Introducción

En la entrada anterior vimos funciones lineales, un concepto fundamental y que sin él no podríamos definir formalmente al conjunto de las matrices en ${\mathbb{R}}^n$. Requerimos ver cómo los conceptos de función lineal y el de matriz se entrelazan; para comprender porqué a menudo se trabaja más con matrices asociadas a una función lineal cuando hablamos de transformaciones.

Matrices

Previo a la definición de nuestro interés en esta sección debemos recordarles quiénes son lo vectores canónicos de ${\mathbb{R}}^n$, ya que vamos a trabajar con ellos en esta entrada. Los vectores canónicos son aquellos formados por sólo una entrada igual a 1 y el resto de entradas son todas cero. Se denotan por $e_i$, donde $i=\{1,2,\cdots ,n\}$ y el subíndice $i$ nos indica la posición de la entrada con 1.

Ejemplo. Si nos encontramos en ${\mathbb{R}}^3$, sus vectores canónicos son:

$$\begin{array}{rlrlrl}{e}_1& =(1,0,0),& e_2& =(0,1,0),& e_3& =(0,0,1).\end{array}$$

A continuación tomaremos una función lineal $f:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$, donde $f(e_1)=(4,3)$ y $f(e_2)=(-1,2)$. Entonces $f$ se escribe como:

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =x(4,3)+y(-1,2)\\ & =(4x–y,3x+2).\end{array}$$

Vemos que hay una clara desventaja en la forma en que representamos a $f$, porque podemos confundirnos al ordenar y separar comas. Si ahora consideramos a los vectores como columnas en lugar de filas, el reordenamiento será de la siguiente manera:

Vectores columna

Definición 4. Un vector columna de orden $m$ es una ordenación de elementos en $m$ filas y que tiene una columna:

$$a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^m,$$

Un vector fila de orden $n$ es una ordenación de elementos e $n$ columnas y que tiene una fila:

$$c=(c_1,c_2,\cdots ,c_n).$$

A este tipo de vectores como vemos, se les designa por una letra minúscula y de hecho la transpuesta de un vector fila es un vector columna y viceversa.

Entonces los vectores fila son los transpuestos de los vectores columna denotándolos por $x^T=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ o bien $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$. Entonces, la notación que hasta ahora hemos presentado, la podemos ver reflejada con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Si tenemos que para ${\mathbb{R}}^2$ existen los dos vectores canónicos $e_1=(1,0)$ y $e_2=(0,1)$ y queremos representar los vectores como vectores columna, procedemos a escribir la notación de transpuesta previamente; es decir $e_1=(1,0{)}^T$ y $e_2=(0,1{)}^T$. Con ello podemos trabajar ahora los vectores como columnas:

$$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),y{e}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

Ahora tenemos las herramientas con las que podemos enlazar los conceptos de matriz con el de una función lineal; así que veamos a ver una definición muy importante para ello.

Matriz de una función lineal

Para continuar debemos observar que una matriz de tamaño $m\times n$ contiene la información de una función lineal de ${\mathbb{R}}^n$ en ${\mathbb{R}}^m$, invirtiendo el orden debido a la convención que existe debido al orden en que se realiza la composición de funciones.

Definición 5. A la matriz $A$ se le asocia la función lineal $f:{\mathbb{R}}^n\mapsto {\mathbb{R}}^m$ que manda al vector canónico $e_i\in {\mathbb{R}}^n$ en su i-ésima columna, es decir, $f(e_i)=u_i$, para $i=,2,\cdots ,n$.

Ejemplo. Si recordamos a la función del inicio de esta entrada de ${\mathbb{R}}^2$ en ${\mathbb{R}}^2$ donde

$$f(x)=\left(\begin{array}{c}4x-y\\ 3x+2y\end{array}\right),$$

bueno pues a la función lineal de ${\mathbb{R}}^2$ en ${\mathbb{R}}^2$ se le asocia la matriz

$$f(x)=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 3& 2\end{array}\right).$$

Observemos bien cómo la variable $x$ está asociada a la primer columna y la variable $y$ a la segunda columna.

Tarea moral

1. Para el primer ejercicio vamos a dar una definición:

Definición. La suma de dos matrices $A$, $B$, ambas de dimensión $m\times n$, se llama matriz suma de $A$ y $B$ y se denota $C=A+B$ a la matriz $C$ de dimensión $m\times n$ tal que

$$a_{ij}=a_{ij}+b_{ij},i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n.$$

Calcular la suma de $A+B$, $B+C$ y $A+C$ con las matrices:

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 8\\ 4& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& -2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 6& 4\end{array}\right).$$

2. De las siguientes matrices , calcular sus transpuestas:

$$D=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 7\\ 9& 11\\ -1& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 3\\ 2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ 4& 7& -9\end{array}\right).$$

3. De la siguiente función $g:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$ dada por:

$$g(x)=\left(\begin{array}{c}6x-8y\\ -2x+81y\end{array}\right),$$

¿Cuál es la matriz asociada a la función lineal?.

Más adelante

Ahora que definimos a un vector y a una matriz de una función lineal, podemos proceder a definir su producto. En la siguiente entrada primero veremos cómo se realiza el producto de una matriz con un vector y después definir el producto de matrices cualesquiera. Además se darán cuenta de la fuerte relación que hay entre la composición de funciones y el producto de funciones.

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