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Teoría de los Conjuntos I: Funciones inversas

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta sección retomaremos los conceptos de función inyectiva y sobreyectiva, así como el de función biyectiva, hablaremos acerca de las funciones inversas, para ello introduciremos conceptos como el de inversa derecha y el de inversa izquierda.

Inversa izquierda

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $g\circ f=Id_X$, entonces decimos que $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ejemplo:

Sea $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$.

Luego, $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, tenemos que $g\circ f=Id_X$ pues:

$g\circ f(1)= g(f(1))= g(1)=1= Id_X(1)$
$g\circ f(2)= g(f(2))= g(2)=2= Id_X(2)$

Por lo tanto, $g\circ f=Id_X$ y así $g$ es inversa izquierda de $f$.

$\square$

Teorema: Sea $f:X\to Y$ una función, decimos que $f$ es inyectiva si y sólo tiene $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración:

Supongamos que $f$ es inyectiva, es decir, para cualesquiera $x,y\in X$ tales que $f(x)= f(y)$, implica que $x=y$. Vamos a demostrar que existe $g:Y\to X$ función tal que $g\circ f= Id_X$.

Dado que $f$ es una relación, entonces existe la relación inversa de $f$ a la que llamaremos $g$. Veamos que $g$ es función.

Sean $(a,b)\in g$ y $(a,c)\in g$, veamos que $b=c$ para demostrar que $g$ es función.

Luego, $(b,a)\in f$ y $(c,a)\in f$ así como $f$ es inyectiva y $f(b)=f(c)$, entonces $b=c$ y por lo tanto, $g$ es función. Además $g$ es inversa izquierda pues se verifica que $g\circ f=Id_X$. En efecto, sea $x\in X$, entonces $(x,f(x))\in f$ y así $(f(x), x)\in g$, por lo que:

$g\circ f(x)=g(f(x))= x=Id_X(x)$.

Por lo tanto, $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ahora, supongamos que $f$ es una función invertible, es decir, existe $f^{-1}$ tal que $f\circ f^{-1}=Id= f^{-1}\circ f$.

Luego, sean $x_1, x_2$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Veamos que $x_1=x_2$. Tenemos que $(f(x_1), x_1)\in f^{-1}$ y $(f(x_2), x_2)\in f^{-1}$, dado que $f(x_1)= f(x_2)$ y que $f^{-1}$ es función entonces $x_1=x_2$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$\square$

Inversa derecha

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $f\circ g=Id_Y$, entonces decimos que $g$ es inversa derecha de $f$.

Ejemplo:

Sea $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$.

Luego, $f:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. En efecto, tenemos que $f\circ g=Id_Y$ pues:

$f\circ g(1)= f(g(1))= f(1)=1= Id_X(1)$
$f\circ g(2)= f(g(2))= f(2)=2= Id_X(2)$

Por lo tanto, $f\circ g=Id_Y$ y así $g$ es inversa derecha de $f$.

$\square$

Del ejemplo anterior podrás notar que $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva, va a resultar que si $f$ es invertible por la derecha entonces $f$ es sobreyectiva. Lo demostraremos en la siguiente proposición.

Proposición: Sea $f:X\to Y$ una función, $f$ es sobreyectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha.

Demostración:

Supongamos que $f$ es sobreyectiva, es decir, para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=Y$. Veamos que $f$ tiene inversa derecha, es decir que existe $g:Y\to X$ tal que $f\circ g=Id_Y$.

Consideremos $g:Y\to X$ dada por $g(y)=x$ para toda $y\in Y$. Tenemos que $f\circ g(y)= f(g(y))= f(x)= y=Id_Y(y)$, por lo tanto $g$ es inversa derecha de $f$.

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha, digamos $g$. Sea $y\in Y$, veamos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
Dado que $g$ es inversa derecha de $f$, entonces $f\circ g=Id_Y$, por lo que para cualquier $y\in Y$, $f\circ g(y)= Id_Y(y)=y$, por lo que existe $x= g(y)\in X$ tal que $f(x)=f(g(y))=y$. Por lo tanto, $f$ es sobreyectiva.

$\square$

Inversa izquierda pero no derecha y viceversa

Podemos preguntarnos porqué hasta este momento tenemos dos conceptos diferentes de inversa y la respuesta es porque en ocasiones la inversa por la izquierda no será inversa por la derecha y viceversa. Además habrá veces en las que una función solo tenga inversa izquierda y no derecha, así como funciones que solo tengan inversa derecha pero no izquierda. Retomemos los ejemplos anteriores para ver esto último.

Ejemplo:

Sea $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$. Antes vimos que $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$, sin embargo, $g$ no es inversa derecha pues $f\circ g= \set{(1,1), (2,2), (3, 2)}$ y $f\circ g\not= Id_Y$ pues $f\circ g(3)= 2\not= 3=Id_Y(3)$. Además $f$ no tiene inversa derecha pues $g$ debe enviar a $3$ a un elemento de $X$, en este caso las únicas posibilidades son $1$ o $2$. En cualquiera de los casos al componer a la función $g$ con $f$, la composición resulta ser distinta de la función identidad.

Ahora, sea $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$. Vimos que $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. Sin embargo, $g$ no es inversa izquierda de $f$ pues $g\circ f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$ y $g\circ f\not=Id_X$.

$\square$

Inversa de una función

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es tal que $f\circ g= Id=g\circ g$ entonces decimos que $g$ es la inversa de $f$, y la denotamos como $f^{-1}$.

Notemos que la inversa de una función será tanto inversa izquierda y derecha, pero además dichas inversas serán iguales y es a la que llamaremos inversa de una función. Además para que exista la función inversa debe ocurrir que $f$ es una función biyectiva.

Ejemplo:

Sean $X=\set{\dots, -3, -2,-1, 0,1,2,3, \dots}$ y $f:X\to X$ una función dada por $f(x)=x+1$.

Busquemos la función inversa de $f$, para ello hagamos $f(x)=y$ y despejemos $x$ de $y=x+1$. Tenemos que $x=y-1$, por lo que $f^{-1}(x)=x-1$

Verifiquemos que en efecto $f^{-1}\circ f= Id= f\circ f^{-1}$. Tenemos que:

$f^{-1}\circ f(x)= f^{-1}(f(x))= f^{-1}(x+1)= (x+1)-1=x$,

$f\circ f^{-1}(x)= f(f^{-1}(x))= f(x-1)= (x-1)+1=x$.

Por lo tanto, $f^{-1}(x)= x-1$ es la función inversa de $f$.

$\square$

Teorema: Sea $f:X\to Y$, $f$, $f$ es biyectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha e inversa izquierda.

Demostración:

Supongamos que $f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $f$ es sobreyectiva.

Como $f$ es inyectiva entonces $f$ tiene inversa izquierda y como $f$ es sobreyectiva entonces $f$ tiene inversa derecha.

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha e inversa izquierda. Entonces $f$ es sobreyectiva e inyectiva respectivamente, por los teoremas que probamos anteriormente.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira identificar cuando una función tiene inversa ya sea izquierda o derecha

  • Da una función que tenga inversa derecha pero no izquierda.
  • Da una función que tenga inversa izquierda pero no derecha.
  • Da una función que tenga dos inversas derechas.
  • Da una función que tenga dos inversas izquierdas.
  • Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones biyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es invertible, más aún que $(g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$.

Más adelante

En la siguiente sección comenzaremos con el tema de relaciones de equivalencia. En esta parte retomaremos el concepto de relación, sin embargo nos enfocaremos en las relaciones de un conjunto $A$ que cumplen determinadas propiedades, lo que las hará especiales y recibirán el nombre de relaciones de equivalencia.

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