Introducción
En esta entrada, continuaremos con el estudio de las cónicas, pero en esta ocasión, vamos a encontrar su centro y ejes, a partir de dos grupos de isometrías que ya son familiares para nosotros, las rotaciones y traslaciones y usando otro tema que ya ha sido estudiado con anterioridad, la equivalencia de polinomios y reducción de términos lineales y cuadráticos.
Encontrando el centro de las traslaciones
Para cualquier vector
Factorizando y desarrollando un poco la expresión anterior, obtenemos:
Donde
Lo que nos lleva, finalmente, a:
La pregunta ahora es, ¿hay una forma de encontrar el centro de la traslación g a partir de esta expresión? Lo que, por muy extraño que parezca, es cierto, pero, ¿cómo?
Enunciemos unos lemas que nos ayudarán a encontrar la respuesta a la pregunta anterior.
Lema 4.4: Dadas
Lema 4.5: Si tenemos una matriz simétrica
Demostración
Sean
Ahora sí podemos encontrar el centro de la traslación considerando:
Ya que, considerando el lema anterior, podemos simplificar
Y, finalmente:
Donde
Lo anterior lo podemos resumir en el siguiente lema:
Lema 4.6: Sea
Como buena conclusión de este apartado, observa que las traslaciones afectan la parte lineal de los polinomios cuadráticos.
Encontrando los ejes de las rotaciones
Ahora considera la rotación
Si desarrollamos y simplificamos esta expresión, obtenemos:
La pregunta en este caso es, ¿existe una forma de encontrar los ejes de la rotación a partir de esta expresión? La respuesta es sí.
A diferencia de las traslaciones, en las que se afectaba la parte lineal, para las rotaciones nos vamos a enfocar en la parte cuadrática. Debemos encontrar una manera de simplificar la expresión
Considera a
Finalmente, toma a
Si desarrollamos esta última igualdad, obtenemos:
Si encontramos una matriz B que cumpla
Tarea moral
- Demuestra el Lema 4.4.
- Demuestra que, para
matrices que se pueden multiplicar, se tiene que: - Encuentra el centro, si es que tienen, de las curvas asociadas a los siguientes polinomios:
,
Más adelante…
Continuaremos con el estudio de la equivalencia y reducción de polinomios, con valores y vectores propios.