan de una recta y un punto construimos la curva y nos familiarizamos con su expresión analítica. Así como lo hicimos para las cónicas anteriores, le dedicaremos la siguiente sección a estudiar sus propiedades y a nombrar cada uno de sus elementos; posteriormente, haremos algunos ejercicios para tener práctica leyendo la información geométrica que contiene la ecuación de la parábola.

Entradas relacionadas

  • Ir a Geometría Analítica I
  • Entrada anterior del curso: Problemas con hipérbolas
  • Siguiente entrada del curso: Propiedades de parábolas

Geometría Analítica I: Propiedades de elipses

Introducción

En la entrada anterior definimos qué es una elipse, hablamos de una técnica para trazar una y cómo esta técnica, nos conduce naturalmente a su definición analítica: una elipse es la curva que define al conjunto de puntos que cumplen que la suma a dos puntos distintos llamados focos es constante. Finalmente vimos cómo escribir la ecuación canónica de la elipse; a partir de esta ecuación canónica podemos leer toda su información geométrica.

Ahora, para finalizar nuestro estudio de las elipses, vamos a hablar de sus elementos, propiedades focales y sus propiedades métricas. Verás cómo algunos problemas de aplicación motivan el estudio formal de estas propiedades y extenderemos algunas de ellas para el estudio de las cónicas que nos faltan. Sin más preámbulo, abordaremos el tema.

Elementos de una elipse

En la entrada anterior hicimos mención a algunos de los elementos que componen una elipse. Como mencionamos, a partir de la ecuación canónica puedes leer directamente información como el eje menor y el eje mayor; conociendo estos dos ejes, puedes deducir cuáles son sus vértices y sus focos. Haciendo más cuentas puedes deducir cuál es su lado recto y directrices.

En la siguiente figura puedes observar un diagrama que muestra todos los elementos de la elipse y en la siguiente tabla puedes ver qué relación guardan unos con otros. Es importante que sepamos extraer toda la información geométrica que nos sea posible cuando se nos presente una ecuación en su forma canónica.

Breve resumen de los elementos de una elipse. Estos elementos tienen análogos cuando tratamos con otras secciones cónicas.
Elemento dentro de la elipse canónicaExpresión analítica
Longitud del eje mayor$$2a$$
Coordenadas de los vértices$$(\pm a,0)$$
Longitud del eje menor$$2b$$
Coordenadas de los co-vértices$$(0,\pm b)$$
Coordenadas de los focos$(\pm c,0) \quad \text{donde} \quad c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Excentricidad$$\varepsilon=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$$

Como puedes notar, la última fila se refiere a una propiedad de la elipse que no hemos discutido: la excentricidad. La excentricidad normalmente denotada como $\epsilon$ es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. Pronto veremos que a partir de la excentricidad, podemos definir a las tres secciones cónicas como el lugar geométrico de los puntos $\mathbf{X}$ cuya razón de sus distancias a un foco $\mathbf{p}$ y a una recta $\ell$ es una constante fija. Profundizaremos en el estudio de la excentricidad a lo largo de esta unidad, por el momento fijemos la idea de que las elipses necesariamente deben tener una excentricidad menor que uno; es decir $\epsilon < 1$.

Otra observación importante: estas reglas se refieren a una elipse centrada en el origen que tiene una ecuación canónica $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$. No es el objetivo de esta unidad hablar de traslaciones y rotaciones; pero debes saber que si la elipse tiene el centro fuera del origen en un punto $(h,k)$, su ecuación se ve así: $\frac{x^{2}-h}{a^{2}}+\frac{y^{2}-k}{b^{2}}=1$. El estudio de elipses rotadas se aborda comúnmente en un segundo curso de geometría analítica.

Propiedad focal de la elipse

La propiedad focal de la elipse es es que culaquier fotón que sale de uno de los focos, se refleja dentro de la elipse para llegar al otro foco. Si no estás familiarizado con el fotón, imagina la siguiente situación: estás en un cuarto con paredes reflejantes y con forma elíptica; si tu te paras en uno de los focos del cuarto y apuntas con una linterna hacia algún punto en las paredes, el rayo de luz de tu linterna impactará directamente en el otro foco.

Existen dos formas de formalizar la propiedad que describimos en el párrafo anterior; la primera consiste en tomar el círculo de radio $2\mathbf{a}$ centrado en el foco $\mathbf{p}$ (este círculo contiene el otro foco $\mathbf{q}$, puesto que ahora $2 a>d(p, q)$) y luego ver que para los puntos de este círculo, su mediatriz con $\mathbf{q}$ es tangente a la elipse $\mathcal{E}$. La segunda forma de resolver este problema nos va a permitir abordar el clásico «problema del bombero», entonces dejaremos el primero como tarea moral.

Para hablar del problema del bombero observa la siguiente figura, supongamos que un bombero está para en el punto $\mathbf{p}$ y hay un incendio en el punto $\mathbf{q}$. Pero tiene su cubeta vacía, y entonces tiene que pasar primero a llenarla a un río cuyo borde es la recta $\mathcal{l}$. El problema consiste en saber cuál es la trayectoria óptima que debe seguir el bombero. Es decir, ¿para cuál punto $x \in \mathcal{l}$? se tiene que $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \boldsymbol{x})+\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{q})$ es mínima.

Nota cómo no hemos específicado de qué lado del río está el fuego; si estuviera del otro lado que el bombero, cualquier trayectoria al fuego tiene que pasar por $\mathcal{l}$ y entonces debe irse por la línea recta de $\mathbf{p}$ a $\mathbf{q}$ y tomar agua en $\boldsymbol{x}_{0}=\ell \cap \overline{\mathbf{p q}}$ (ver la siguiente figura). Entonces, si fuego y bombero están del mismo lado del río $\mathcal{l}$ podemos pensar en un «fuego virtual», que es el reflejado de $\mathbf{q}$ en $\mathcal{l}$, llamémosle $\mathbf{q}_{0}$, que cumple que $\mathrm{d}(\mathbf{x}, \mathbf{q})=\mathrm{d}\left(\mathbf{x}, \mathbf{q}_{0}\right)$ para todo $\mathbf{x} \in \mathcal{l}$, (para $\mathbf{q}$ y $\mathbf{q}_{0}$, \mathcal{l} es su mediatriz). La solución es, por el caso anterior, $\mathbf{x}_{0}=\ell \cap \overline{\mathbf{p q}_{0}}$.

Pero observa cómo además de que el ángulo $\alpha$ con el que llega el bombero a $\mathcal{l}$ es igual al ángulo de «de reflexión» con el que sale corriendo al fuego (ya con la cubeta llena), e igual al ángulo con el que seguiría su trayecto al fuego virtual; y que esta propiedad determina el punto de mínimo recorrido $\mathbf{x}_{0}$; es fácil convercerse de que para cualquier otro punto de $\mathcal{l}$ los ángulos de llegada y de salida son distintos. Si los bomberos fueran fotones que salen de $\mathbf{p}$ y $\mathcal{l}$ es un espejo, el único que llega a $\mathbf{q}$ es el fotón de recorrido mínimo.

Para aterrizar nuestro problema del bombero al caso de las elipses, considera ahora que $\mathbf{p}$ y $\mathbf{q}$ son los focos de una elipse y $\mathbf{x}_{0}$ un punto en ella. Sea $\mathcal{l}$ la recta que pasa por $\mathbf{x}_{0}$ y bisecta (por fuera) los segmentos de $\mathbf{p}$ y $\mathbf{q}$ a $\mathbf{x}_{0}$. Por construcción, y considerando la solución al problema del bombero, cualquier otro punto $\mathbf{x} \in \mathcal{l}$ tiene mayor suma de distancias a los focos y por tanto está fuera de la elipse. Esto demuestra que $\mathcal{l}$ es la tangente a la elipse en el punto $\mathbf{x}_{0}$, y por lo tanto, queda demostrada la propiedad focal de la elipse.

Antes de dar por terminada esta sección, te invito a que experimentes con el siguiente recuadro interactivo de GeoGebra: en él podrás ver cómo funciona esta propiedad focal de las elipses para elipses de diferentes tamaños y posiciones. ¿Puedes ver qué pasa con esta propiedad para el caso degenerado de la elipse? ¿Qué pasa si los focos son el mismo punto?

Propiedades métricas de la elipse

Tocaremos brevemente el tema de las propiedades métricas de la elipse; lo haremos sólo superficialmente pues una demostración formal se escapa de lo que planeamos cubrir en este curso. Si no estás familiarizado con los términos que aparecen en esta sección, no te preocupes, enfócate en entender cómo se llegó a los resultados y tenlos como referencia por si los ocupas en algún otro curso un poco más enfocado a las aplicaciones de las elipses.

La primera de sus propiedades métricas que vamos a abordar es el área de la elipse: considera que esta propiedad se refiere a la elipse con ecuación:

\begin{equation}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
\end{equation}

La ecuación anterior, puede ser reescrita como

\begin{equation}
y(x)=b \sqrt{1-x^{2} / a^{2}}.
\end{equation}

Para toda $x \in[-a, a]$, esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces, el doble de la integral $y(x)$ sobre le intervalo $[-a, a]$ será el área de la elipse:

\begin{equation}
\begin{aligned}
A_{\text {ellipse }} &=\int_{-a}^{a} 2 b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x \
&=\frac{b}{a} \int_{-a}^{a} 2 \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x .
\end{aligned}
\end{equation}

La segunda integral es el área del círculo con radio $a$, la cual vale $\pi a^{2}$. Entonces,

\begin{equation}
A_{\text {ellipse }}=\frac{b}{a} \pi a^{2}=\pi a b.
\end{equation}

La circunferencia de una elipse, es decir, el análogo del perímetro para las circunferencias presenta un problema: ¡es bastante difícil de obtener! pues hay que calcular una integral que no puede ser evaluada en términos de funciones elementales. De momento, pondremos sólo la fórmula, pues es un resultado bastante útil. Si te interesa ver cómo se llegó a este resultado, puedes revisar la siguiente fuente.

\begin{equation}
C \approx \pi[3(a+b)-\sqrt{(3 a+b)(a+3 b)}]=\pi\left[3(a+b)-\sqrt{10 a b+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}\right]
\end{equation}

La última de estas propiedades métricas que veremos superficialmente será la curvatura; esto te podría resultar especialmente útil si por ejemplo quisieras calcular la curvatura de la trayectoria para una partícula que se mueve trazando una parábola. La curvatura para una elipse con ecuación canónica $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ será:

\begin{equation}
\kappa=\frac{1}{a^{2} b^{2}}\left(\frac{x^{2}}{a^{4}}+\frac{y^{2}}{b^{4}}\right)^{-\frac{3}{2}}.
\end{equation}

Tarea moral

  • Demuestra la propiedad focal de la elipse sin resolver el problema del bombero. Sugerencia. toma el círculo de radio $2\mathbf{a}$ centrado en un foco $\mathbf{p}$ y luego ve que para los puntos de este círculo, su mediatriz con $\mathbf{q}$ es tangente a una elipse.
  • Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen que satisface las condiciones dadas; construya la curva:
  1. La longitud del eje mayor es $10$ y l del eje menor $8$; los focos están sobre el eje $y$.
  2. El eje menor mide $10$ y un vértice es $(6,0)$.
  3. El lado recto mide $\frac{32}{7}$ y uno de los extremos del eje menor está en $(4,0)$.
  • Obten el área de la elipse que tiene la siguiente ecuación:

$$
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1
$$

  • Obtenga una aproximación del perímetro de la siguiente elipse:

$$
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{225}=1
$$

  • Obtenga la curvatura de la siguiente elipse en el punto $(3,2)$:

$$
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
$$

Más adelante…

En esta entrada y en la anterior profundizamos en las propiedades de la elipse. Seguiremos nuestro estudio de las secciones cónicas definiendo a las hipérbolas, veremos que a pesar de ser figuras muy distintas, guardan una relación estrecha con los círculos y las elipses. Al igual que para las figuras que hemos visto hasta el momento, entenderemos cómo llegar a una expresión analítica y aprenderemos a leer toda la información geométrica que contiene.

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