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Introducción

En la entrada anterior hablamos un poco de lo que es la Programación Lineal, de su historia y de cuáles son los tipos de problemas que estudia. Dijimos que un problema de programación lineal es aquel en el que se busca optimizar una función lineal bajo ciertas restricciones lineales. En estas entradas y las siguientes veremos algunos ejemplos conocidos de problemas de programación lineal. Comenzaremos hablando del problema de la dieta.

El problema de la dieta fue uno de los primeros problemas sobre optimización. George Joseph Stigler fue quien lo planteo a finales de la década de los años 30. El problema de régimen alimenticio óptimo para tratar de satisfacer la necesidad del ejército americano por hallar la manera más económica de alimentar a sus tropas, asegurándose de satisfacer al mismo tiempo unos determinados requerimientos nutricionales.

Análisis e interpretación

En este tipo de problemas, nos van a dar una cierta cantidad de alimentos diferentes, digamos $m$ alimentos, y cada alimento va a contener una cantidad finita de nutrientes de interés, digamos $n$ nutrientes. Entonces la cantidad de nutrientes j que va a tener el alimento i por unidad va a quedar representado por una constante dada, digamos $a_{i, j}$ .

——	Nutriente 1	Nutriente 2	$\dots$	Nutriente $n - 1$	Nutriente $n$	Costo del alimento
Alimento 1	$a_{1, 1}$	$a_{1, 2}$	$\dots$	$a_{1, n - 1}$	$a_{1, n}$	$c_{1}$
Alimento 2	$a_{2, 1}$	$a_{2, 2}$	$\dots$	$a_{2, n - 1}$	$a_{2, n}$	$c_{2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋱$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
Alimento m-1	$a_{m - 1, 1}$	$a_{m - 1, 2}$	$\dots$	$a_{m - 1, n - 1}$	$a_{m - 1, n}$	$c_{m - 1}$
Alimento m	$a_{m, 1}$	$a_{m, 2}$	$\dots$	$a_{m, n - 1}$	$a_{m, n}$	$c_{m}$
Nutrientes requeridos	$b_{1}$	$b_{2}$	$\dots$	$b_{n - 1}$	$b_{n}$	——

Cada individuo (ya sea persona u otro ser vivo) tiene el mismo requerimiento mínimo de cada uno de estos nutrientes, digamos $b_{j}, \forall j \in 1, \dots, n$ .

Sea $x_{i}$ = el número de unidades del alimento i que vamos a asignar a cada individuo

Entonces vamos a tener la restricción de que cada individuo tiene que recibir los nutrientes requeridos por los alimentos que le son dados. Esto se representa de la siguiente manera:

(Alimento 1: cantidad de nutriente j)(Unidades de alimento 1) + (Alimento 2: cantidad de nutriente j)(Unidades de alimento 2) + $\dots$ + (Alimento m: cantidad de nutriente j) (Unidades de alimento m) $\geq$ Nutriente j requerido

Usando la notación de la tabla y las variables que creamos, se escribiría:

$a_{1, j} x_{1} + a_{2, j} x_{2} + \dots + a_{m, j} x_{m} \geq b_{j}$ para cualquiera de los n nutrientes.

Cada alimento va a tener un coste dado por unidad, digamos $c_{i}$ .

Como se mencionó, se busca la manera más económica de alcanzar los nutrimentos requeridos de los alimentos asignados a cada individuo, entonces, el problema busca minimizar el costo de los alimentos que elijamos. Esto se traduce como:

Minimizar z = (Costo alimento 1)(Unidades de alimento 1) + (Costo de alimento 2)(Unidades de alimento 2) + $\dots$ + (Costo de alimento m)(Unidades de alimento m)

Usando la notación de la tabla y las variables que creamos, se escribiría:

$M i n z = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{m} x_{m}$

Como la cantidad de alimentos que vamos a asignar es a lo menos cero, nuestras variables $x_{i}$ van a ser mayores o iguales a cero.

Entonces, en términos generales, el problema quedaría de esta forma:

$\begin{aligned} M i n z = c_{1} & x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{m} x_{m} \\ s u j e t o a & (s . a) \\ a_{1, 1} x_{1} + a_{2, 1} x_{2} + \dots + a_{m, 1} x_{m} \geq b_{1} \\ a_{1, 2} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{m, 2} x_{m} \geq b_{2} \\ ⋮ \\ a_{1, n} x_{1} + a_{2, n} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{m} \geq b_{n} \\ x_{i} \geq 0 \end{aligned}$

Ejemplo del problema de la dieta

Consideremos el siguiente problema:

Un estudiante de la facultad de ciencias asiste a clases los 5 días de la semana. En su hora de comida tiene 3 opciones preferidas: Ir al comedor, comprar una torta o comprar unos tacos de canasta. Cada opción tiene un aporte nutritivo distinto que está representado en la siguiente tabla, así como el costo por merienda de cada opción

	Costo por merienda en pesos	Contenido nutritivo por unidad de alimento
	Costo por merienda en pesos	N1	N2
Comedor	$35	14	10
Torta	$28	10	7
Tacos de canasta	$20	6	4
Necesidades de nutrición a la semana		45	35

El estudiante busca cumplir sus necesidades nutricionales semanales y aparte gastar lo menos posible ya que la beca no da para tanto tristemente. Plantea como un problema de programación lineal.

Veamos cómo podemos plantear el problema anterior como un problema de programación lineal usando el análisis que hicimos anteriormente.

Sea $x_{1}$ las meriendas en el comedor por semana, $x_{2}$ las meriendas con torta por semana y $x_{3}$ las meriendas con tacos de canasta. En la tabla nos indican los costos de estas por lo que ya tenemos nuestra función objetivo a minimizar:

$M i n z = 35 x_{1} + 28 x_{2} + 20 x_{3}$

Luego, tenemos que considerar las restricciones de los nutrientes que son requeridos. Solo tenemos dos nutrientes a considerar entonces tenemos las siguientes restricciones:

(Merienda 1: cantidad de nutriente 1)(Meriendas 1 por semana) +
(Merienda 2: cantidad de nutriente 1)(Meriendas 2 por semana) +
(Merienda 3: cantidad de nutriente 1)(Meriendas 3 por semana) $\geq$
Nutriente 1 requerido

(Merienda 1: cantidad de nutriente 2)(Meriendas 1 por semana) +
(Merienda 2: cantidad de nutriente 2)(Meriendas 2 por semana) +
(Merienda 3: cantidad de nutriente 2)(Meriendas 3 por semana) $\geq$
Nutriente 2 requerido

Escrito en la notación general descrita:

$\begin{aligned} a_{1, 1} x_{1} + a_{2, 1} x_{2} + a_{3, 1} x_{3} \geq b_{1} \\ a_{1, 2} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + a_{3, 2} x_{3} \geq b_{2} \end{aligned}$

Y usando los valores de el problema, tenemos:

$\begin{aligned} 14 x_{1} + 10 x_{2} + 6 x_{3} \geq 45 \\ 10 x_{1} + 7 x_{2} + 4 x_{3} \geq 35 \end{aligned}$

Y por último solo cabe mencionar que las meriendas del alimento que vamos a considerar es un número mayor o igual a cero. Por lo que el planteamiento del problema quedaría de la siguiente manera:

$\begin{aligned} M i n z = 35 & x_{1} + 28 x_{2} + 20 x_{3} \\ s . a \\ 14 & x_{1} + 10 x_{2} + 6 x_{3} \geq 45 \\ 10 & x_{1} + 7 x_{2} + 4 x_{3} \geq 35 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{aligned}$

Más adelante…

El problema de la dieta es el primer ejemplo de problema de programación lineal que nos encontramos. En las siguientes entradas veremos otros ejemplos más, como el problema de la mochila, el del transporte y otros.

Hasta ahora sólo hemos hablado de qué tipo de problemas queremos resolver, pero no hemos dicho nada con respecto al cómo los resolveremos. Veremos eso un poco más adelante.

Tarea

¡Oh no! La inflación llegó y el precio de las meriendas mencionadas subió un $10 %$ . Realiza nuevamente la formulación del problema de la dieta del ejemplo bajo este supuesto.
Formula como un PPL el siguiente ejemplo:
«Se tienen disponibles 4 tipos de inversión cuyos costos son $12,000, $20,000, $16,000, $15,000 respectivamente. La inversión 1 tiene un valor presente neto de $14,000, la 2 de $25,000, la 3 de $20,000 y la 4 de $18,000. Se cuenta con un presupuesto de $50,000. El objetivo es determinar la combinación de inversiones que aporte el valor presente neto máximo.»
Imagina que tenemos un problema más sencillo. Sólo se pueden elegir entre tortas y tacos. Cuestan $30 las tortas y $20 los tacos. La torta da 12 unidades de N1 y 8 de N2. Los tacos dan 9 unidades de N1 y 6 de N2. Imagina que se deben consumir 50 unidades de N1 y 35 unidades de N2. Se quiere encontrar la dieta más económica. Plantea este problema como un problema de programación lineal.
Intenta resolver el problema de programación lineal del inciso anterior con las herramientas con las que cuentes hasta ahora de Cálculo, Álgebra Lineal, etc. ¿Cuál sería el plan de meriendas semanal más económico?
¿Por qué en el problema de la dieta no tiene sentido preguntarse por la dieta menos económica? Intenta argumentarlo desde el punto de vista práctico, como desde el punto de vista matemático.

Respuestas

$∙$ $\begin{aligned} M i n z = 38.5 & x_{1} + 30.8 x_{2} + 22 x_{3} \\ s . a \\ 14 & x_{1} + 10 x_{2} + 6 x_{3} \geq 45 \\ 10 & x_{1} + 7 x_{2} + 4 x_{3} \geq 35 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{aligned}$

$∙$ Nuestra variable de decisión es la siguiente:

$x_{i}$ = Se hace el tipo de inversión $i$ con $i \in {1, 2, 3, 4}$ , $x_{i} \in {0, 1}$

Observemos que si se hace el tipo de inversión $i$ , las ganancias son: valor presente neto – costo de la inversión. Como eventualmente lo que se busca es maximizar las ganancias, nuestra función objetivo sería la siguiente:

$M a x z = 2000 x_{1} + 5000 x_{2} + 4000 x_{3} + 3000 x_{4}$

La única restricción es el presupuesto con el que se cuenta para realizar las inversiones. Entonces, la restricción será:

$12, 000 x_{1} + 20, 000 x_{2} + 16, 000 x_{3} + 15, 000 x_{4} \leq 50, 000$

Y como las variables solo toman valor 0 o 1, también se satisface la no negatividad.

Entonces, el problema quedaría planteado de la siguiente forma:

$\begin{aligned} M a x z = & 2000 x_{1} + 5000 x_{2} + 4000 x_{3} + 3000 x_{4} \\ s . a \\ 12, 000 x_{1} + 20, 000 x_{2} + 16, 000 x_{3} + 15, 000 x_{4} \leq 50, 000 \\ x_{1} \in 0, 1, i \in 1, 2, 3, 4 \end{aligned}$

$b u l l e t$ El cambio es muy simple, solo hay que cambiar las variables de decisión a $x_{1}$ las meriendas con torta por semana y $x_{2}$ las meriendas con tacos de canasta por semana. Entonces, con los cambios aplicados:

$\begin{aligned} M i n z = 30 & x_{1} + 20 x_{2} \\ s . a \\ 12 & x_{1} + 9 x_{2} \geq 50 \\ 8 & x_{1} + 6 x_{2} \geq 35 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{aligned}$

$b u l l e t$ Una idea sería considerar solamente todos los valores posibles a elegir en la semana, revisar que cumplan con las necesidades de nutrición y calcular el gasto que conllevaría cada plan. Vamos a representar esos resultados en la siguiente tabla:

Combinación alimentaria	N1 $\geq$ 50	N2 \geq 35	Costo del plan
5 días torta	60	45	150
4 días torta, 1 día taco	56	42	140
3 días torta, 2 días tacos	52	39
2 días torta, 3 días tacos	48	36
1 día torta, 4 días tacos	44	33	110
5 días tacos	40	30	100

Las filas que tienen una casilla roja no cumplen la necesidad nutricional de su respectiva columna.

Entonces, nuestra solución va a ser el plan de alimentación que tenga el menor costo y que tenga las dos casillas de necesidades nutricionales en verde. Esta solución es la de combinar 3 días con merienda de torta y dos días con merienda de tacos de canasta.

$∙$ Podría tal vez argumentarse es que la finalidad de resolver este tipo de problema es economizar los gastos de el o los individuos, entonces al tomar planes de dieta más caros, estamos haciendo lo opuesto a lo propuesto por la función objetivo.

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Introducción

En esta entrada comenzaremos a abordar el primer tema de este curso de Investigación de Operaciones: el de la programación lineal. Hablaremos un poco de por qué es importante estudiar esta disciplina. Luego, explicaremos un poco en qué consiste. Finalmente, veremos el tipo de problemas que podremos responder una vez que hayamos desarrollado más teoría.

¿Por qué estudiar programación lineal?

El desarrollo de la programación lineal ha sido clasificado como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta de uso cotidiano que permite efectuar de manera óptima muchas de las operaciones que realizan individuos, gobiernos, compañías y negocios. Esto ha su vez ha permitido el uso eficiente de los recursos y ahorros prácticamente incalculables.

Además de las ventajas que trae usar la programación lineal, también es notable la facilidad con la que hoy en día se aplican sus métodos. El tipo de matemáticas sobre las cuales está construida la programación lineal es en general teoría bien conocida: resultados básicos de álgebra lineal, teoremas importantes de cálculo, teoría de gráficas y redes. Esto se complementa con que en la actualidad es sencillo llevar esta teoría a la práctica, pues existen varios lenguajes de programación para uso científico que cuentan con bibliotecas dedicadas a la programación lineal.

¿Qué es la programación lineal?

La programación lineal es una rama de la programación matemática que estudia problemas de optimización en los cuales se desea maximizar (o minimizar) una función lineal restringida mediante ecuaciones o desigualdades lineales. En este contexto no hablamos de la palabra «programación» en el sentido usual de crear código para diseñar programas en una computadora. Más bien, nos referimos a «programación» más como en el sentido de «la programación de cierto canal de televisión» o bien como en la frase «programé una cita con mi dentista», es decir, como una manera de tomar decisiones para repartir un recurso (el tiempo de aire en el caso de la televisión y el tiempo del doctor y del paciente en el ejemplo del dentista).

Existe una gran variedad de problemas, en diversos campos, que pueden ser formulados o aproximados como modelos lineales. Una de las ventajas de resolver problemas por métodos de programación lineal es que existen técnicas eficientes, sencillas y bien estudiadas para resolverlos. Además, se tiene la comodidad de que una vez que se haya resuelto un problema, es sencillo hacer una variación de los parámetros originales para tener una buena intuición de la nueva respuesta sin tener que volver a hacer un procedimiento largo (a esto se le llama análisis de postoptimalidad).

Aunque una de sus aplicaciones más frecuentes es la asignación de recursos, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. En realidad, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general de un problema de programación lineal, puede ser estudiado mediante las herramientas de la teoría.

Formato general de un problema de programación lineal

A un problema de programación lineal y su modelo lo llamaremos programa lineal. Abreviaremos problema de programación lineal como PPL y programa lineal como PL.

Estos problemas tienen que cumplir con las siguientes condiciones:

El criterio para seleccionar el mejor valor de las variables desconocidas involucradas en el problema, llamadas variables de decisión, puede describirse como función lineal de éstas. A esta función se le da el nombre de función objetivo.
Las reglas de operación que gobiernan el proceso (que definen las alternativas de solución) pueden expresarse mediante un conjunto de ecuaciones o desigualdades lineales a las cuales se les da el nombre de restricciones del problema.

El planteamiento matemático inicial del problema de programación lineal fue desarrollado por George Bernard Dantzig en 1947 junto con el método de solución simplex. El formato general del un modelo de esta clase es:

$\begin{aligned} Maximizar (o Minimizar) \\ z = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} & + \dots + c_{n} x_{n} \\ s.a (sujeto a) \\ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & \leq b_{1} (o bien \geq o =) \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & \leq b_{2} (o bien \geq o =) \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & \leq b_{m} (o bien \geq o =) \\ x_{i} & \geq 0, i = 1, \dots, n . \end{aligned}$

Este problema de programación lineal PPL puede escribirse en forma matricial:

$\begin{aligned} Max. (o Min.) \\ z & = c \\ s.a \\ A x & \leq b (o bien \geq o =) \\ x & \geq 0. \end{aligned}$

En esta expresión $c$ es un vector renglón en $R^{n}$ , llamado vector de costos o de coeficientes en la función objetivo. El vector $x$ es un vector columna (formado por las variables de decisión $x_{1}, \dots, x_{n}$ ) en $R^{n}$ . La matriz $A$ es de $m$ renglones y $n$ columnas, llamada la matriz de restricciones. Y finalmente $b$ es un vector columna en $R^{n}$ , llamado el vector de recursos o lado derecho.

Más adelante…

En esta entrada hablamos un poco de qué es la programación lineal y qué es un PPL, pero nos hemos quedado en términos un poco abstractos. La mejor forma de entender qué es un problema lineal es mediante la presentación de ejemplos. En las siguientes entradas formularemos algunos ejemplos comunes, motivados en aplicaciones prácticas. Hablaremos del problema de la dieta, el problema de la mochila, el problema del transporte, y otros.

Tarea

Ve el siguiente video de acerca de George Dantzig. ¿Que te pareció la anécdota de su tiempo de estudiante?

Aún no hemos visto ejemplos de Problemas de Programación Lineal (PPL) pero, ¿crees que es siguiente ejemplo pueda formularse como uno? «Encontrar la ruta más corta entre una ciudad y otra teniendo varias rutas posibles que se cruzan entre sí.»
Investiga un poco más de la historia de la programación lineal. ¿Qué gran evento en el mundo ayudó a que la teoría se desarrollara aceleradamente?

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