Introducción
En las entradas anteriores, estuvimos hablando de la clasificación de las curvas cuadráticas módulo transformaciones afines (las
Equivalencia de polinomios
Antes de definir la equivalencia de polinomios, es importante preguntarnos si las imágenes afínes de curvas cuadráticas son de nuevo curvas cuadráticas.
Para responder la pregunta anterior, considera una curva cuadrática
Dado lo anterior, podemos afirmar que:
Demostración
Observemos que cualquier punto en
Entonces
Sea
Entonces,
Lo que termina la demostración.
Observa que en la demostración anterior, solo se usó que
Lema 4.1: Sea
Demostración
Si
Y como las dos coordenadas de
Entonces
Con lo que termina la demostración.
Definición: Sea
Decimos que dos polinomios cuadráticos
Finalmente, tenemos el siguiente teorema que relaciona esta entrada con la entrada anterior en la que se clasificó a las curvas cuadráticas:
Teorema 4.2: Sea
Reducción de polinomios cuadráticos
Ahora veremos cómo reducir o simplificar un polinomio cuadrático, usando coordenadas afines. Para esto, vamos a simplificar los polinomios con matrices y vectores.
Recordemos que el polinomio general de segundo grado se puede escribir como:
Ahora considera un vector variable
Con estos datos, podemos escribir
Con
A esta expresión se le conoce como la expresión vectorial del P.
Tarea moral
- Demuestra que, la relación definida en
es de equivalencia. - Demuestra el Teorema 4.2.
- Muestra que, la expresión en
, es cierta. - Demuestra que, para un subgrupo
de , la relación de ser -equivalentes, es una relación de equivalencia en los polinomios cuadráticos de dos variables. - Da una expresión general para un polinomio cuadrático en tres variables
y luego define una expresión vectorial para él. - Encuentra la matriz simétrica
y el vector constante que dan la expresión vectorial de los siguientes polinomios cuadráticos:
Más adelante
En la siguiente entrada, vamos a usar los conocimientos adquiridos de esta entrada, para encontrar el centro y los ejes de las cónicas.