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Teoría de los Conjuntos I: Funciones inversas

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta sección retomaremos los conceptos de función inyectiva y sobreyectiva, así como el de función biyectiva, hablaremos acerca de las funciones inversas, para ello introduciremos conceptos como el de inversa derecha y el de inversa izquierda.

Inversa izquierda

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $g\circ f=Id_X$, entonces decimos que $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ejemplo:

Sea $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$.

Luego, $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, tenemos que $g\circ f=Id_X$ pues:

$g\circ f(1)= g(f(1))= g(1)=1= Id_X(1)$
$g\circ f(2)= g(f(2))= g(2)=2= Id_X(2)$

Por lo tanto, $g\circ f=Id_X$ y así $g$ es inversa izquierda de $f$.

$\square$

Teorema: Sea $f:X\to Y$ una función, decimos que $f$ es inyectiva si y sólo tiene $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración:

Supongamos que $f$ es inyectiva, es decir, para cualesquiera $x,y\in X$ tales que $f(x)= f(y)$, implica que $x=y$. Vamos a demostrar que existe $g:Y\to X$ función tal que $g\circ f= Id_X$.

Dado que $f$ es una relación, entonces existe la relación inversa de $f$ a la que llamaremos $g$. Veamos que $g$ es función.

Sean $(a,b)\in g$ y $(a,c)\in g$, veamos que $b=c$ para demostrar que $g$ es función.

Luego, $(b,a)\in f$ y $(c,a)\in f$ así como $f$ es inyectiva y $f(b)=f(c)$, entonces $b=c$ y por lo tanto, $g$ es función. Además $g$ es inversa izquierda pues se verifica que $g\circ f=Id_X$. En efecto, sea $x\in X$, entonces $(x,f(x))\in f$ y así $(f(x), x)\in g$, por lo que:

$g\circ f(x)=g(f(x))= x=Id_X(x)$.

Por lo tanto, $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ahora, supongamos que $f$ es una función invertible, es decir, existe $f^{-1}$ tal que $f\circ f^{-1}=Id= f^{-1}\circ f$.

Luego, sean $x_1, x_2$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Veamos que $x_1=x_2$. Tenemos que $(f(x_1), x_1)\in f^{-1}$ y $(f(x_2), x_2)\in f^{-1}$, dado que $f(x_1)= f(x_2)$ y que $f^{-1}$ es función entonces $x_1=x_2$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$\square$

Inversa derecha

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $f\circ g=Id_Y$, entonces decimos que $g$ es inversa derecha de $f$.

Ejemplo:

Sea $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$.

Luego, $f:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. En efecto, tenemos que $f\circ g=Id_Y$ pues:

$f\circ g(1)= f(g(1))= f(1)=1= Id_X(1)$
$f\circ g(2)= f(g(2))= f(2)=2= Id_X(2)$

Por lo tanto, $f\circ g=Id_Y$ y así $g$ es inversa derecha de $f$.

$\square$

Del ejemplo anterior podrás notar que $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva, va a resultar que si $f$ es invertible por la derecha entonces $f$ es sobreyectiva. Lo demostraremos en la siguiente proposición.

Proposición: Sea $f:X\to Y$ una función, $f$ es sobreyectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha.

Demostración:

Supongamos que $f$ es sobreyectiva, es decir, para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=Y$. Veamos que $f$ tiene inversa derecha, es decir que existe $g:Y\to X$ tal que $f\circ g=Id_Y$.

Consideremos $g:Y\to X$ dada por $g(y)=x$ para toda $y\in Y$. Tenemos que $f\circ g(y)= f(g(y))= f(x)= y=Id_Y(y)$, por lo tanto $g$ es inversa derecha de $f$.

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha, digamos $g$. Sea $y\in Y$, veamos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
Dado que $g$ es inversa derecha de $f$, entonces $f\circ g=Id_Y$, por lo que para cualquier $y\in Y$, $f\circ g(y)= Id_Y(y)=y$, por lo que existe $x= g(y)\in X$ tal que $f(x)=f(g(y))=y$. Por lo tanto, $f$ es sobreyectiva.

$\square$

Inversa izquierda pero no derecha y viceversa

Podemos preguntarnos porqué hasta este momento tenemos dos conceptos diferentes de inversa y la respuesta es porque en ocasiones la inversa por la izquierda no será inversa por la derecha y viceversa. Además habrá veces en las que una función solo tenga inversa izquierda y no derecha, así como funciones que solo tengan inversa derecha pero no izquierda. Retomemos los ejemplos anteriores para ver esto último.

Ejemplo:

Sea $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$. Antes vimos que $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$, sin embargo, $g$ no es inversa derecha pues $f\circ g= \set{(1,1), (2,2), (3, 2)}$ y $f\circ g\not= Id_Y$ pues $f\circ g(3)= 2\not= 3=Id_Y(3)$. Además $f$ no tiene inversa derecha pues $g$ debe enviar a $3$ a un elemento de $X$, en este caso las únicas posibilidades son $1$ o $2$. En cualquiera de los casos al componer a la función $g$ con $f$, la composición resulta ser distinta de la función identidad.

Ahora, sea $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$. Vimos que $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. Sin embargo, $g$ no es inversa izquierda de $f$ pues $g\circ f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$ y $g\circ f\not=Id_X$.

$\square$

Inversa de una función

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es tal que $f\circ g= Id=g\circ g$ entonces decimos que $g$ es la inversa de $f$, y la denotamos como $f^{-1}$.

Notemos que la inversa de una función será tanto inversa izquierda y derecha, pero además dichas inversas serán iguales y es a la que llamaremos inversa de una función. Además para que exista la función inversa debe ocurrir que $f$ es una función biyectiva.

Ejemplo:

Sean $X=\set{\dots, -3, -2,-1, 0,1,2,3, \dots}$ y $f:X\to X$ una función dada por $f(x)=x+1$.

Busquemos la función inversa de $f$, para ello hagamos $f(x)=y$ y despejemos $x$ de $y=x+1$. Tenemos que $x=y-1$, por lo que $f^{-1}(x)=x-1$

Verifiquemos que en efecto $f^{-1}\circ f= Id= f\circ f^{-1}$. Tenemos que:

$f^{-1}\circ f(x)= f^{-1}(f(x))= f^{-1}(x+1)= (x+1)-1=x$,

$f\circ f^{-1}(x)= f(f^{-1}(x))= f(x-1)= (x-1)+1=x$.

Por lo tanto, $f^{-1}(x)= x-1$ es la función inversa de $f$.

$\square$

Teorema: Sea $f:X\to Y$, $f$, $f$ es biyectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha e inversa izquierda.

Demostración:

Supongamos que $f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y $f$ es sobreyectiva.

Como $f$ es inyectiva entonces $f$ tiene inversa izquierda y como $f$ es sobreyectiva entonces $f$ tiene inversa derecha.

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha e inversa izquierda. Entonces $f$ es sobreyectiva e inyectiva respectivamente, por los teoremas que probamos anteriormente.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira identificar cuando una función tiene inversa ya sea izquierda o derecha

  • Da una función que tenga inversa derecha pero no izquierda.
  • Da una función que tenga inversa izquierda pero no derecha.
  • Da una función que tenga dos inversas derechas.
  • Da una función que tenga dos inversas izquierdas.
  • Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones biyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es invertible, más aún que $(g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$.

Más adelante

En la siguiente sección comenzaremos con el tema de relaciones de equivalencia.