Introducción
En esta entrada conoceremos una nueva operación que se puede aplicar a matrices: la traza. Esta operación a primera vista parece bastante sencilla, pero no por eso es menos importante; en futuros cursos conocerás cómo se relaciona estrechamente con otros conceptos matemáticos y sus aplicaciones.
Traza
Definimos la traza de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de su diagonal. Es importante destacar que únicament ele aplicaremos la operación de traza a matrices cuadradas pues más adelante las propiedades que nos interesarán requieren de esta condición.
Por ejemplo, las trazas de las matrices
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 9 \\
1 & -6
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
11 & 5 & 2 \\
6 & 12 & -5
\end{pmatrix}
\]
son, respectivamente,
\[
\operatorname{tr}(A)
=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
4 & 9 \\
1 & -6
\end{pmatrix}
=
4+ (-6)
=
-2
\]
y
\[
\operatorname{tr}(B)
=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 \\
11 & 5 & 2 \\
6 & 12 & -5
\end{pmatrix}
=
1 + 5 + (-5) = 1.
\]
Propiedades de la traza
La traza cumple un par de propiedades importantes con respecto a otras operaciones que definimos anteriormente. Para la prueba de estas propiedades consideraremos matrices de tamaño $2 \times 2$, pero fácilmente podrás probarlo para cualquier otro tamaño de matrices cuadradas.
Consideremos las matrices
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}.
\]
Observemos que la traza se distribuye con respecto a la suma; es decir,
\begin{align*}
\operatorname{tr}(A+B)
&=
\operatorname{tr}
\left(
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
(a_{11}+b_{11}) + (a_{22}+b_{22})
\\[5pt]
&=
(a_{11} + a_{22}) + (b_{11}+b_{22})
\\[5pt]
&=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
+
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B).
\end{align*}
Además, la traza saca escalares; es decir, para cualquier escalar $r$ se cumple que
\begin{align*}
\operatorname{tr}(rA)
&=
\operatorname{tr}
\left(
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} \\
ra_{21} & ra_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
ra_{11} + ra_{22}
\\[5pt]
&=
r(a_{11} + a_{22})
\\[5pt]
&=
r
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r\operatorname{tr}(A).
\end{align*}
Problemas
Trabajemos con algunos problemas en los cuales aparece la traza:
Problema. Demuestra que para matrices $A$ y $B$ de $2 \times 2$ se cumple que $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$.
Solución. Lo demostraremos directamente por la definición de traza.
Consideremos las matrices
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}.
\]
Observemos que
\begin{align*}
\operatorname{tr}(AB)
&=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
(a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})
\\[5pt]
&=
(b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21}) + (b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22})
\\[5pt]
&=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} \\
b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\operatorname{tr}(BA).
\end{align*}
$\square$
Problema. ¿Para qué matrices de $2 \times 2$ se tiene que $\operatorname{tr}(A^2) = (\operatorname{tr}(A))^2$?
Solución. Consideremos la matriz de $2 \times 2$
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}.
\]
Calculamos
\[
\operatorname{tr}(A^2)
=
\operatorname{tr}
\begin{pmatrix}
a^2 + bc & ab + bd \\
ac + cd & bc + d^2
\end{pmatrix}
=
(a^2+bc)+(bc+d^2) = a^2 + 2bc + d^2
\]
y
\[
(\operatorname{tr}(A))^2
=
(a + d)^2
=
a^2 + 2ad + d^2.
\]
Entonces, notamos que
\[
\operatorname{tr}(A^2) = (\operatorname{tr}(A))^2
\]
si y sólo si
\[
a^2 + 2bc + d^2 = a^2 + 2ad + d^2,
\]
lo cual se cumple si y sólo si
\[
bc = ad.
\]
Entonces, las matrices de $2\times 2$ que cumplen que $\operatorname{tr}(A^2) = (\operatorname{tr}(A))^2$ son aquellas de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tales que $bc = ad$. ¿Podrías dar un ejemplo de una matriz que cumpla esto?
$\square$
Nota. El hecho de que la matriz $A$ anterior cumpla que $bc = ad$ equivale a que $ac – bd = 0$, y esto equivale, como verás en la siguiente entrada, a que “el determinante de $A$ sea cero”.
Más adelante…
En esta entrada aprendimos la definición de traza y vimos algunas de sus propiedades.
Además, en el problema 2, mencionamos un concepto que hasta ahora no hemos visto. En la siguiente entrada conoceremos una de las operaciones más importantes que se pueden aplicar a matrices cuadradas: el determinante.
Tarea moral
- Encuenta la traza de las siguientes matrices:
\[
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 3/\sqrt{2} \\
\sqrt{3} & \sqrt{6}
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
2x & 9y \\
4y & -5x
\end{pmatrix},
\]
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & -3 & 4 \\
-1 & 0 & 4
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
-3 & 2 & 4 \\
-4 & 2 & 4 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\quad
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}.
\] - Demuestra que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ para matrices $A$ y $B$ de $3\times 3$. Intenta también hacerlo para matrices de $n\times n$.
- Determina si el siguiente enunciado es verdadero o falso. Si $A$ y $B$ son matrices de $2\times 2$ tales que $\text{tr}(A)=\text{tr}(B)$ y $\text{tr}(A^2)=\text{tr}(B^2)$, entonces $A=B$.
- ¿Será cierto que la traza es multiplicativa? Es decir, ¿para cualesquiera matrices $A$ y $B$ se cumple que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)$?
- Sea $A$ una matriz de $2\times 2$. Demuestra que $\text{tr}(AA^T)$ siempre es un número real mayor o igual que cero. ¿Es cierto esto mismo si la matriz es de $3\times 3$? ¿Es cierto siempre que $\text{tr}(A^2)$ es un número mayor o igual a cero?
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