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Teoría de los Conjuntos I: Funciones inversas

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En la entrada de composición de relaciones vimos que al componer una relación $R$ con la relación $Id$ obtenemos la relación $R$. Lo mismo ocurre para funciones. Ahora podríamos preguntarnos si dada una función $f$ existe alguna función que al componerla con $f$ nos devuelva la función identidad. Veremos que no siempre es posible y analizaremos cuáles condiciones se requieren para que sí ocurra. Funciones que satisfagan la propiedad de que al componerlas con alguna otra función el resultado sea la identidad les llamaremos funciones invertibles o diremos que tienen una inversa. Como la composición de funciones no es conmutativa, esto nos lleva a tres preguntas: ¿cuándo una función tiene inversa izquierda? ¿cuándo tiene inversa derecha? ¿cuándo tiene una función que sirva de inversa por ambos lados?

En esta entrada exploramos estas preguntas en las siguientes secciones, y las conectamos con las nociones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad que trabajamos previamente.

Inversa izquierda

Estudiemos primero la noción de invertibilidad por la izquierda.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $g\circ f=Id_X$, entonces decimos que $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$.

Luego, si tomamos $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, tenemos que $g\circ f=Id_X$ pues:

$(g\circ f)(1)= g(f(1))= g(1)=1= Id_X(1)$ y $(g\circ f)(2)= g(f(2))= g(2)=2= Id_X(2)$.

Por lo tanto, $g\circ f=Id_X$ y así $g$ es inversa izquierda de $f$.

$\square$

La invertibilidad por la izquierda está conectada con la inyectividad, como lo afirma la siguiente proposición.

Proposición. Sea $f:X\to Y$ una función, se tiene que $f$ es inyectiva si y sólo si $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración. Un caso aparte sencillo es qué sucede si el conjunto $X$ es vacío. En este caso, cualquier función $f:\emptyset \to Y$ es vacía y por lo tanto inyectiva por vacuidad, y $f\circ f = \emptyset =Id_{\emptyset}$, es decir, $f$ es inversa izquierda de sí misma. Así que supondremos que $X\neq \emptyset$.

Supongamos que $f$ es inyectiva, es decir, para cualesquiera $x,y\in X$ se tiene que $f(x)= f(y)$ implica $x=y$. Vamos a demostrar que existe $g:Y\to X$ función tal que $g\circ f= Id_X$.

Para ello, como $X\neq \emptyset$, podemos tomar un $x_0\in X$ cualquiera y definir la siguiente función de $Y$ en $X$:

$$g(y)=\begin{cases} x & \text{si $y\in \text{Im}(f)$ y $f(x)=y$}\\ x_0 & \text{si $y\not \in \text{Im}(f)$}\end{cases}.$$

Veamos primero que $g$ en efecto está bien definida. Esta forma de asignar sí es total, pues para cualquier $y\in Y$ se tiene que o bien $y\in \text{Im}(f)$ o bien $y \not \in \text{Im}(f)$. En el primer caso, por definición existe un $x$ tal que $f(x)=y$ y entonces podemos usar la primera parte de la definición. En el segundo caso usamos la segunda parte de la definición. Además, esta forma de asignar sí es funcional. Cualquier $y\in Y$ está en uno y sólo uno de los casos de arriba. Si está en el primer caso, existe una y sólo una $x$ que cumple $f(x)=y$, pues $f$ es inyectiva. Si está en el segundo caso, $f(y)$ sólo puede valer $x_0$.

Ahora veamos que $g$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, sea $x\in X$, entonces

$(g\circ f)(x)=g(f(x))= x=Id_X(x)$.

Ahora, supongamos que $f$ es una función invertible por la izquierda, es decir, existe $g$ tal que $g\circ f=Id_X$. Veamos que $f$ es inyectiva. Sean $x_1, x_2$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Tenemos que

\begin{align*}
x_1&=Id_X(x_1)\\
&=(g\circ f)(x_1)\\
&=g(f(x_1))\\
&=g(f(x_2))\\
&=(g\circ f)(x_2)\\
&=Id_X(x_2)\\
&=x_2.
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$\square$

Inversa derecha

Una noción parecida a la invertibilidad por la izquierda es la invertibilidad por la derecha.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $f\circ g=Id_Y$, entonces decimos que $g$ es inversa derecha de $f$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$.

Luego, se tiene que $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. En efecto, tenemos que $f\circ g=Id_Y$ pues:

$(f\circ g)(1)= f(g(1))= f(1)=1= Id_Y(1)$ y $(f\circ g)(2)= f(g(2))= f(2)=2= Id_Y(2)$.

Por lo tanto, $f\circ g=Id_Y$ y así $g$ es inversa derecha de $f$.

$\square$

Del ejemplo anterior podrás notar que $f$ es suprayectiva pero no inyectiva por lo que $f$ no puede tener ninguna inversa izquierda. En general, el siguiente resultado nos dice que $f$ es invertible por la derecha justo cuando es suprayectiva.

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función, se tiene que $f$ es suprayectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha.

Demostración (parcial).

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha, digamos $g$. Sea $y\in Y$, veamos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
Dado que $g$ es inversa derecha de $f$, entonces $f\circ g=Id_Y$, por lo que para cualquier $y\in Y$, $(f\circ g)(y)= Id_Y(y)=y$, por lo que al tomar $x= g(y)\in X$, se cumple que $f(x)=f(g(y))=y$. Por lo tanto, $f$ es suprayectiva.

Nos faltaría demostrar que si $f$ es suprayectiva, entonces tiene inversa derecha. Esto no lo podemos hacer ahora y postergamos la demostración para la última parte del curso, cuando hablemos del axioma de elección.

$\square$

¿Por qué no podemos hacer la demostración todavía? Un poco más adelante hablaremos de cómo incluir axiomáticamente a los números naturales en todo lo que estamos construyendo, así que en nuestra teoría tendremos conjuntos infinitos. La razón por la que no podemos hacer la demostración anterior es que los axiomas de teoría de conjuntos que hemos presentado hasta ahora no nos dicen cómo le podemos hacer para tomar «una infinidad de decisiones» para crear un conjunto, y justo necesitamos esto en este momento. ¿Por qué? Sabemos que $f:X\to Y$ es una función suprayectiva, y que entonces todos los elementos de $f$ vienen de por lo menos un elemento de $X$. Pero si cada elemento de $Y$ viene de dos elementos de $X$ (digamos) y $Y$ es infinito, ¿cómo construimos la inversa derecha $g$ de $f$? Tendríamos que decidir para cada $y\in Y$ el valor de $g(y)$ entre dos posibilidades. Esto lo resolveremos incluyendo otro axioma que nos permita tomar una infinidad de decisiones, conocido como Axioma de elección, el cual veremos en entradas posteriores.

Inversa izquierda pero no derecha y viceversa

Podemos preguntarnos por qué hasta este momento tenemos dos conceptos: uno de inversa izquierda y otro de inversa derecha. La respuesta es que en ocasiones la inversa izquierda no será inversa derecha y viceversa. Además habrá veces en las que una función sólo tenga inversa izquierda y no derecha, así como funciones que solo tengan inversa derecha pero no izquierda. Retomemos los ejemplos anteriores para ver esto último.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$. Antes vimos que $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$, sin embargo, $g$ no es inversa derecha pues $f\circ g= \set{(1,1), (2,2), (3, 2)}$ y $f\circ g\not= Id_Y$ pues $(f\circ g)(3)= 2\not= 3=Id_Y(3)$. Además $f$ no tiene inversa derecha pues $g$ debe enviar a $3$ a un elemento de $X$, en este caso las únicas posibilidades son $1$ o $2$. En cualquiera de los casos al componer a la función $g$ con $f$, la composición resulta ser distinta de la función identidad.

Ahora, sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$. Vimos que $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. Sin embargo, $g$ no es inversa izquierda de $f$ pues $g\circ f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$ y $g\circ f\not=Id_X$. De hecho, no podría tener inversa izquierda pues como ya demostramos arriba, $f$ tendría que ser inyectiva, pero no lo es pues $f(1)=1=f(3)$.

$\square$

Inversa de una función

La tercera noción que estudiaremos es la siguiente.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si existe $g:Y\to X$ tal que $g$ es inversa izquierda e inversa derecha de $f$, entonces decimos que $g$ es una inversa de $f$. En este caso, diremos que $f$ es invertible.

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto, consideremos $Id_X$. Resulta que $Id_X$ es invertible. En efecto, si consideramos la función $g=Id_X$ tenemos $g\circ Id_X=Id_X\circ Id_X=Id_X=Id_X\circ Id_X=Id_X\circ g$. Por tanto, $g=Id_X$ es una inversa de $Id_X$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X=\set{0,1}$. Cualquier función inyectiva en $X$ es una función invertible. Para mostrar esto, notemos que las únicas funciones inyectivas en $X$ son $f_1=Id_X$ y $f_2=\set{(0,1),(1,0)}$. Luego, una inversa de $f_1$ es $f_1$ como lo vimos en el ejemplo anterior y, una inversa de $f_2$ es $f_2$ ya que $(f_2\circ f_2)(0)=f_2(f_2(0))=f_2(1)=0$ y $(f_2\circ f_2)(1)=f_2(f_2(1))=f_2(0)=1$, es decir, $f_2\circ f_2=Id_X$.

El siguiente resultado conecta varias propiedades de las que hemos platicado.

Teorema. Sea $f:X\to Y$. Las siguientes tres cosas son equivalentes:

  1. $f$ es biyectiva.
  2. $f$ tiene inversa.
  3. $f$ tiene inversa derecha y $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$. Supongamos que $f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y suprayectiva. Para definir $g:Y\to X$ su inversa, notamos que para cada $y\in Y$ existe un único $x\in X$ tal que $f(x)=y$ y entonces definimos $g(y)=x$. Debemos ver que dicha $g$ compuesta tanto por la derecha como por la izquierda con $f$ nos da la identidad. Por un lado, para cualquier $x\in X$ tenemos que $g(f(x))=x$ por cómo definimos $g$, así que $g\circ f = Id_X$.

Tomemos ahora $y\in Y$ y estudiemos $f(g(y))$. Como $f$ es suprayectiva, existe un $x$ tal que $y=f(x)$. Por definición de $g$, tenemos $f(g(y))=f(g(f(x))=f(x)$. Y como $f$ es inyectiva, tenemos que $g(y)=x$. Así, $f(g(y))=f(x)=y$. Concluimos entonces que $f\circ g=Id_Y$. Con esto concluimos la prueba de que $g$ es inversa de $f$.

$2)\rightarrow 3)$. Si $f$ tiene inversa $g$, entonces $g\circ f = Id_X$ y $f\circ g = Id_Y$, que es justo lo que se pide para que $g$ sea inversa izquierda y derecha respectivamente.

$3)\rightarrow 1)$. Esto es conclusión de lo que ya mostramos anteriormente. Como $f$ tiene inversa derecha, entonces es suprayectiva. Como $f$ tiene inversa izquierda, entonces $f$ es inyectiva. Así, $f$ es biyectiva.

$\square$

Observa que en la demostración del resultado anterior estamos usando que si $f$ tiene inversa derecha, entonces es suprayectiva. Esto es algo que sí pudimos demostrar en esta entrada y por lo tanto la demostración que acabamos de hacer no necesita del axioma de elección. Por otro lado, observa que el teorema anterior nos da una condición necesaria y suficiente para determinar cuándo una función posee inversa, incluso sabemos que ésta es única y por ello podemos adoptar una notación para la inversa de una función; si existe la inversa de una función $f$, la denotaremos por $f^{-1}$, notación que coincide con la de la inversa de una relación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá identificar cuándo una función tiene inversa ya sea izquierda o derecha

  • Sea $f:X\to Y$ una función inyectiva. Da un ejemplo en donde la relación inversa de $f$ no es total y por lo tanto no es función.
  • En la definición de función inversa para una función $f:X\to Y$ le llamamos a su inversa $f^{-1}$. Pero aquí implícitamente ya estamos suponiendo que la inversa es única. Demuestra que, en efecto, si una función $f:X\to Y$ tiene inversa, entonces dicha inversa es única.
  • Las inversas derechas e izquierdas no necesariamente son únicas. Para pensar en esto, haz lo siguiente:
    • Da una función que tenga dos inversas derechas distintas.
    • Da una función que tenga dos inversas izquierdas distintas.
  • Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones biyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es invertible, más aún que $(g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente sección comenzaremos con el tema de relaciones de equivalencia. En esta parte retomaremos el concepto de relación, sin embargo nos enfocaremos en las relaciones de un conjunto $A$ que cumplen determinadas propiedades, lo que las hará especiales y recibirán el nombre de relaciones de equivalencia.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»