En las matemáticas el arte de proponer una pregunta
debe tener un valor más alto que resolverlo.
– Georg Cantor
Introducción
En la entrada anterior resolvimos 3 de las ecuaciones diferenciales especiales que deseamos resolver, en esta entrada concluiremos con el resto de ecuaciones.
Recordemos que las ecuaciones diferenciales especiales que deseamos resolver son:
- Ecuación de Hermite.
- Ecuación de Laguerre.
- Ecuación de Legendre.
- Ecuación de Bessel.
- Ecuación de Chebyshev.
- Ecuación Hipergeométrica de Gauss.
- Ecuación de Airy.
Resolvamos ahora la ecuación de Bessel.
Ecuación de Bessel
La ecuación de Bessel es
Con
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) fue un matemático y astrónomo alemán conocido por generalizar las llamadas funciones de Bessel, éstas funciones son soluciones canónicas de la ecuación de Bessel. Las funciones de Bessel fueron definidas primero por el matemático Daniel Bernoulli. Como astrónomo Bessel fue el primero en determinar el paralaje de una estrella, publicando en 1838 los datos que había calculado de 61 Cygni.
Resolvamos la ecuación. Dividamos todo por
Identificamos que
Es claro que ambas funciones no están definidas en
Los límites son
Los límites existen, esto nos indica que el punto
Las derivadas son
Sustituyamos en la ecuación de Bessel.
Expandiendo y simplificando, se tiene
En la tercer serie hacemos la sustitución
Necesitamos extraer los términos para
Para
La ecuación indicial es
Las raíces son
Para
Como lo que esta entre corchetes no se anula para las raíces de la ecuación indicial, entonces debe ser que
Ahora tenemos la ecuación
Reescribiendo todo en una serie, se tiene
De donde,
Despejando a
Para el caso en el que
Determinemos los coeficientes para este caso.
Pero
Para
En general,
Entonces la primer solución de la ecuación de Bessel es
Con
No obtendremos la segunda solución para
Definamos la función Gamma y apoyémonos de ella.
La convergencia de la integral requiere que
La función Gamma posee la propiedad conveniente de que
Debido a esta propiedad es que al valor arbitrario
Como
Entonces el coeficiente
Para
Si
De tarea moral demuestra que para
Por lo tanto, la solución general de la ecuación de Bessel es
Las funciones
Dependiendo del valor de
Debemos tener cuidado con la solución general (
- Si
es claro que las soluciones ( ) y ( ) son las mismas.
- Si
y no es un entero positivo, entonces ( ) y ( ) son linealmente independientes y ( ) es la solución general, pero
- Si
es un entero positivo podría existir una segunda solución en serie y entonces las soluciones ( ) y ( ) no son linealmente independientes, lo que significa que ( ) no es la solución general.
Observamos que
Ecuación de Chebyshev
La ecuación de Chebyshev es
Con
Esta ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894) conocido por su trabajo en el área de la probabilidad y estadística.
La ecuación de Chebyshev en su forma estándar es
Identificamos que
Ambas funciones no están definidas en
La primera y segunda derivada son
Sustituimos en la ecuación de Chebyshev.
Expandiendo y simplificando se tiene
En la primer serie hacemos
Extraemos los primeros dos términos, por un lado para
de donde,
Por otro lado, para
de donde,
Ahora tenemos la ecuación
Si juntamos todo en una serie, se obtiene
De donde,
Si despejamos a
Ya vimos que para
Y para
Para
Etcétera, con estos resultado podemos observar el patrón
y
Si tomamos como factores comunes a
Con
y
Para
En general, el
Ecuación Hipergeométrica de Gauss
La ecuación Hipergeométrica es
Con
La ecuación hipergeométrica en su forma estándar es
Identificamos que
Ambas funciones no están definidas es
Ambas funciones son analíticas en
Por lo tanto,
Las derivadas son
Sustituimos en la ecuación hipergeométrica.
Expandiendo la expresión se tiene
Simplificamos
En la primera y tercera serie hacemos
Para
La ecuación indicial es
Las raíces son
Juntemos todo en una sola serie.
De donde,
Despejando a
De tarea moral demuestra que la relación de recurrencia se puede reescribir como
Para
Etcétera. Una forma de escribir las expresiones anteriores es usando el símbolo de Pochhammer que se define de la siguiente manera.
Una relación interesante entre el símbolo de Pochhammer y la función Gamma es
Siempre que
Usando el símbolo de Pochhammer podemos escribir a los coeficientes como
Y en general,
Por lo tanto, la solución de la ecuación hipergeométrica es
Donde
Hemos resuelto la ecuación hipergeométrica de manera general, pero recordemos que las raíces indiciales son
Para el caso en el que
Donde se ha hecho uso del símbolo de Pochhammer y se requiere que
De tarea moral demuestra que para el caso en el que
Considerando estos resultados, la solución general de la ecuación hipergeométrica para
Ecuación de Airy
Recordemos que cuando estudiamos el método de resolución con respecto a puntos ordinarios resolvimos como ejemplo la ecuación diferencial
Mencionamos que dicha ecuación era una forma de lo que se conoce como ecuación de Airy. Por su puesto, la ecuación
es otra forma de lo que se conoce como ecuación de Airy y dado que ya resolvimos la forma (
Estas ecuaciones llevan el nombre de Airy en honor al astrónomo británico George Biddell Airy (1801 – 1892).
La solución general de la ecuación de Airy (
Hemos concluido, es importante recordar que cada una de estas ecuaciones y sus soluciones tienen propiedades matemáticas muy importantes que no se revisaron debido a que quedan fuera de lo que nos corresponde en este curso, sin embargo en semestres posteriores seguramente aparecerán de nuevo y lo visto en estas dos últimas entradas será de valiosa utilidad.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Demostrar que la segunda solución de la ecuación de Bessel para
es Es decir, encontrar la relación de recurrencia para , determinar la forma de los coeficientes de la solución y determina el valor correcto que debe tener usando la función Gamma para finalmente dar con la solución que se desea.
- Investigar qué son las funciones de Bessel de segunda clase y mencionar la relación que tienen con las funciones de Bessel de primera clase.
- Los primeros 6 polinomios de Chebyshev son solución de la ecuación de Chebyshev para
respectivamente. Determinar el valor correspondiente de y , tal que se obtengan los primeros 6 polinomios de Chebyshev.
- Demostrar que si
, y , la segunda solución de la ecuación hipergeométrica es
Se puede hacer uso del resultado general ( ).
- Demostrar que la ecuación de Legendre es un caso especial de la ecuación hipergeométrica.
- Resolver la ecuación de Airy con respecto al punto ordinario
.
Más adelante…
¡Hemos concluido con la unidad 2 del curso!.
En la siguiente unidad estudiaremos los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Entradas relacionadas
- Página principal del curso: Ecuaciones Diferenciales I
- Entrada anterior del curso: Ecuaciones del Hermite, Laguerre y Legendre
- Siguiente entrada del curso: Sistemas de ecuaciones diferenciales
- Video relacionado al tema: Ecuaciones de Bessel y Legendre
- Video relacionado al tema: Ecuaciones de Chebyshev e hipergeométrica
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»