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Geometría Analítica I: Encontrar el centro y los ejes de una cónica

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Introducción

En esta entrada, continuaremos con el estudio de las cónicas, pero en esta ocasión, vamos a encontrar su centro y ejes, a partir de dos grupos de isometrías que ya son familiares para nosotros, las rotaciones y traslaciones y usando otro tema que ya ha sido estudiado con anterioridad, la equivalencia de polinomios y reducción de términos lineales y cuadráticos.

Encontrando el centro de las traslaciones

Para cualquier vector hR2, consideremos la traslación g(x)=x+h y veamos cómo se escribe el polinomio Pg con P(x)=xAx+kx+f:

(1)(Pg)(x)=P(x+h)=(x+h)A(x+h)+k(x+h)+f

Factorizando y desarrollando un poco la expresión anterior, obtenemos:

(2)(Pg)(x)=xAx+xAh+hAx+kx+(hAh+kh+f)

Donde hAh+kh+f=P(h)

Lo que nos lleva, finalmente, a:

(3)(Pg)(x)=xAx+xAh+hAx+kx+P(h)

La pregunta ahora es, ¿hay una forma de encontrar el centro de la traslación g a partir de esta expresión? Lo que, por muy extraño que parezca, es cierto, pero, ¿cómo?

Enunciemos unos lemas que nos ayudarán a encontrar la respuesta a la pregunta anterior.

Lema 4.4: Dadas A y B dos matrices que se puedan multiplicar, se cumple que (AB)T=BTAT

Lema 4.5: Si tenemos una matriz simétrica A (recordemos que una matriz A es simétrica si A=AT), entonces, para todo par de vectores x,y en R, se cumple que xAy=Axy

Demostración

Sean x,y vectores, recordemos que x=xT y que y=yT, por esto y el lema anterior, tenemos que:

(4)xAy=xTAy=(xTAy)T=(Ay)T(xT)T=yTATx=yAx=Axy

Ahora sí podemos encontrar el centro de la traslación considerando:

(5)(Pg)(x)=xAx+xAh+hAx+kx+P(h)

Ya que, considerando el lema anterior, podemos simplificar (Pg)(x) de la siguiente manera:

(6)(Pg)(x)=xAx+xAh+hAx+kx+P(h)=2(Ahx)+kx+P(h)

Y, finalmente:

(7)(Pg)(x)=(2Ah+k)x+P(h)

Donde (2Ah+k)x es la parte lineal de esta composición por lo que, si podemos encontrar una hR2 que cumpla que 2Ah+k=0, entonces habremos encontrado una traslación que no contenga la parte lineal del polinomio. Si esta h existe, es el centro de la traslación (en el caso de este capítulo, estaremos hablando de traslaciones de cónicas).

Lo anterior lo podemos resumir en el siguiente lema:

Lema 4.6: Sea P(x)=xAx+kx+f un polinomio cuadrático (es decir que A=AT) tal que det(A)0. Si definimos c:=A1k, c es el centro de la curva asociada al polinomio P, C(P) donde:

(8)P(x+c)=xAx+P(c)

Como buena conclusión de este apartado, observa que las traslaciones afectan la parte lineal de los polinomios cuadráticos.

Encontrando los ejes de las rotaciones

Ahora considera la rotación g(x)=Bx con B en el general lineal de R2, es decir, BGl(2) y P el polinomio cuadrático general. Entonces:

(9)(Pg)(x)=P(Bx)=(Bx)A(Bx)+k(Bx)+f

Si desarrollamos y simplificamos esta expresión, obtenemos:

(10)(Pg)(x)=x(BTAB)x+(BTk)x+f

La pregunta en este caso es, ¿existe una forma de encontrar los ejes de la rotación a partir de esta expresión? La respuesta es sí.

A diferencia de las traslaciones, en las que se afectaba la parte lineal, para las rotaciones nos vamos a enfocar en la parte cuadrática. Debemos encontrar una manera de simplificar la expresión BTAB.

Considera a B como matriz ortogonal (BO(2)), esto implica que BTAB=B1AB que es la matriz que expresa la función A en la base de las columnas de B.

Finalmente, toma a u,v columnas de B que forman una base ortonormal y que A alarga estas columnas en factores λ,μ, es decir, que Au=λu y Av=μv. Entonces, las siguientes igualdades se cumplen:

(11)A=(λ00μ)

(12)BTAB=(u,v)TA(u,v)=(uTAuuTAvvTAuvTAv)

Si desarrollamos esta última igualdad, obtenemos:

(13)BTAB=(λ00μ)

Si encontramos una matriz B que cumpla (3), podemos eliminar el término mixto del polinomio P y acercarnos a los polinomios canónicos.

Tarea moral

  1. Demuestra el Lema 4.4.
  2. Demuestra que, para A,B,C matrices que se pueden multiplicar, se tiene que: (ABC)T=CTBTAT
  3. Encuentra el centro, si es que tienen, de las curvas asociadas a los siguientes polinomios:
    • xy3x2y2,
    • x2+2y26x+4y+3
    • 9x24xy+6y258x+24y+59

Más adelante…

Continuaremos con el estudio de la equivalencia y reducción de polinomios, con valores y vectores propios.