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Cálculo Diferencial e Integral II: Definición de series y series infinitas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En esta entrada veremos la definición de series y sumas parciales para conocer lo básico en este nuevo tema que con llevará a teoremas que nos dirán si una serie es divergente o convergente.

Cabe recalcar que para este tema se debe tener noción de sucesiones que se estudió en Cálculo Diferencial e Integral I. Comenzamos estudiando las sumas parciales que se definen como sigue.

Sumas parciales

Definición. Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ una sucesión, definimos la nueva sucesión $S_{n}$ «la sucesión de la sumas parciales de $\left \{ a_{n} \right \}$» como:

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+….+a_{n}$$

Esta serie se denota comúnmente como:

$$S_{n}= a_{1}+a_{2}+….+a_{n} =\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$

Donde $a_{i}$ es el término general de la sucesión y se va sumando desde el valor inferior $i=1$ hasta el valor $i=n$.

Veamos unos ejemplos:

  • Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ una sucesión dada por $a_{n}=\frac{1}{n}$

En este caso tenemos que $a_{1}=\frac{1}{1}$, $a_{2}=\frac{1}{2}$ y $a_{3}=\frac{1}{3}$ entonces tenemos que la sucesión de sumas parciales hasta $n=3$ es:

$$S_{1}=\sum_{i=1}^{1}a_{i}=a_{1}=1, \space$$

$$S_{2}=\sum_{i=1}^{2}a_{i}=a_{1}+a_{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, \space$$

$$S_{3}=\sum_{i=1}^{3}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$$

  • Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ una sucesión dada por $a_{n}=(-1)^{n}$

Tenemos que las sumas parciales hasta $n=4$ son:

$$S_{1}=-1, \space$$

$$S_{2}=S_{1}+a_{2}=-1+1=0, \space$$

$$S_{3}=S_{2}+a_{3}=-1$$

$$S_{4}=S_{3}+a_{4}=0$$

A este tipo de series se les conoce como series oscilantes, ya que como vemos, las sumas parciales van oscilando sobre algunos valores.

  • Sea $a_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$

Tenemos que:

$$S_{1}=\frac{1}{2},$$

$$S_{2}=S_{1}+a_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4},$$

$$S_{3}=S_{2}+a_{3}=\frac{7}{8}$$

$$S_{4}=S_{3}+a_{4}=\frac{15}{16}$$

Se puede afirmar que las sumas parciales de esta sucesión tienden al valor siguiente:

Afirmación: $$\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n} = S_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}=1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \tag{1}$$

Demostración:

Esta afirmación se demuestra por inducción, por lo que recordamos que demostrar por inducción consta de tres pasos siguientes:

$1)$ para $n=1$ tenemos que:

$$ \sum_{i=1}^{1} \left ( \frac{1}{2} \right )^{1} =S_{1}=\frac{2^{1}-1}{2^{1}}=1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}=\frac{1}{2}$$

Por lo que para $n=1$ cumple.

$2)$ Supongamos valido para $n=k$ entonces:

$$ \sum_{i=1}^{k} \left ( \frac{1}{2} \right )^{k}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}=1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{k}$$

$3)$ Demostremos para $n=k+1$, por lo que:

$$ \sum_{i=1}^{k+1} \left ( \frac{1}{2} \right )^{k+1} =S_{k+1}=S_{k}+a_{k+1}=\frac{2^{k}-1}{2^k}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{k+1}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}$$

Multiplicamos por $\frac{2}{2}$ en la fracción de la izquierda, por lo que se tiene que:

$$ 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{k+1} =\frac{2\left ( 2^{k}-1 \right )}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-2}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$$

$$\therefore \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \space \space \space \space \space \space \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n} =S_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}= 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} $$

$\square$

Ya que hemos estudiado un poco las sumas parciales, veamos cuando una serie converge o diverge.

Series

Definición. Si la sucesión de sumas parciales $S_{n}$ de la sucesión $a_{n}$, converge a un número $L$ con $L \space \epsilon \space \mathbb{R}$, entonces:

$$\sum_{i=1}^{n}a_{n}=L$$

Es decir, la serie $a_{n}$ converge al valor $L$.

En caso contrario, si $S_{n}$ no converge, entonces la serie $\sum_{i=1}^{n}a_{n}$ diverge.

La anterior definición es para series que no son infinitas, a las series infinitas las definimos como sigue:

Definición. Se dice que la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable (o convergente) si la sucesión de sumas parciales $S_{n}$ converge, para $\lim_{n \to \infty} S_{n}$, es decir:

$$\lim_{n \to \infty} S_{n}=L$$

Donde $L$ es un número. La notación anterior se puede denotar de la siguiente manera:

$$\lim_{n \to \infty} S_{n}=\lim_{n \to \infty}\left ( a_{1}+a_{2}+….+a_{n} \right )=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i} \tag{2}$$

$\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}$ recibe el nombre de suma infinita de $a_{n}$ ó la serie infinita de $a_{n}$.

  • Si $S_{n}$ converge se dice que la serie converge.
  • Si $S_{n}$ diverge se dice que la serie diverge.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Sea la serie $\sum_{i=1}^{\infty }a_{i}$ con $a_{i}=\frac{1}{2^{i}}$, diga si esta serie converge o diverge.

De la definición $(2)$ tenemos que:

$$\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^{i}}=\lim_{n \to \infty}S_{n}$$

Por la afirmación de la relación $(1)$, tenemos que:

$$\lim_{n \to \infty}S_{n}=\lim_{n \to \infty}\left ( \frac{2^{n}-1}{2^n} \right )=\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{2^{n}})=1$$

ya que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^{n}}=0$$

$$\therefore \sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^{i}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+….+\frac{1}{2^{i}}=1$$

Por tanto, la serie converge a un valor y ese valor es $1$.

  • Sea la serie $\sum_{i=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$, diga si esta serie converge o diverge.

Vemos que:

$$a_{n}=\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )$$

Así :

$$S_{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

$$S_{2}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=\frac{2}{3}$$

$$S_{3}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=1-\frac{1}{4}$$

Vemos que sigue una secuencia, por lo que podemos afirmar lo siguiente:

Afirmación: $$\sum_{i=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=S_{n}=1-\frac{1}{n+1} \tag{3}$$

La demostración se le dejará como tarea moral, recuerde que este tipo de demostraciones se usa comúnmente la demostración por inducción.

Entonces de la afirmación $(3)$ tenemos que:

$$\sum_{i=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\lim_{n \to \infty}S_{n}=\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1$$

ya que:

$$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1})=0$$

$$\therefore \sum_{i=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1$$

Por lo tanto, la serie converge.

  • Sea la serie $\sum_{i=1}^{\infty }(-1)^{n}$, diga si esta serie converge o diverge.

Entonces tenemos que $a_{n}=(-1)^{n}$, vemos que:

$$S_{1}=-1,$$

$$S_{2}=0,$$

$$S_{3}=-1$$

$$S_{4}=0$$

Vemos que esta serie está oscilando, por lo que esta serie está dada como:

$$S_{n}=\left\{ \begin{array}{lcc}
             -1 & si \space n \space es \space impar   \\
             \\ 0 & si \space n \space es \space par \\
             \end{array}
   \right.$$

Por lo que:

$$\sum_{i=1}^{\infty }(-1)^{n}=\lim_{n \to \infty }S_{n} \to diverge$$

No existe el límite, porque vemos que la serie oscila entre los valores $-1$ y $0$.

A este tipo de series se les conoce como series oscilantes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si las siguientes series convergen o divergen:

  1. $$\sum_{i=1}^{5} 1$$
  2. $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$
  3. $$\sum_{i=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$$
  4. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2}{4n^{2}-1}$$ Hint: Utilice fracciones parciales y demuestre por inducción que $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{2n+1}$.
  5. Demuestre por inducción que: $\sum_{i=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$

Más adelante…

En esta sección vimos la definición y notación de series y series infinitas viendo algunos ejemplos para entender las sumas parciales de estas series y determinando la convergencia y divergencia de algunas series, en la siguiente sección veremos unas series particulares que se llaman series geométricas.

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