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Teoría de los Conjuntos I: Paradoja de Russell

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada tendremos un acercamiento a una de las grandes controversias que tuvó la teoría de los conjuntos: la paradoja de Russell, también llamada paradoja del barbero. Es importante que prestes especial atención al esquema de comprensión que vimos en la entrada anterior, pues a partir de la paradoja de Rusell y el esquema de comprensión estudiaremos al contradictorio «conjunto de todos los conjuntos».

La paradoja del barbero

«En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme!. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.»

López Mateos, Manuel (1978). Los Conjuntos. México D.F.: Publicaciones del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Si analizamos la historia anterior, As-Samet estaba metido en verdaderos problemas debido al mandato del emir. Dado que As-Samet era barbero, podía afeitarse a sí mismo, entonces el barbero no debía afeitarlo. Sin embargo, decir que él mismo se puede afeitar es igual a decir que el barbero lo afeitará y eso desobedece el mandato, por lo tanto no debe afeitarse.

Ahora, como no se puede afeitar a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo, es decir, él debe afeitarse, y eso también desobedece el mandato. Por lo tanto, As-Samet debe afeitarse si y sólo si As-Samet no debe afeitarse, lo cual es un absurdo. ¡Qué gran lío!

Formalización de la paradoja del barbero

Vimos en la entrada anterior que el esquema de comprensión nos permite construir conjuntos a partir de elementos en un conjunto con una propiedad. A continuación definiremos a una colección y veremos que hay colecciones que no son conjuntos.

Definición: Dada $P(x)$ una propiedad, definimos a la colección determinada por $P$ como todos los conjuntos que satisfacen a la propiedad $P$. A dicha colección la denotaremos mediante $\set{x:P(x)}$.

Ahora que hemos definido a una colección, vamos a ver un ejemplo de que no toda colección será un conjunto. Para ello, presentaremos esta paradoja dando una propiedad «$P(x): x\notin x$» que se interpreta como los conjuntos $x$ que no se pertenecen a sí mismos. Definimos $B$ como la colección $B=\set{x:P(x)}$ , tenemos lo siguientes casos:

  • Si $B\in B$, entonces $P(B)$ se cumple, es decir, $B\notin B$.
  • Si $B\notin B$, entonces $P(B)$ no se satisface, es decir, no es cierto que $B\notin B$, por lo que $B\in B$.

Ahora, si juntamos los casos anteriores tendremos que $B\in B$ si y sólo si $B\notin B$, lo cual nos lleva forzosamente a una contradicción. Por lo tanto, es imposible que $B$ sea un conjunto, sin embargo $B$ si es una colección.

La colección de todos los conjuntos

La idea anterior es problemática, pero informal: no hemos dicho por qué sí nos lleva a problemas dentro de nuestro sistema axiomático. El problema se originaría de suponer que hay un conjunto de todos los conjuntos.

Proposición. El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración. (Por reducción al absurdo).

Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos si existe. Sea $V$ dicho conjunto y consideremos «$P(x): x\notin x$», tenemos que $A=\set{x\in V: x\notin x}$ es un conjunto por el esquema de comprensión. De modo que $A\in V$ pues $V$ tiene a todos los conjuntos, además $P(A)$ puede o no ser verdadero, evaluemos los dos casos posibles.

  • Si $P(A)$ es verdadero, entonces $A\notin A$ y por lo tanto, $A\in A$.
  • Si $P(A)$ es falso, entonces $A\in A$ y por lo tanto, $A\notin A$.

Por lo tanto, $A\in A$ si y sólo si $A\notin A$ lo cuál es una contradicción. Dado que esta vino de suponer que $V$ es un conjunto, concluimos que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

Denotaremos a $V$ como la colección de todos los conjuntos.

La conclusión que obtenemos es que para dar un conjunto requerimos más que una propiedad, necesitamos también que los elementos que satisfagan dicha propiedad sean elementos de algo que previamente ya sabemos es un conjunto. Este problema lo soluciona el esquema de comprensión.

Tarea moral

Con los temas que hemos visto hasta este momento demuestra o explica los siguientes ejercicios:

  • ¿Cómo podemos averiguar si dos conjuntos son iguales?
  • Explica con tus palabras porqué $\set{x:x\notin x}$ no es un conjunto.
  • Escribe colecciones que consideres que son conjuntos. Más adelante tendrás el conocimiento necesario para determinar si dichas colecciones son o no conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos axiomas de construcción: el axioma del par y el axioma de unión. Estos, junto con el esquema de comprensión nos proporcionarán las herramientas necesarias para construir nuevos conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»