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Cálculo Diferencial e Integral II: Probabilidad

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos la aplicación de la integral para calcular la fuerza y la presión hidrostática de un fluido, en esta sección veremos como se aplica la integral en probabilidad.

Probabilidad

El concepto de probabilidad desempeña un papel en el análisis del comportamiento aleatorio, usando a la probabilidad como la medida que un evento ocurra o no, siendo el conjunto de eventos posibles que pueden ser finitos. La probabilidad denotada comúnmente por la letra $P$ es un número donde $0 \leq P \leq 1$, indicando que, si $P$ es muy próximo a $0$ entonces es más improbable que ocurra el evento, mientras que, si $P$ es próximo a $1$ entonces es muy probable que ocurra el evento.

Sabemos que el área debajo de una curva lo podemos calcular con una integral definida, también se puede calcular la probabilidad de que ocurra un evento dentro de un intervalo $[a, b]$ dada una variable aleatoria continua $X$, recordemos que una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Cada variable aleatoria continua tiene una función de densidad de probabilidad denotada por $f(x)$, por lo que al integrar esta función se puede calcular la probabilidad de que $X$ esta en $[a, b]$.

La función de densidad de probabilidad $f(x)$ de una variable aleatoria $X$ satisface las siguientes condiciones:

  • $$f(x) \geq 0 \space \space \forall x$$

El área bajo la función de densidad es unitaria:

  • $$\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1$$

Definición: La probabilidad de que $X$ toma un valor en el intervalo $[a, b]$ es el área bajo la curva de la función de densidad dada como:

$$P(a \leq x \leq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Veamos un ejemplo.

  • ¿Cuál es la probabilidad de que reciba un paquete entre las $3 \space PM$ y $5 \space PM$? Con la siguiente función de probabilidad:

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} \frac{2}{99}(x+12)-\frac{14}{99} \space \space \space \space -5\leq x \leq 4\\ \frac{-1}{11}(x+12)+\frac{18}{11} \space \space \space \space 4 \leq x \leq 6 \end{array}\right.$$

Calculamos la probabilidad como:

$$P(3 \leq x \leq 5)=\int_{3}^{5}f(x)dx=\int_{3}^{4}\left ( \frac{2}{99}(x+12)-\frac{14}{99} \right )dx+\int_{4}^{5}\left ( \frac{-1}{11}(x+12)+\frac{18}{11} \right )dx$$

$$=\frac{2}{99}\left [ \frac{x^{2}}{2}+5x \right ]\bigg|_{3}^{4}-\frac{1}{11}\left [ \frac{x^{2}}{2}-6x \right ]\bigg|_{4}^{5}=\frac{17}{99}+\frac{1.5}{11}$$

$$\therefore P(3 \leq x \leq 5)=\frac{61}{198} \approx 0.308$$

  • Sea $f(x)=0.006x(10-x)$ para $0 \leq x \leq 10$ y $f(x)=0$ para todos los demás valores de $x$. Compruebe que $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad y determine $P(4 \leq X \leq 8)$.

Para comprobar que $f$ es una función de densidad de probabilidad, entonces vemos que para $0 \leq x \leq 10$ se tiene que $0.006x(10-x)\geq 0$, por tanto $f(x)\geq 0$.

Ahora veamos que satisfaga $\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1$:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{0}^{10}0.006x(10-x)dx=0.006\int_{0}^{10}(10x-x^{2})dx=0.006\left [ 5x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]\bigg|_{0}^{10}=0.006\left ( 500-1000/3 \right )=1$$

Por tanto, $f$ es una función de densidad de probabilidad.

Ahora la probabilidad de que $X$ está entre $4$ y $8$ lo calculamos como:

$$P(4 \leq X \leq 8)=\int_{4}^{8}f(x)dx=\int_{4}^{8}0.006x(10-x)dx=0.006\int_{4}^{8}(10x-x^{2})dx=0.006\left [ 5x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]\bigg|_{4}^{8}=0.544$$

$$\therefore P(4 \leq X \leq 8)= 0.544 $$

Aplicación en física

En física se pueden encontrar problemas que involucren la probabilidad, por ejemplo, en mecánica cuántica se puede calcular la probabilidad en la que una partícula se encuentra en una caja, aunque en este caso sabemos que el resultado es 1, ya que en cualquier punto dentro de la caja la partícula está adentro, pero veamos en un enfoque probabilístico.

La función de onda, representada como $\psi (x,t)$, es la amplitud de encontrar la partícula en un punto dado en el espacio. Si esta partícula se encuentra en una caja de longitud $L$, con una función de onda constante $\psi (x,t)=C$, entonces:

$$P(-\infty, \infty)=\int_{-\infty}^{\infty}\mid \psi(x,t) \mid^{2}dx=1$$

Teniendo la condición de normalización, así tenemos que:

$$P(0,L)=\int_{0}^{L}\mid C\mid^{2}dx=\mid C\mid ^{2}\int_{0}^{L}dx=\mid C\mid ^{2}L=1$$

$$\Rightarrow C=\sqrt{\frac{1}{L}}$$

La probabilidad de encontrar esta partícula lo calculamos como:

$$P(0,L)=\int_{0}^{L}\mid \sqrt{\frac{1}{L}}\mid^{2}dx=\mid \sqrt{\frac{1}{L}}\mid ^{2}\int_{0}^{L}dx=\mid \sqrt{\frac{1}{L}}\mid ^{2}L=1$$

Lo que se esperaba, la probabilidad de encontrar la partícula dentro de la caja es 1, aunque es un ejemplo muy sencillo, la probabilidad se puede encontrar más allá de la física.

Media de una variable aleatoria

La media de cualquier variable aleatoria se define como:

$$\mu = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$

Se interpreta como el valor promedio de la variable aleatoria $X$ o se interpreta también como una medida de la posición central de la función de densidad de probabilidad.

Distribución Normal

Muchos fenómenos aleatorios importantes se pueden modelar mediante una distribución normal, el cual se define como:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma ^{2}}}$$

Donde $\mu$ es la media de la función $f(x)$, $\sigma$ es la desviación estándar, el cual se puede interpretar como; que tan dispersos están los valores de $X$. Geométricamente, esta distribución normal tiene una figura similar al de una campana, como se muestra en la siguiente imagen.

Figura 1: Distribución normal con $\mu=0$ y $\sigma=1$.

El factor $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$ es necesario para que $f(x)$ sea normalizable y, por tanto, sea una función de densidad de probabilidad.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $f(x)=kx^{2}(1-x)$ si $0 \leq x \leq 1$ y $f(x)=0$ si $x<0$ o $x>1$. Para que valor de $k$ es una función de densidad de probabilidad.
  2. Encuentre la media de la distribución exponencial dada como: $$f(t)=\left\lbrace\begin{array}{c} 0 \space \space si \space \space t<0 \\ ce^{-ct} \space \space si \space \space t \geq 0\end{array}\right.$$
  3. Suponga que el tiempo de espera promedio para que la llamada de un cliente sea contestada por un representante de una compañía es de 5 minutos.
    1. Encuentre la probabilidad en la que una llamada sea contestada durante el primer minuto.
    2. Determine la probabilidad en el que la llamada de un cliente espere mas de cinco minutos a que sea contestada su llamada.
  4. Las puntuaciones del cociente intelectual (CI) tiene una distribución normal con media $100$ y desviación estándar $15$. ¿Qué porcentaje de la población tiene una puntuación de CI entre 85 y 115. Hint: La función $y=e^{x^{2}}$ no tiene una antiderivada elemental por lo que no se puede evaluar la integral de manera exacta por lo que se tiene que usar un método numero, regla de Simpson o regla del punto medio para aproximar la integral.

Más adelante…

En esta unidad vimos una pequeña introducción a la probabilidad, así como la media de una variable aleatoria y la distribución Gaussiana como aplicación de la integral. Con este tema acabamos la unidad 6, en la siguiente sección comenzaremos la unidad 7 empezando a estudiar series.

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