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Probabilidad I-Videos: Distribución binomial negativa

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Toca el turno de estudiar la distribución binomial negativa, otra distribución discreta que se origina de un contexto semejante al que da la distribución geométrica. Esta distribución, se aplica a la variable aleatoria X que determina el número del ensayo en el que ocurre el k–ésimo éxito (k= 2, 3, 4, etc.).

Distribución binomial negativa

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestre que la función de probabilidad de la distribución binomial negativa efectivamente es una función de probabilidad.
  • Sea $X$ una variable aleatoria, tal que $X\sim binomial\ negativa\left ( k,p\right ) $.Determina una relación repetitiva entre probabilidades binomiales negativas sucesivas.
  • Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $x$ intentos ocurran antes que se presente el $k– ésimo$ éxito?
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y sea $Y = X – k$. La variable aleatoria $Y$, se puede interpretar como el número de fracasos antes del $k-ésimo$ éxito. Demuestra que $P(Y= y)=\begin{cases} {y+r-1 \choose r-1}p^kq^y & \mbox{para y=0,1,2,…} \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{cases}$.
  • Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. Si $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y observamos el $k-ésimo$ éxito en el intento $y_0$. Encuentra el valor de $p$ que maximice $P(Y = y_0)$.

Más adelante…

La distribución binomial negativa es una generalización de la distribución geométrica, pues esta última se obtiene haciendo coincidir el parámetro k con 1. Esta distribución se ha aplicado en campos como la estadística, las ciencias biológicas, la ecología, también se ha utilizado en estudios de mercado, en la psicología y en investigaciones médicas.

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Probabilidad I-Videos: Distribución geométrica

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

La distribución discreta que estudiaremos en este video se conoce como distribución de probabilidad geométrica. Esta distribución al igual que la distribución binomial se asocia a experimentos que comprenden pruebas idénticas e independientes, cada una de las cuales puede arrojar uno de dos resultados: éxito o fracaso cuya probabilidad de éxito p, es constante de una prueba a otra; sin embargo, en lugar de interesarnos en las variables aleatorias que consisten en determinar el número total de éxitos, nos interesará ahora estudiar las variables aleatorias que determinan el número del ensayo en el que ocurre el primer éxito.

Distribución geométrica

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra que la función de probabilidad asociada a la distribución geométrica es efectivamente una función de probabilidad.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim geométrica\left ( n,p\right )$, demuestra que $P(X=k)$ decrece monótonamente alcanzando su valor más grande cuando $k$ es igual a $1$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim geométrica\left ( n,p\right )$, demuestra que para un entero positivo $a$, $P\left ( X>a\right ) =q^a$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim geométrica\left ( n,p\right )$, demuestra que $P\left ( X=\ un\ entero\ impar\right ) =\frac{p}{1-q^2}$.
  • Dos personas, por turnos, lanzan un dado equilibrado hasta que una de ellas obtiene un 6. La persona $A$ tiró primero, la $B$ en segundo, $A$ en tercero y así sucesivamente. En vista de que la persona $B$ tiró el primer 6, ¿Cuál es la probabilidad de que $B$ obtenga el primer 6 en su segundo tiro (es decir, en el cuarto tiro total)?

Más adelante…

La distribución geométrica también puede ser utilizada para estimar probabilidades, asociadas a resultados, en un subconjunto de ensayos que impliquen éxitos o fracasos. Esta distribución es empleada en procesos estocásticos. Se utiliza para modelar la duración de tiempos de espera permitiéndonos encontrarla con relativa frecuencia en modelos meteorológicos.

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